Práctica - Óptica geométrica

Objetivos

• Aprender a manejar elementos ópticos.

• Comprobar las leyes de la reflexión y la refracción.

• Estudiar la desviación en un prisma.

• Aprender a calcular índices de refracción.

• Determinar focos y elementos característicos de espejos esféricos y distintos tipos de lentes.

Material

• Banco óptico

• Discos de papel

• Disco de Hartl

• Espejo plano

• Espejos cóncavo y convexo

• Prisma óptico

• Lámina plano-paralela

• Lente plano-convexa

• Lente plano-cóncava

Fundamentos

Cuando un haz de luz llega a la superficie de separación de dos medios transparentes con diferente índice de refracción (esto es distinta velocidad de la luz en cada uno de ellos), una parte de la luz continúa propagándose en el primer medio y con diferente dirección (rayo reflejado), cumpliendo así las leyes de la reflexión:

El rayo incidente, el reflejado y la normal a la superficie de separación de los dos medios están en el mismo plano.

Los ángulos de incidencia y de reflexión, son iguales.

Por otro lado, la parte de luz que penetra en el segundo medio, varía también su dirección de propagación (rayo refractado), y en éste caso cumple las propiedades de la refracción:

El rayo incidente, el refractado y la normal, están en el mismo plano.

Los senos de los ángulos de incidencia y de refracción del mismo rayo, cumplen la siguiente relación, llamada ley de Snell:

(1)

En esta práctica hemos considerado en cada caso, que sólo se presenta uno de los dos fenómenos. Ya que hemos utilizado espejos en los que se refleja casi toda la luz, y superficies transparentes en las que se refracta casi toda la luz.

También hemos tenido en cuenta que las normales a una superficie esférica son las rectas que pasan por el punto de incidencia y el centro de curvatura.

Realización

Leyes de la reflexión.

Situamos el disco de Hartl haciendo coincidir el rayo luminoso con el diámetro 0°-180°, y comprobamos que el rayo sigue pasando por el centro cuando giramos el disco.

Colocamos el espejo plano en el diámetro 90°-90°. Girando el disco, medimos los ángulos de incidencia y de reflexión, comprobando que son iguales.

Finalmente hacemos el experimento de inclinar el espejo hacia atrás y hacia delante. En el primer caso no hay traza del rayo reflejado, y en el segundo nos encontramos con una acumulación de luz. Relacionando este hecho con la primera ley de la reflexión, nos damos cuenta que lo que hemos hecho es separar del mismo plano los rayos de luz y la normal, con lo que se incumple esta primera ley.

Leyes de la refracción.

Con el sistema óptico del apartado anterior, colocamos en el disco de Hartl la sección de lente semicircular con la superficie plana sobre el diámetro 90°-90°y orientada Hacia la lámpara, de modo que la superficie deslustrada se apoya sobre el disco. Así conseguimos que los ángulos leídos coincidan con los reales.

Obtenemos medidas suficientes para representar gráficamente sen =f(sen  ). Con la pendiente obtenida mediante un ajuste por mínimos cuadrados, calculamos el cociente entre los índices de refracción de ambos medios.

Reflexión total y ángulo límite.

Varios rayos, que parten de un manantial puntual P, en un medio de índice de refracción n, y que inciden sobre la superficie de un segundo medio de índice n , siendo n <n. Cumplen la relación establecida por la ley de Snell:

De donde deducimos que para un cierto ángulo =L menor que 90° se cumple que  =90°. Este ángulo de incidencia cumple que, para cualquier ángulo mayor que él, la luz se refleja totalmente en la superficie de separación. Por eso se le llama ángulo límite.

Calculamos el ángulo límite para un vidrio:

Colocamos la parte convexa de la lente semicircular hacia la fuente luminosa, de modo que el rayo entre siempre normal a la superficie, ya que al girar el disco, el rayo sigue pasando por el centro de la lente, luego entra siempre normal ya que la normal une el punto de incidencia con el centro de curvatura, y no sufre refracción en la primera cara. En la práctica es como si la fuente luminosa estuviera dentro del vidrio.

Variamos el ángulo de incidencia sobre la segunda cara y comprobamos que existe un ángulo a partir del cual no se produce refracción en la segunda cara, sino que el rayo se refleja (reflexión total).

Observamos que este fenómeno se produce para ángulos mayores que el ángulo límite, L , para el cual se cumple que:

(2)

Refracción a través de un prisma

Disponemos de un prisma del que queremos hallar su índice de refracción utilizando la relación:

(3)

Donde n es el índice de refracción del prisma, A el ángulo de la arista y min el ángulo de desviación mínimo del rayo incidente. Para ello:

Colocamos el prisma sobre el disco de Hartl, variamos el ángulo de incidencia entre 30° y 60° (de 5° en 5°) y medimos el ángulo desviado,  con ayuda de dibujos en el papel.

