ORDENACIÓN POR INSERCIÓN DIRECTA

¿Qué es ordenamiento?

Generalmente, se considera ordenar (clasificar) el proceso de reorganización de un conjunto dado de objetos en una secuencia especificada. El objetivo de este proceso es facilitar la búsqueda posterior de los elementos del conjunto ordenado. La búsqueda de información es una operación básica en el proceso de datos, de ahí que por extensión, la ordenación se convierta también en una actividad fundamental en dicho procesamiento de datos.

El tema de la ordenación es idóneo para mostrar como los problemas se pueden resolver utilizando una gran variedad de algoritmos, todos con el mismo objetivo, pero cada uno presentando ciertas ventajas sobre los otros. Resulta un tema interesante para enfatizar la necesidad de analizar el funcionamiento de los algoritmos

El ordenamiento se efectúa con base en el valor de algún campo en un registro.

El propósito principal de un ordenamiento es el de facilitar las búsquedas de los miembros del conjunto ordenado.

Ej. de ordenamientos:

Dir. telefónico, tablas de contenido, bibliotecas y diccionarios, etc.

El ordenar un grupo de datos significa mover los datos o sus referencias para que queden en una secuencia tal que represente un orden, el cual puede ser numérico, alfabético o incluso alfanumérico, ascendente o descendente.

Normalmente, la función de ordenación viene explícitamente reflejada en los objetos a ordenar como un campo de información mas sobre cada elemento. De manera que, en general, cada elemento del conjunto tendrá más de un campo de información (estructura de registro) y uno de esos campos indicará como se clasifican los elementos. El campo que especifica la relación de orden recibe el nombre de clave. El problema de la clasificación consiste entonces en ordenar una secuencia de registros de manera que sus claves formen una cadena no decreciente

¿Cuándo conviene usar un método de ordenamiento?

Cuando se requiere hacer una cantidad considerable de búsquedas y es importante el factor tiempo.

Tipos de ordenamientos:

Los 2 tipos de ordenamientos que se pueden realizar son: los internos y los externos.

Los internos:

Son aquellos en los que los valores a ordenar están en memoria principal, por lo que se asume que el tiempo que se requiere para acceder cualquier elemento sea el mismo (a[1], a[500], etc).

Los externos:

Son aquellos en los que los valores a ordenar están en memoria secundaria (disco, cinta, cilindro magnético, etc), por lo que se asume que el tiempo que se requiere para acceder a cualquier elemento depende de la última posición accesada (posición 1, posición 500, etc).

Eficiencia en tiempo de ejecución:

Una medida de eficiencia es:

Contar el # de comparaciones (C)

Contar el # de movimientos de items (M)

Estos están en función de el #(n) de items a ser ordenados.

Un "buen algoritmo" de ordenamiento requiere de un orden nlogn comparaciones.

La eficiencia de los algoritmos se mide por el número de comparaciones e intercambios que tienen que hacer, es decir, se toma n como el número de elementos que tiene el arreglo o vector a ordenar y se dice que un algoritmo realiza O(n2) comparaciones cuando compara n veces los n elementos, n x n = n2

Algoritmos de ordenamiento:

Internos:

Clasificación de los algoritmos de ordenamiento de información:

El hecho de que la información está ordenada, nos sirve para poder encontrarla y accesarla de manera más eficiente ya que de lo contrario se tendría que hacer de manera secuencial.

A continuación se describirán 4 grupos de algoritmos para ordenar información:

Algoritmos de inserción:

En este tipo de algoritmo los elementos que van a ser ordenados son considerados uno a la vez. Cada elemento es INSERTADO en la posición apropiada con respecto al resto de los elementos ya ordenados.

Entre estos algoritmos se encuentran el de INSERCION DIRECTA, SHELL SORT, INSERCION BINARIA y HASHING.

Algoritmos de intercambio:

En este tipo de algoritmos se toman los elementos de dos en dos, se comparan y se INTERCAMBIAN si no están en el orden adecuado. Este proceso se repite hasta que se ha analizado todo el conjunto de elementos y ya no hay intercambios.

