CUERPO NEGRO

En los años noventa del siglo pasado se plantó el problema de cómo los cuerpos calientes irradian energía. La teoría y la experimentación concordaban cuando se trataba de longitudes de onda mayores, pero los cálculos eran muy erróneos con las ondas cortas y una teoría no puede ser cierta a medias. Muchos científicos trataron de encontrar una salida a esta vergonzosa incongruencia científica que se empezó a llamar la «catástrofe ultravioleta».

Max Planck (1858-1947) se enfrascó con el problema hasta hallar una solución que publicó en 1900. Podía hacer que los cálculos teóricos coincidieran con las pruebas empíricas siempre que se emitieran la luz en breves destellos, o cuantos. Esto se resume en una de las dos célebre y engañosamente simples ecuaciones de la ciencia del siglo XX:

E = hv

(Donde E es la energía que contiene una de esas emisiones de luz, y v, la letra griega un, representa la frecuencia de la luz. Se enlazan mediante la h que es la «constante de Planck».)

Un cuerpo negro es un cuerpo tal que al calentarlo emite radiación electromagnética de acuerdo con la ley de Planck.

El cuerpo negro es una cavidad cuyas paredes están a una cierta temperatura. Los átomos que componen las paredes están emitiendo radiación electromagnética y al mismo tiempo absorben la radiación emitida por otros átomos de las paredes. El campo de la radiación electromagnética ocupa toda la cavidad. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes, la cantidad de energía que emiten los átomos por unidad de tiempo es igual a la que absorben. En consecuencia, cuando la radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con las paredes, la densidad de energía del campo electromagnético es constante. Los experimentos han demostrado que en el equilibrio, la radiación electromagnética encerrada tiene una distribución de energía bien definida; es decir: a cada frecuencia corresponde una densidad de energía que depende solamente de la temperatura de las paredes y es independiente de su material. La densidad de energía correspondiente a la radiación con frecuencia entre v y v + dv se escribe E(v) dv, en donde E(v) es la densidad de energía por intervalo unitario de frecuencias, denominado a veces densidad de energía monocromática. 

TEORÍA DE EMISIÓN FOTOELÉCTRICA

La emisión de electrones por metales iluminados con luz de determinada frecuencia fue observada a finales del siglo XIX por Hertz y Hallwachs. El proceso por el cual se liberan electrones de un material por la acción de la radiación se denomina efecto fotoeléctrico o emisión fotoeléctrica. Sus características esenciales son:

• Para cada sustancia hay una frecuencia mínima o umbral de la radiación electromagnética por debajo de la cual no se producen fotoelectrones por más intensa que sea la radiación.

• La emisión electrónica aumenta cuando se incrementa la intensidad de la radiación que incide sobre la superficie del metal, ya que hay más energía disponible para liberar electrones.

• En los metales hay electrones que se mueven más o menos libremente a través de la red cristalina, estos electrones no escapan del metal a temperaturas normales por que no tienen energía suficiente. Calentando el metal es una manera de aumentar su energía. Los electrones "evaporados" se denominan termoelectrones, este es el tipo de emisión que hay en las válvulas electrónicas. Vamos a ver que también se pueden liberar electrones (fotoelectrones) mediante la absorción por el metal de la energía de radiación electromagnética.

El experimento fotoeléctrico ha sido una de las experiencias más importantes para el desarrollo de la Física moderna. Lo más atractivo de dicho experimento consiste en su simplicidad. Se conecta una célula fotoeléctrica de vacío a una fuente de tensión, a través de una resistencia en serie. Un voltímetro y un amperímetro miden, respectivamente, la tensión y la corriente de la célula. La célula fotoeléctrica contiene dos elementos : el emisor y el colector. La luz ilumina el emisor, el cual proyecta electrones, que son recogidos en el colector. 

Durante los años 1886 y 1887, Heinrich Hertz realiza las experiencias claves que demuestran que la teoría de Maxwell es correcta, la cual dice que la energía de radiación electromagnética es proporcional a la intensidad de la onda e independiente de la frecuencia.

Hertz en sus experiencias utiliza tubos de descarga y observa que la descarga entre dos electrodos se inicia más fácilmente si sobre el cátodo se hace incidir radiación ultravioleta.

Lenard, en 1900, demuestra que la radiación al incidir sobre el metal del cátodo arranca electrones. Son estos electrones libre lo que facilitan la descarga. A este fenómeno se le denomina Efecto Fotoeléctrico y a los electrones liberados fotoelectrones. En el curso de sus experiencias determina que los electrones son arrancados con una distribución de energías cinéticas cuyo máximo es independiente de la intensidad de la fuente luminosa.

Fue después cuando Max Planck dice que la materia absorbe y emite energía de manera discreta y además dice que la radiación energética es proporcional a su frecuencia. Obtuvo una constante “h” cuyo valor es 6.6262 X 10-34 J.s.