Representamos la gráfica =f(i) y obtenemos el valor del ángulo de desviación mínima.

A partir del valor obtenido para el ángulo de desviación mínima, calculamos el índice de refracción del prisma, n, utilizando la relación anterior.

Lámina plano-paralela.

En una lámina plano-paralela, el rayo no se desvía, se desplaza quedando el rayo refractado paralelo al incidente. En la aproximación paraxial, el desplazamiento de la imagen se calcula respecto a la posición del objeto, y viene dado por OO'=a.

Si tomamos n como índice de refracción, y e como espesor de la lámina, tenemos:

(4)

Finalmente calculamos n a partir de diferentes medidas de a , calculadas a partir de dibujos de los rayos incidentes y reflejados, para distintos ángulos de incidencia.

Imagen dada por un espejo plano.

Colocamos la red de difracción entre el láser y el disco de Hartl, apareciendo sobre el disco tres rayos luminosos procedentes del foco de la lámpara que actúa de objeto (P).

Sobre el disco de Hartl colocamos un disco de papel, y encima de él un espejo plano, de modo que intercepte todos los rayos. Procurando no mover el sistema, trazamos la línea de intersección del espejo en el papel con los rayos incidentes y reflejados.

Llevamos el esquema a un papel mayor para prolongar tanto los rayos incidentes, como los reflejados.

Finalmente comprobamos que la imagen del filamento de la lámpara (P ) está a la misma distancia del espejo que el filamento P.

Foco de espejos esféricos.

Repetimos el montaje anterior, pero colocando ahora sobre el disco de Hartl, la lente plano-convexa.

Ajustamos la lente hasta que los tres rayos son paralelos.

El espejo se coloca de forma que su cara cóncava quede hacia la fuente luminosa y el centro de la curvatura del espejo sobre el haz central.. Así conseguimos que el haz central coincida con el eje óptico del espejo. También es preferible que el haz central divida al espejo en dos partes iguales.

Dibujamos todos los rayos y la línea de intersección del espejo con el papel., y al lugar donde se cortan los rayos reflejados se le llama foco del espejo.

Repetimos la experiencia con la cara convexa, y comprobamos que las prolongaciones de los rayos reflejados se cortan también en un mismo punto (el foco). Y que este foco está en el centro del segmento que une el centro del espejo con su centro de curvatura.

Finalmente comprobamos que en ambos casos se cumple f =R/2.

Foco de lentes.

Utilizando el montaje anterior, ajustamos los tres rayos para que sean paralelos, y hacemos igualmente coincidir el haz central con el eje óptico de las lentes. Dibujamos los rayos y las lentes, y encontramos la posición del foco de cada una de ellas (convergente y divergente).

Comprobamos que se cumple la expresión de la potencia de la lente (1/f) para lentes delgadas:

(5)

Medidas y resultados

a) Comprobación, a partir de las medidas realizadas, de las leyes de la reflexión.

La comprobación de la segunda ley de reflexión resulta trivial, ya que al medir los ángulos de incidencia y reflexión para distintas posiciones del espejo obtenemos idénticos ángulos de incidencia y reflexión en cada posición: un rayo que incide en el espejo 15º a un lado de la normal, produce un rayo reflejado que se desvía 15º al otro lado de la normal; también lo comprobamos con dos ángulos más arbitrarios, de 33º y 45º con idénticos resultados.

Todos los ángulos que medimos con el disco de Hartl van acompañados de una incertidumbre de 1º, y pudiera haber sido que el ángulo incidente y reflejado se diferenciasen hasta en ésta cantidad debido a alguna irregularidad imperceptible en la colocación del espejo respecto al disco o el centrado del disco en el banco óptico, sin que el resultado contradijera la ley. Pero dada la precisión con que colocamos los elementos en relación con la incertidumbre que tenemos en las medidas, éstas están dentro del límite de error. Dicho de otro modo, si hubiéramos medido los ángulos con mayor precisión, hubiéramos obtenido discrepancias que denotarían como necesaria una colocación mas precisa de los elementos sobre el banco de pruebas, antes que poner de manifiesto que la ley se ha dejado de cumplir, ya que una vez colocados los elementos con mayor precisión hubiéramos obtenido medidas con menor incertidumbre que apoyarían la ley.

La primera ley se pone de manifiesto cuando manteniendo fijo el borde del espejo que descansa en el banco, inclinamos éste sujetándolo por el borde superior: si lo inclinamos hacia la mesa, el plano que forman el rayo incidente, paralelo al banco, con la normal (que ahora esta inclinada hacia dentro de la mesa), se inclina consecuentemente hacia dentro de la mesa, con lo que observamos que el rayo reflejado se convierte en un punto sobre la mesa, ya que siguiendo el plano de reflexión que tenemos ahora, los rayos se introducirían en la mesa, y efectivamente observamos que chocan contra ésta.