Entre estos algoritmos se encuentran el BURBUJA y QUICK SORT.

Algoritmos de selección:

En este tipo de algoritmos se SELECCIONA o se busca el elemento más pequeño (o más grande) de todo el conjunto de elementos y se coloca en su posición adecuada. Este proceso se repite para el resto de los elementos hasta que todos son analizados.
Entre estos algoritmos se encuentra el de SELECCION DIRECTA.

Algoritmos de enumeración:

En este tipo de algoritmos cada elemento es comparado contra los demás. En la comparación se cuenta cuántos elementos son más pequeños que el elemento que se está analizando, generando así una ENUMERACION. El número generado para cada elemento indicará su posición.

Los métodos simples son: Inserción (o por inserción directa), selección, burbuja y shell, en dónde el último es una extensión al método de inserción, siendo más rápido. Los métodos más complejos son el quick-sort (ordenación rápida) y el heap sort.

A continuación se mostrarán los métodos de ordenamiento más simples.

METODO DE INSERCIÓN.

Este método toma cada elemento del arreglo para ser ordenado y lo compara con los que se encuentran en posiciones anteriores a la de él dentro del arreglo. Si resulta que el elemento con el que se está comparando es mayor que el elemento a ordenar, se recorre hacia la siguiente posición superior. Si por el contrario, resulta que el elemento con el que se está comparando es menor que el elemento a ordenar, se detiene el proceso de comparación pues se encontró que el elemento ya está ordenado y se coloca en su posición (que es la siguiente a la del último número con el que se comparó).

Procedimiento Insertion Sort

Este procedimiento recibe el arreglo de datos a ordenar a[] y altera las posiciones de sus elementos hasta dejarlos ordenados de menor a mayor. N representa el número de elementos que contiene a[].

paso 1: [Para cada pos. del arreglo] For i <- 2 to N do

paso 2: [Inicializa v y j] v <- a[i]

j <- i.

paso 3: [Compara v con los anteriores] While a[j-1] > v AND j>1 do

paso 4: [Recorre los datos mayores] Set a[j] <- a[j-1],

paso 5: [Decrementa j] set j <- j-1.

paso 5: [Inserta v en su posición] Set a[j] <- v.

paso 6: [Fin] End.

Ejemplo:

Si el arreglo a ordenar es a = ['a','s','o','r','t','i','n','g','e','x','a','m','p','l','e'], el algoritmo va a recorrer el arreglo de izquierda a derecha. Primero toma el segundo dato 's' y lo asigna a v y i toma el valor de la posición actual de v.

Luego compara esta 's' con lo que hay en la posición j-1, es decir, con 'a'. Debido a que 's' no es menor que 'a' no sucede nada y avanza i.

Ahora v toma el valor 'o' y lo compara con 's', como es menor recorre a la 's' a la posición de la 'o'; decrementa j, la cual ahora tiene la posición en dónde estaba la 's'; compara a 'o' con a[j-1] , es decir, con 'a'. Como no es menor que la 'a' sale del for y pone la 'o' en la posición a[j]. El resultado hasta este punto es el arreglo siguiente: a = ['a','o','s','r',....]

Así se continúa y el resultado final es el arreglo ordenado :

a = ['a','a','e','e','g','i','l','m','n','o','p','r','s','t','x']

 ORDENACION POR INSERCION DIRECTA

Supóngase que se desea ordenar los siguientes claves del arreglo A utilizando el método de inserción directa el cual consiste en insertar un elemento del arreglo en la parte izquierda del mismo que ya se encuentra ordenada. Este proceso se repite desde el segundo hasta el n-esimo elemento.

Ejemplo 1:

A= 15, 67, 08, 16, 44, 27, 12, 35
Comparaciones realizadas:
1ª pasada A[2] < A[1] 67 < 15 No hay intercambio
A= 15, 67, 08, 16, 44, 27, 12, 35
2ª pasada A[3] < A[2] 08 < 67 Si hay intercambio
A= 15, 08, 67, 16, 44, 27, 12, 35
3ª pasada A[4] < A[3] 08 < 15 Si hay intercambio
A= 08, 15, 67, 16, 44, 27, 12, 35
Y así sucesivamente...