En 1905 Albert Einstein consideró que la hipótesis de Planck debe ser generalizada y argumenta que la radiación debe estar compuesta por paquetes de energía bien definida -hv-, localizados en el espacio y que se mueven a la velocidad de la luz en el vacío: los quanta. De esta forma los electrones del metal siempre adquieren de la radiación una cantidad fija de energía, o bien absorben un cuanto o bien no lo hacen, y su energía cinética máxima será una función de la frecuencia de la radiación y de la energía de ligadura de los electrones en el metal.

Einstein y la radiación electromagnética

En 1905, Einstein propone que la radiación electromagnética está formada por paquetes “quanta” con energía h, localizados espacialmente, y que se mueven en el vacío con velocidad c. La intensidad de la onda electromagnética es, según Einstein, una medida del número o de la densidad de quanta, y dado que cada uno de ellos tiene una energía fija, la intensidad determina la energía total de lao nda ya que esta energía será igual al número de quanta por la energía de cada quantum. La quanta de radiación electromagnética reciben el nombre de fotones.

Perspectiva e interpretación de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico.

Es lo que sucede cuando la luz incide en ciertos materiales y arranca los electrones de sus átomos. Este efecto tiene varias aplicaciones prácticas, pro ejemplo en las cámaras de televisión, los fotómetros y las células fotoeléctricas solares.

El problema entonces era que la luz de corta longitud de onda (azul o violeta) arranca algunos electrones aunque sea muy débil mientras que la luz roja (de onda larga) no produce nada aunque sea muy fuerte. Es como si las fuerte rompientes dejaran intacto un castillo de arena siempre que hubiera mucha distancia entre ellas, mientras que las olitas insignificantes pudieran ir arrancándole trozos si venían muy juntas. Einstein comprendió que la luz en este caso no se comporta como onda sino como los corpúsculos de Newton.

Demostró que los cuantos de Planck no eran sólo una anomalía de la radiación atómica, sino que la misma luz no puede existir más que en pequeñas cantidades, o fotones. La energía de un solo fotón determinado depende de la frecuencia de la luz, como en la ecuación de Planck. Así se explica por qué la luz de onda larga (baja frecuencia) no produce el efecto fotoeléctrico: los fotones no poseen individualmente la energía necesaria para arrancar un electrón cuando chocan con un átomo, pero los fotones de gran energía de la luz violeta sí pueden. La luz débil tiene pocos fotones, pero cada uno pega más fuerte.

En esencia era una idea sencilla, pero nos lleva a aguas profundas. Si bien revivió la teoría corpuscular, no deja de lado la longitud de onda; ahora estaban firmemente unidas las dos ideas contradictorias. Ya no se trataba de cuál era cierta y cuál no; las dos eran necesarias para explicar la luz, aunque ser difícil comprender que algo tenga dos características que se excluyen mutuamente.

Einstein no pudo llegar a comprender el profundo significado de la teoría de los cuantos a pesar de haber sido uno de sus fundadores. Le incomodaba en particular una de sus consecuencias, el «principio de incertidumbre» expresado por Werner Heisenberg en 1923. Consiste en una limitación intrínseca de la cantidad de información que se puede tener sobre el mundo. Por ejemplo, se puede llegar a saber la cantidad de energía que tiene un electrón determinado, pero no por dónde va a salir; no se porta como una bola de billar bien educada, como deberían portarse hasta los más minúsculos objetos con arreglo a la teoría universal de Newton. Vistos de cerca, los más íntimos detalles de la naturaleza se vuelven borrosos, como una foto de periódico.

En el modelo de paquetes de energía, un electrón de metal o bien “absorbe” un paquete energético o bien se queda como está. Por tanto la energía final del electrón será:

Efinal (e) = Epaquete - W (e)

Efinal (e) = hv - W (e)

De acuerdo con el modelo se puede concluir que:

• La energía cinética máxima de los electrones es independiente de la intensidad de la fuente luminosa. Un aumento de la intensidad de la fuente implica un aumento del número de quanta incidiendo sobre los electrones, pero la energía de cada uno de ellos es siempre la misma, por tanto la máxima energía que adquieren los electrones no varía. Estaba en pleno acuerdo con la experiencia de Lenard.

• Para cada material existe una frecuencia, por debajo de la cual no es posible el efecto fotoeléctrico. Una vez más la independencia entre la energía máxima transferible al electrón, la del quantum, y la intensidad de la radiación, permite explicar los resultados de Millikan.

• Si utilizamos una fuente de radiación electromagnética de frecuencia adecuada, el efecto fotoeléctrico se comenzará a producir en el instante en que los fotones lleguen al metal, ya que la energía está “concentrada” en el paquete y no distribuida espacialmente como se suponía en el razonamiento clásico.

