Práctica de Laboratorio Nro.:1

Ondas Mecánicas en Cuerdas y Resortes

Objetivo

El objetivo de la práctica consiste en realizar un estudio experimental de los movimientos vibratorios transversales en cuerdas tensionadas y de los movimientos vibratorios longitudinales en resortes.

En ambos casos determinar la condición de resonancia y la formación de ondas estacionarias. Media además la velocidad de propagación de la onda.

Introducción

Podemos pensar al movimiento ondulatorio como el transporte de energía y momento desde un punto del espacio a otro sin que ello implique transporte de materia.

En las ondas mecánicas el transporte de energía y momento se produce como el efecto de una perturbación en el medio que se propaga (por ejemplo en una cuerda o en un resorte)debido a las características elásticas del mismo.

• Ondas Mecánicas en Cuerdas

Para el caso de las cuerdas tensionadas podemos observar que la velocidad de propagación de una onda depende del medio. La fórmula de la velocidad de propagación puede ser derivada de las Leyes de Newton, cuyo resultado es el siguiente:

V= (F/)1/2

Donde F es la tensión a la que la cuerda está sometida, y  es la densidad lineal de masa.

Al producir la perturbación del medio (moviendo la cuerda hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple) producimos un tren de ondas senoidales que se propaga a través de la misma. Denominamos a esta onda trasmitida como “transversal”, debido a que se cada punto de la cuerda se mueve en dirección perpendicular a la dirección en que se propaga la onda.

Llamamos longitud de onda “”a la distancia en el espacio en la cual la onda repite su forma (período “T”). Al propagarse la onda a lo largo de la cuerda, cada punto de la misma se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple y a una frecuencia “f”. Durante un período (T=1/f)la onda se mueve una distancia equivalente a una longitud de onda, de dónde obtenemos que:

V=/T=f*

Esta relación es válida para todo tipo de ondas.

Al producir la perturbación en el caso de cuerdas fijas en ambos extremos se generan ondas que se propagan a través de la misma y se reflejan. Estas ondas reflejadas tienen idéntica velocidad y frecuencia pero son de sentido contrario. Como resultado de la interferencia de éstas ondas se produce lo denominado patrón de ondas estacionarias. Las frecuencias resultantes de este patrón son las llamadas frecuencias de resonancia del sistema.

A la frecuencia de resonancia más baja del sistema la denominamos frecuencia fundamental ”f0”, Los siguientes modos de vibración son llamados frecuencias armónicas (f1, f2 ,f3,....., fn) y su longitud de onda viene dado por:

n=(2*L)/n donde n=1,2,3,....,n y L es la longitud de la cuerda.

Entonces, como resultado de lo analizado anteriormente, deducimos que:

Si V=fn*n => fn=v/ n => fn= v * (n/2L) = n*f0

Realización

Se dispone de un generador de funciones capaz de emitir sonidos puros conectado a un parlante (emisor acústico) mediante un conector del tipo BNC. Las señales emitidas que serán transmitidas al parlante serán de forma senoidal. Como muestra la figura 1 se une al emisor acústico a la cuerda horizontalmente tensionada, de forma que las ondas se propaguen por la misma.

Se deberá tener cuidado de que la amplitud del parlante no supere los +/- 5 mm y que el parlante se una a la cuerda muy cerca de uno de sus extremos fijos, ya que un nodo se formará cerca de éste.

Para la cuerda utilizada y la tensión establecida variamos la frecuencia del emisor acústico desde el generador de funciones comenzando desde cero y hallando por lo menos cuatro frecuencias dónde se observe resonancia. Observaremos la cantidad de nodos para cada frecuencia armónica.

Midiendo y calculando además la longitud A-B, la tensión y la densidad la cuerda, determinaremos la velocidad de propagación de la onda a través de la misma. Utilizaremos para ello las relaciones anteriormente expuestas en la introducción.

Repetiremos la misma experiencia para varias tensiones y diferentes tipos de cuerda.