Si inclinamos el espejo al contrario, desaparece el rayo reflejado, ya que el plano está inclinado ahora por encima de la mesa, y el rayo reflejado se eleva ahora sobre ésta; igual que antes con la mesa, podemos poner ahora la mano como obstáculo (tendremos que buscar un poco en el espacio, aunque parezca que estamos haciendo el canelo a los ojos de un neófito) para observar que el rayo sigue el plano que hemos predicho.

b) Comprobación de las leyes de refracción y valor del índice de refracción.

Según la colocación de la lente semicircular, con el rayo incidente pasando por su centro, conseguimos que el rayo se refracte al entrar en la lente, pero no se refracta al salir, ya que sale por la normal, que, como apuntamos en el método experimental, en la cara curva de la lente es la línea que une el centro con el punto por donde el rayo pasa. Como el rayo lo hemos dispuesto para que siempre pase por el centro, y siempre sale por el punto que sale (valga la redundancia), siempre está sobre la normal. Esto nos permite medir los ángulos de refracción que se producen dentro de la lente fuera de ésta, con el disco de Hartl.

Una vez hechas éstas consideraciones mostramos la tabla de valores medidos, en la que  es el ángulo de incidencia y ' el de refracción:

Tabla I - Ángulos medidos, leyes de refracción

n		'
	(º)	(º)
1	30±1	19±1
2	47±1	29±1
3	65±1	37±1
4	9±1	6±1
5	23±1	15±1
6	57±1	34±1
7	15±1	9±1

En la Tabla I hemos eliminado un valor de los que medimos, ya que la recta ajustada que posteriormente mostraremos no pasaba por dentro de su margen de error.

Vamos a construir la gráfica sen  = f(sen  ), para obtener fácilmente el índice de refracción del prisma de su ajuste por mínimos cuadrados.

Por tanto en la siguiente tabla presentamos los senos de los ángulos de incidencia y refracción y el error del seno, que viene dado por:

Tabla II - Construcción de la gráfica, leyes de refracción

n	sen '	ð(sen ')	sen 	ð(sen )
1	0,326	0,016	0,500	0,015
2	0,485	0,015	0,731	0,012
3	0,602	0,014	0,906	0,007
4	0,104	0,017	0,156	0,017
5	0,259	0,017	0,391	0,016
6	0,559	0,014	0,839	0,010
7	0,156	0,017	0,259	0,017

El ajuste por mínimos cuadrados nos proporciona los siguientes resultados:

m = 1,483 ± 0,018

n = 0,012 ± 0,007

r = 0,9996

Y de la fórmula teórica que relaciona sen =f(sen  ), podemos deducir:

y que la ordenada en el origen debe ser cero, ya que si el rayo incidente entra por la normal, no se refracta, siendo los ángulos de incidencia y refracción de 0º.

Encontramos en la bibliografía que n, el índice de refracción del aire es aproximadamente 1,003, que podemos aproximar por 1 con un error del 1%, de forma que obtenemos para el valor de n', el coeficiente de refracción del material de la lente:

n' = 1,48 ± 0,03

El error lo hemos obtenido sumando los errores relativos de m y n, y el resultado no tiene dimensiones ni unidades.

c) Comprobación de la existencia de un ángulo límite y reflexión total.

Como ya hemos expuesto en el método experimental de este apartado, la colocación de la lente semicircular permite estudiar el fenómeno como si la luz se produjera dentro del material de la lente, de índice de refracción superior al del aire y se refractara al pasar a éste medio. Así, el ángulo que medimos entre el rayo de luz emitido desde el aire y la normal a la superficie lente-aire es el que forman el mismo rayo de luz dentro de la lente con ésta normal.

Así, variando el ángulo de incidencia cuidadosamente obtenemos el ángulo límite que resulta ser:

L = 42º ± 1º

Vamos a comprobar que se cumple lo deducido de la ley de Snell:

En efecto:

los resultados no discrepan. Nótese que, al contrario que en el apartado anterior, ahora n es el índice de refracción de la lente, medio desde el que incide el rayo, y n' es el del aire, medio en el que se refracta.

d) Estudio de la desviación producida por el prisma y valor de n con su error.

Construimos la Tabla III con los ángulos de incidencia que ponemos y los ángulos de desviación obtenidos

Tabla III - Prisma

n	i	ð(i)	δ	ð(δ)
	(º)	(º)	(º)	(º)
1	13	1	30	1
2	6	1	40	1
3	5	1	43	1
4	26	1	25	1
5	40	1	24	1
6	50	1	26	1

Y de la gráfica 2, en la página siguiente, en la que hemos quitado el primero de los valores por diferir de la curva ajustada, obtenemos el ángulo de desviación mínima del prisma, que hemos estimado de δmin = 23º  1º. El ángulo del prisma es A = 45º  1º.

