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En el mundo de las matemáticas se utilizan diferentes grupos de números como son nos números naturales, los enteros, los racionales o los reales. Pero algunas ecuaciones algebraicas, concretamente las ecuaciones en las que hay que calcular las raíces cuadradas de números negativos es donde aparecen los números complejos, que nos ayudan a resolverlas.

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Número imaginario : número complejo cuyo componente imaginario no es 0.

Si la parte real es 0 entonces es un número imaginario puro.

Número complejo: expresiones de tipo a + bi donde a y b son n. reales. Tienen parte real y parte imaginaria.

Esta es la forma bionómica ya que tiene solo dos términos

*Los números complejos opuestos son a + bi y -a - bi .

*Los números complejos conjugados son z= a+ bi y z = a - bi

3. Euler, Leonhard (1707-1783),es un matemático suizo que en una de sus obras trataba la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. En la matemática pura, él integró el cálculo diferencial de Leibniz y el método de Newton de flúxiones dentro del análisis matemático; refinó la noción de función; hizo común muchas notaciones matemáticas, incluso e, i, el símbolo de pi, y el símbolo de sigma

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Como resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir dos números complejos obtenemos otro número complejo.

Para sumar y restar se siguen las reglas de las operaciones de los números reales y cumplen la propiedad de asociación y la conmutativa pero teniendo en cuenta que

El 0 es el elemento neutro de la suma

-suma

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.   

Ejemplo: (4-2i) + (3+6i) = (4+3) + (-2+6)i = (7+4i)

- resta

(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i

Ejemplo: (9+3i) - (4+5i) = (9-4) + (3-5)i = (5-2i)

En la multiplicación también se siguen los pasos de la multiplicación de números reales . cumple también la propiedad asociativa y conmutativa

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación

-multiplicación

(a+bi) . (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i. 

Ejemplo: (3+2i)-(4+1i) = (3 4 - 2 1)+(3 1 + 2 4)i =(12-2)+(3+8)i= (10 + 11i)

.
el resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es siempre un número real.

- dividir

Para dividir dos números complejos hay que eliminar primero la parte imaginaria del denominador. Para ello multiplicamos al denominador por su conjugado. A continuación hacemos lo mismo con el numerador

Ejemplo:

(4-2i) / (3+6i)

(3+6i) . (3-6i) = (32+62) = 45

(4-2i) . (3-6i) = (12-12) + (-6-24)i = 0 -30i

*NO SE PUEDE DIVIDIR POR 0

potencias

Potencias de la Unidad Imaginaria:

Para encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” cogemos su exponente, y lo dividimos entre 4, y el resto siempre que va a se menor que 4 , será el valor que buscamos.

Ejemplo: 
   

Al dividir 43 entre 4 nos da 10 de cociente y 3 de resto.

5.

Todos los conjuntos numéricos que conocemos(naturales, racionales etc) se pueden representar en la recta real. Todos estos números ocupan cada punto de la recta por lo que a la hora de representar los números complejos nos vemos “obligados” a salir de la recta y rellenar el plano llamado plano complejo.

Se representan con ejes cartesianos siendo x el eje real e y el eje imaginario.

El punto extremo de la flecha se llama afijo del número complejo.

(a+bi) se representa :

-en el punto (a,b)

- mediante un vector de origen (0,0) y extremo en (a,b)

*las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales y además sin solución real tienen dos soluciones imaginarias: números complejos conjugados

6. Expresiones de los números complejos en forma polar.

Cada número complejo tiene un módulo y un argumento.

El módulo el la longitud del vector que representa el número complejo. Se representa z

El argumento es el ángulo que forma el vector respecto al eje real. Se designa arg(z)

Z es igual al radio (r) y arg(z) es igual a se podría decir entonces que

El número complejo 0 no se pone en forma polar.

8.

bibliografía usada:

• Encarta

• Libro de matemáticas

En internet:

• www.lasalvación.com/matemáticas

• ceinte.hypermart.net/matematicas/complex.htm

• platea.pntic.mec.es/~anunezca/Word/COMPLEJOS.html

• www.imaginativa.cl/~profesores/complj.htm