Datos Obtenidos

• Cuerda Roja

Longitud A-B = 1.18m

MRoja = 0.0227Kg

Lroja = 2.115m

Roja = mRoja/Lroja = 0.00227Kg/2.115m = 0.01053Kg/m

m1=0.7027Kg

m2= 0.8862Kg

m3=1.0727Kg

F1=m1*9.8m/seg2= 0.7027Kg*9.8m/ seg2= 6.886N

F2=m2*9.8m/seg2= 0.8862Kg*9.8m/ seg2= 8.684N

F3=m3*9.8m/seg2= 1.0727Kg*9.8m/ seg2= 10.512N

V1=(F1/roja)1/2=(6.886N/0.01053Kg/m)1/2=21.21m/seg

V2=(F2/roja)1/2=(8.684N/0.01053Kg/m)1/2=28.71m/seg

V3=(F3/roja)1/2=(10.512N/0.01053Kg/m)1/2=31.59m/seg

• Cuerda Amarilla

Longitud A-B = 1.18m

MAmarilla = 0.0054Kg

Lamarilla = 2.095m

Amarilla = mAmarilla/LAmarilla = 0.0054Kg/2.095m = 0.00257Kg/m

m1=0.7027Kg

m2= 0.8862Kg

m3=1.0727Kg

F1=m1*9.8m/seg2= 0.7027Kg*9.8m/ seg2= 6.886N

F2=m2*9.8m/seg2= 0.8862Kg*9.8m/ seg2= 8.684N

F3=m3*9.8m/seg2= 1.0727Kg*9.8m/ seg2= 10.512N

V1=(F1/roja)1/2=(6.886N/0.00257Kg/m)1/2=51.76m/seg

V2=(F2/roja)1/2=(8.684N/0.00257Kg/m)1/2=58.13m/seg

V3=(F3/roja)1/2=(10.512N/0.00257Kg/m)1/2=63.95m/seg

• Cuerda Elástica

Longitud A-B = 1.18m

mElástica= 0.0131Kg

LElástica= 3.07m

Elástica= mElástica/LElástica = 0.0131Kg/3.07m = 4.26*10-3Kg/m

m1=0.1865Kg

m2= 0.370Kg

m3=0.5162Kg

L1=0.91m-0.86m=0.05m

L2=0.91m-0.605m=0.305m

L3=0.91m-0.175m=0.735m

F1=m1*9.8m/seg2= 0.1865Kg*9.8m/ seg2= 1.82N

F2=m2*9.8m/seg2= 0.370Kg*9.8m/ seg2= 3.62N

F3=m3*9.8m/seg2= 0.5162Kg*9.8m/ seg2= 5N

V1=(F1/elastica)1/2=(1.82N/4.26*10-3Kg/m)1/2 = 20.67 m/seg

V2=(F2/elastica)1/2=(3.62N/4.26*10-3Kg/m)1/2 = 29.15m/seg

V3=(F3/elastica)1/2=(5N/4.26*10-3Kg/m)1/2 = 34.2 m/seg

• Ondas Mecánicas en Resortes

A diferencia de las ondas mecánicas en las cuerdas, en el caso de los resortes, cada punto de los mismos oscilan en la misma dirección en la que se propaga la onda, por tal motivo las denominamos ondas longitudinales. Pero al igual que en el caso de las cuerdas, se produce una interferencia entre las ondas de idéntica velocidad y frecuencia, pero de sentido contrario debido a la reflexión en los extremos.

Las fórmulas de longitud de onda  y frecuencia f descritas anteriormente tienen la misma validez para este caso. En cambio, según las Leyes de Newton, la fórmula de la velocidad de propagación de la onda pasará a ser:

V= [K*(LR-L0)/(mR/LR)]1/2

Donde LR es la longitud del resorte estirado, L0 la longitud del resorte libre, K la constante elástica y mR la masa del mismo.

Realización

En éste caso el emisor acústico se encuentra unido a un extremo del resorte como indica la figura 2. De ésta forma las ondas se propagarán a través del mismo de forma longitudinal. Muy cerca del parlante se formará también un nodo.

El emisor estará conectado al generador de funciones de la misma manera que la anterior experiencia.

Se deberá tener cuidado de que la amplitud del parlante no supere los +/- 5 mm.

Para el resorte utilizado variaremos la frecuencia del emisor acústico desde el generador de funciones comenzando desde cero y hallando por lo menos cuatro frecuencias dónde se observe resonancia. Observaremos la cantidad de nodos para cada frecuencia armónica.