INSERCION (A,N)
Insercion(A,N)
{El algoritmo ordena los elementos del arreglo utlizando el método de inserción directa A es un arreglo de N elementos} {I, aux y k son variables de tipo entero}
1.- Repetir con I desde 2 hasta N Hacer aux<- A[I] y k<- I-1
a. Repetir mientras(aux < [k]) y (k > 1) , Hacer A[k+1]<- A[k] y k<-- k-1
b. {fin del ciclo del paso 1.1}
c. Si a[k]<=aux Entonces: Hacer A[k+1]<-aux
Si no Hacer A[k+1]<- A[k], A[k]<-A[k]
d. { fin del condicional del paso 1.3}
2. {fin del condicional del paso1}

Prueba de escritorio:
Si A= 15, 67, 08, 16, 44, 27, 12, 35
1ª pasada 08, 67, 15, 16, 44, 27, 12, 35
2ª pasada 08, 15, 67, 16, 44, 27, 12, 35
3ª pasada 08, 15, 16, 67, 44, 27, 12, 35
4ª pasada 08, 15, 16, 44, 67, 27, 12, 35
5ª pasada 08, 15, 16, 44, 27, 67, 12, 35
6ª pasada 08, 15, 16, 44, 27, 12, 67, 35
7ª pasada 08, 15, 16, 44, 27, 12, 35, 67

ANALISIS DE EFICIENCIA DEL METODO DE INSERCION DIRECTA

En general afirmar que si el arreglo se encuentra ordenado se efectúan como máximo n-1 comparaciones y o movimientos entre elementos Cmin = n-1.

El número máximo de comparaciones y movimientos se produce cuando los elementos del arreglo están en orden inverso
Cmax = 1+2+3+............+(n-1) = n*(n-1)/2
Cmax= (n2-n)/2

El número de comparaciones promedio que es cuando los elementos aparecen en el arreglo en forma aleatoria, puede ser calculado mediante la suma de las comparaciones mínimas y máximas divididas entre 2.
Cmed = [(n-1) + (n2-n)/2]/2
Al hacer la operación, nos queda:
Cmed = (n2+n-2)/4
Respecto al número de movimientos Knuth obtiene los siguiente:
Mmin = 0
Mmed = (n2-n)/4
Mmax = (n2-n)/2

El tiempo necesario para ejecutar el algoritmo es proporcionar a n2, O(n2).
A pesar de ser un método ineficiente y recomendable solo cuando n es pequeña, el método de inserción directa se comporta mejor que el método de intercambio directo analizado anteriormente.

Ejemplo 2:

Entrada

A: array [0..n] de T

Salida

A

Variables

x: T

i,j: 0..n

Inicio

desde i <-- 2 hasta i <-- n hacer

x <-- A[i]

A[0] <-- x (* asignamos x al centinela *)

j <-- i-1 (* empezar a comparar por el anterior *)

mientras x < A[j] hacer

A[j+1] <-- A[j] (* desplazamos hacia la izquierda *)

j <-- j-1 (* pasamos a otro elemento *)

fin_mientras

A[j+1] <-- x

fin_desde

Fin

Análisis del algoritmo

En el mejor de los casos, el array estará inicialmente ordenado, entonces el bucle interno (mientras) sólo ejecuta el paso de comparación, que siempre será falso. Esto implica que en el mejor de los casos el número de comparaciones sera n-1. Además, el número de asignaciones será fijo para cada iteración y, por tanto, el coste asociado será lineal con n.

En el peor de los casos, el array está inversamente ordenado y el número de comparaciones y asignaciones a realizar será máximo. En este caso, el número de pasos a realizar por el algoritmo es proporcional a 'n cuadrado'.

En el caso medio, el algoritmo de inserción directa, tanto en el número de comparaciones como en el número de asignaciones es de orden cuadrático.