Con estos datos aplicamos la ecuación (4) que nos da el índice de refracción del vidrio que forma el prisma:

Y de su derivada hallamos el error del índice de refracción:

Hay que tener en cuenta que al multiplicar por (δmin) y (ð) hay que pasarlos a radianes.

El índice de refracción del prisma es:

n = 1,46 ± 0,02

Este resultado es compatible con los obtenidos para la lente semicircular que utilizamos en los apartados b) y c), por lo que podríamos deducir que se trata del mismo material.

e) Estudio del desplazamiento del rayo en la lámina plano-paralela.

Utilizamos la expresión (4), que es una aproximación paraxial, y nos permite hallar el índice de refracción del material de la lámina con su error de las siguientes expresiones:

Sabiendo que e = 2,99 ± 0,01 cm (medidos con el pie de rey) y los valores de a que hemos obtenido para rayos que inciden con pequeños ángulos, que incluimos en la siguiente tabla, podemos calcular valores aproximados para n, que también indicamos en la tabla:

Tabla IV - Lámina plano-paralela

a	ð(a)	n	ð(n)
(cm)	(cm)
0,3	0,1	1,1	0,4
0,8	0,1	1,36	0,14
0,9	0,1	1,43	0,15
1,4	0,1	1,9	0,2

Con estos valores podemos dar una media de n y su error, que resulta ser compatible con los valores de n para el prisma y la lente semicircular, con lo que deducimos que se sigue tratando del mismo material:

n = 1,4 ± 0,2

f) Posición del objeto y de la imagen dada por un espejo plano.

En este apartado y los siguientes hemos hecho una estimación de errores a partir de los dibujos que hicimos en el laboratorio, basada en asignar a cada punto obtenido sobre el dibujo una zona de incertidumbre, a mano alzada, según lo que consideramos que era posible que nos hubiéramos equivocado al trazar las líneas que nos llevan a determinar el punto.

Así, con un espejo plano y los rayos incidentes que parten de un punto
P = 16,5 ± 0,7 cm del espejo, los rayos reflejados se cortan detrás del espejo en
P' = 17,2 ± 0,7 cm, cumpliéndose que la imagen reflejada está a la misma distancia del espejo que el objeto original.

g) Determinación del foco de los espejos esféricos

Disponemos de dos espejos esféricos, uno cóncavo y otro convexo. Sabemos que en un espejo esférico el foco está en el segmento que une el centro del espejo con el centro de curvatura y que f = R/2.

Para comprobarlo mediremos el radio de los espejos y calcularemos el foco, para comprobar si coincide con la medida directa del foco que obtenemos uniendo los rayos reflejados.

Espejo cóncavo

Los rayos se unen delante del espejo, la imagen se ve ampliada porque prolongando los rayos hacia atrás parece que vengan de una imagen mayor.

R = 13,7 ± 0,8 cm

fexp = 6,1 ± 0,8 cm

Están dentro de los límites de error, y la diferencia entre ellos, 0,7 ± 0,9 cm, no es significativa.

Espejo convexo

Los rayos no se unen realmente, lo hacen virtualmente detrás del espejo, por lo que la imagen se ve reducida.

R = 13,4 ± 0,8 cm

fexp = 6,2 ± 0,8 cm

Los resultados son compatibles.

h) Determinación del foco de las secciones de lente.

Utilizaremos la expresión (5), conocida como la fórmula del constructor de lentes, en la que teniendo en cuenta que nuestras lentes tienen una cara plana (de radio infinito), podemos despejar de la siguiente manera:

Vamos a suponer que las lentes que utilizamos son, como así parece, del mismo material que los instrumentos utilizados anteriormente, y tomaremos n = 1,46 ± 0,02 para nuestros cálculos.

Lente plano-convexa

Es una lente de ampliación. Medimos los siguientes valores:

R = 5,0 ± 0,5 cm

fteórico = 10,8 ± 0,6 cm

fexperim. = 11 ± 0,5 cm

Observamos que la predicción concuerda con el valor medido.

Lente plano-cóncava

Es una lente reductora:

R = 5,1 ± 0,5 cm

fteórico = 11,0 ± 0,6 cm

fexperim. = 10,5 ± 0,5 cm

Los valores teórico y experimental concuerdan dentro de sus límites de error

Conclusiones

Es una práctica en la que se observan varios fenómenos diferentes entre sí, que hacen referencia todos a lo que se conoce como óptica geométrica. Así la práctica puede quedar un poco larga e inconexa entre sus partes.

Bibliografía

Física, Paul A. Tipler (Ed. Reverté)