CAJA Y POZO DE POTENCIAL

La cuantización de la energía es uno de los conceptos más importantes de la Mecánica Cuántica, ya que explica las propiedades de los átomos que constituyen los componentes básicos de la materia.

Caja de potencial

Para calcular los niveles de energía, es necesario resolver una ecuación diferencial de segundo orden, la ecuación de Schrödinger, para la función potencial especificada, que en muchos casos carece de solución analítica sencilla. Por simplicidad, elegiremos como modelos de átomo, primero una caja de potencial y después un pozo de potencial.

Consideremos una partícula obligada a moverse en una región entre x=0 y x=a, tal como una molécula de gas en una caja, un electrón libre en un trozo de metal, etc. Si la energía cinética del electrón es pequeña comparada con la altura de la barrera de potencial, el electrón se podrá mover libremente a través del metal pero no podrá escapar de él.

Podemos representar estas situaciones físicas, por un potencial rectangular de altura infinita. Tenemos que Ep(x)=0 para 0<x<a, ya que la partícula se mueve libremente en esta región, y fuera de esta región la energía potencial se hace infinita. Entonces, cualquiera que sea el valor de le energía E de la partícula, ésta no puede estar a la izquierda de x=0, ni a la derecha de x=a. La función de onda en dichas regiones debe de ser nula.

La ecuación de Schrödinger en la región 0<x<a donde Ep(x)=0 se escribe

Las condiciones de contorno requieren que ð(x)=0 en x=0, obtenemos

ð(x)=2iAsen(kx)

y también, que ð(x)=0 en x=a. Como A no puede ser cero, tenemos entonces,

sen(ka)=0 por lo que ka=nð donde n es un número entero.

La energía de la partícula será

Si E1 es la energía del primer nivel (n=1) la energía de los sucesivos niveles es 4E1, 9E1, 16E1... Concluimos que la partícula no puede tener una energía arbitraria, sino valores concretos, decimos que la energía de la partícula está cuantizada.

Las funciones de onda se parecen a los modos de vibración de una cuerda tensa, sujeta por ambos extremos o también denominadas fisica/ondas/estacionarias/estacionarias.html">ondas estacionarias. Observaremos, que el modo fundamental no tiene nodos (no corta al eje horizontal). El segundo armónico, tiene un nodo (corta una vez al eje horizontal), el tercero tiene dos nodos, y así sucesivamente. Podemos saber el orden del nivel de energía contando el número de veces que la función de onda corta al eje horizontal.

El pozo de potencial

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en las regiones (1) y (2) son respectivamente, véase el escalón de potencial (E<E0).

ð2(x) debe tender a cero cuando x se hace grande, para ello A2 tiene que ser cero.

Las condiciones de continuidad de la función de onda ð(x) y su derivada primera en la frontera x=a entre las dos regiones de distinto potencial, constituyen un par de ecuaciones que relacionan A1 y B1 con B2.

Este último parámetro, determina la escala vertical de la función de onda ð(x), y se puede obtener a partir de la condición de normalización

La simetría de la función potencial Ep(x) hace que los estados de energía de la partícula puedan ser

• Simétricos si ð(x)=ð(- x)

• Antisimétricos si ð(x)=-ð(-x)

Los niveles de energía para los estados simétricos se determinan haciendo ð(x)=ð(-x). Operando y simplificando se obtiene la ecuación trascendente de la energía

qsen(qa)-kcos(qa)=0

Los niveles de energía para los estados antisimétricos se obtienen haciendo ð(x)=-ð(-x). Se obtiene la ecuación

ksen(qa)+qcos(qa)=0

Las raíces de las dos ecuaciones nos dan los niveles de energía de la partícula en el pozo de potencial. En el applet que viene a continuación se resuelve numéricamente dichas ecuaciones, se calcula los niveles de energía y se representa las funciones de onda de un pozo de potencial de altura y anchura dadas.

CONCLUSIÓN

La idea de que la luz se propaga como una serie de paquetes de energía esta en franca contradicción con la teoría ondulatoria de la luz, sin embargo ésta última, que proporciona el único medio de explicar los fenómenos ópticos, es una de las teorías mas firmemente establecidas.

Las teorías cuántica y ondulatoria de la luz se complementan.

No tenemos otra alternativa que considerar a la luz como algo que se manifiesta en ocasiones como una corriente de fotones discretos, o bien como un tren de ondas el resto del tiempo.

La verdadera naturaleza de la luz ya no es algo que se puede conceptualizar en términos de la experiencia cotidiana y debemos considerar las dos teorías con todas sus contradicciones, como las mas aproximadas que podemos tener para una descripción de la luz.

La teoría de Einstein, y su elaboración subsecuente, formó mucho de base para lo que hoy es la Mecánica Cuántica.