Midiendo y calculando además la longitud del resorte, su masa y la constante elástica K, determinaremos la velocidad de propagación de la onda a través del mismo. Utilizaremos para ello las relaciones anteriormente expuestas en la introducción.

Repetiremos la misma experiencia para varios tipos de resorte y compararemos con los datos obtenidos.

Datos Obtenidos

• Resorte1

LR1= 0.101m

mR1= 0.0098Kg

K1 = 11.3N/m

v1=12.1 m/seg

v1= [K*(LR-L0)/(mR/LR)]1/2= [11.28N/m(0.174m-0.101m)/(0.0098Kg/0.174m)]1/2

v1= 12.1 m/ seg

Cálculo del K del Resorte1:

Fuerza[N]	Delta L [m]
0,0638568	0,18
0,1290268	0,186
0,185024	0,193
0,312424	0,202
0,431004	0,213
0,611324	0,229

Cálculo de la velocidad de propagación del Resorte 1, Longitud Final 0.174m

FrecuenciaR1a	Coeficiente	n	Long. De Onda	Velocidad de Propagación	Longitud
33,11	2,736363636	1	0,365448505	12,1	0,18272425
50,9	4,20661157	2	0,237721022		0,23772102
68,4	5,652892562	3	0,176900585		0,26535088
85,16	7,038016529	4	0,142085486		0,28417097
102,38	8,461157025	5	0,118187146		0,29546786
119,06	9,839669421	6	0,101629431		0,30488829
136,01	11,24049587	7	0,088964047		0,31137416
152,9	12,63636364	8	0,079136691		0,31654676
168,71	13,94297521	9	0,071720704		0,32274317

Cálculo de la velocidad de propagación del resorte1, con longitud final de 0.25m

• Resorte 2

Cálculo del K del Resorte 2

LR2= 0.182 m

mR2= 0.010Kg

K2 = 3.28N/m

v2=2.73 m/seg

v2= [K2*(LR-L0)/(mR/LR)]1/2= [3.28N/m(0.182-0.057)/(0.010Kg/0.182m)]1/2

v2= 2.73 m/ seg

Fuerza[N]	Delta L [m]
0,065856	0,19
0,13279	0,206
0,194726	0,227
0,313306	0,263
0,430906	0,3

Cálculo de la velocidad de propagación del Resorte 2, Longitud Final 0.182m

FrecuenciaR2a	Coeficiente	n	Long. De Onda	Velocidad de Propagación	Longitud
18,29	6,6996337	1	0,149261892	2,73	0,07463095
27,04	9,904761905	2	0,100961538		0,10096154
36,51	13,37362637	3	0,074774035		0,11216105
45,5	16,66666667	4	0,06		0,12
54,5	19,96336996	5	0,050091743		0,12522936
63	23,07692308	6	0,043333333		0,13
72,54	26,57142857	8	0,037634409		0,15053763
81,61	29,89377289	9	0,033451783		0,15053302

Cálculo de la velocidad de propagación del Resorte 2, Longitud Final 0.28m

FrecuenciaR2b	Coeficiente	n	Long. De Onda	Velocidad de Propagación	Longitud
18,178	6,658608059	1	0,150181538	2,73	0,07509077
27,4	10,03663004	2	0,099635036		0,09963504
36,63	13,41758242	3	0,074529075		0,11179361
46,03	16,86080586	4	0,059309146		0,11861829
55,05	20,16483516	5	0,049591281		0,1239782
63,82	23,37728938	6	0,042776559		0,12832968
72,36	26,50549451	8	0,037728027		0,15091211
81,85	29,98168498	9	0,033353696		0,15009163

Propagación de errores

Resultados Calculados

• Cuerda roja

• Cuerda Amarilla

• Cuerda elastica

• Resorte

Conclusión

Pudimos determinar las velocidades experimentalmente mediante la medición de las ondas estacionarias y observar los nodos de los distintos armónicos, tanto en las cuerdas (que la velocidad de propagación es transversal) como en los resortes (la velocidad de la propagación es longitudinal).

Además se realizo la propagación de los errores para las distintas mediciones.

Universidad Nacional San Martín Fisica2

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