MUESTREO

1.- INTRODUCCIÓN

El muestreo estadístico es la herramienta que la Matemática utiliza para el estudio de las características de una población a través de una determinada parte de la misma.

La muestra de estudio debe ser lo más pequeña posible ya que del hecho de que una muestra sea más grande, no se desprende necesariamente que la información sea más fiable.

Además, la muestra elegida debe serlo por un proceso aleatorio para que sea lo más representativa posible.

Términos usuales en un estudio estadístico

• Población: conjunto de todos los individuos que son objeto del estudio.

• Muestra: parte de la población en la que miden las características estudiadas.

• Muestreo: proceso seguido para la extracción de una muestra.

• Encuesta: proceso de obtener información de la muestra.

Métodos de muestreo

1.- Muestreo no probabilístico: no se usa el azar, sino el criterio del investigador.

2.- Muestreo probabilístico o aleatorio:

2.1.- Muestreo aleatorio simple: se asigna un número a cada uno de los individuos de la población, y seguidamente se van eligiendo al azar los componentes de la muestra. La elección de un individuo no debe afectar a la del siguiente, por tanto debe reemplazarse el nº, una vez extraído.

2.2.- Muestreo sistemático: se ordenan previamente los individuos de la población, después se elige uno al azar y a continuación, a intervalos constantes, se eligen todos los demás hasta completar la muestra.

2.3.- Muestreo estratificado: se divide la población total en clases homogéneas (estratos). La muestra se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada estrato.

Ejemplo: en un I.E.S. hay 120 alumnos en 2º de Bachillerato provenientes de 4 zonas o pueblos.

Zona A: 20 alumnos

Zona B: 32 alumnos

Zona C: 60 alumnos

Zona D: 8 alumnos

Hay que elegir una muestra de 20 alumnos para hacerles una serie de preguntas.

Utiliza los tres métodos de muestreo aleatorio para escoger la muestra.

2.- DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

Es evidente que los resultados obtenidos del estudio de una muestra no son del todo fiables, pero sí en buena medida. Los parámetros que obtienen de una muestra (estimadores estadísticos) nos permitirán arriesgarnos a predecir una serie de resultados para toda la población. De estas predicciones y del riesgo que conllevan se ocupa la Inferencia Estadística.

Distribución de medias muestrales

Si una población tiene N elementos, el nº de muestras distintas de tamaño n que se pueden elegir es

. Si pueden repetirse individuos, el número de muestras será igual a
.

Ejemplo: calcular el nº de muestra de tamaño 21 que pueden elegirse en una población de 120 alumnos:

Repaso de la distribución normal

Ejercicios:

a) p(Z<1) b) p( Z>1´3) c) p(Z<-0´5) d) p(-0´5<Z<1´3)

p(X<21) p(X<-7) p(X>31)

Parámetros muestrales

Elegida una muestra, hallaremos en ella la media
y la desviación típica S. Lo que tendremos que estudiar será la representatividad de estos parámetros muestrales con los parámetros reales de la población, es decir: la media poblacional , y la desviación típica de la población  .

Si en una población de N individuos tomamos todas las muestras posibles de tamaño n, se puede demostrar que la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional, esto es

Sin embargo, no se cumple lo mismo para la desviación típica de las medias muestrales, sino que se verifica que
, siendo n el tamaño de las muestras.

Teorema central del límite

• La distribución de las medias muestrales de tamaño n, extraídas de una población normal
  , se ajustan a una normal
  .

• Si las medias muestrales provienen de una población no normal, pero el tamaño de las mismas es n"30, la distribución de las medias muestrales también se ajusta a una
  .

Ejemplo: en el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal de parámetros =3.100 gramos y = 150 gramos.

Ejercicio: en una oposición en la que participan miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las calificaciones se distribuyeron normalmente con media =72 puntos y desviación típica =10.

Ejercicios:

3.- INTERVALOS DE PROBABILIDAD

A los intervalos simétricos respecto de la media o proporción poblacionales se les denomina intervalos de probabilidad.

Intervalos de probabilidad para la media muestral

Sabemos que la distribución de medias muestrales es normal de media
y desviación típica, donde  y  son los parámetros de la población.

Nos haremos la siguiente pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos valores simétricos respecto de la media poblacional?, es decir, queremos evaluar las siguientes probabilidades:

Se llama intervalo de probabilidad para la media a uno de la forma
tal que se cumple que la probabilidad de que
se encuentre en él es igual a .

Al parámetro  se le llama nivel de confianza, y la diferencia (1-) es el riesgo asumido.

Si tipificamos la variable
, llegaremos a una expresión de la forma:
, donde Z es una variable que se ajusta a una N(0, 1). De este modo podremos evaluar el valor de k consultando la tabla de valores de dicha distribución.

Ejemplo: vamos a hallar el intervalo de probabilidad para el peso medio de una muestra de 100 recién nacidos, con un nivel de confianza de 0,9, sabiendo que =3.100 gramos y =150 gramos.

Solución: como se ha dicho anteriormente, tenemos que evaluar la siguiente expresión

si consultamos en la tabla de la N(0, 1), comprobaremos que
, por lo tanto, el intervalo de probabilidad será el siguiente:

que simplificado, es el intervalo

(3.075´325 ; 3.124´675)

Ejercicios:

Ejercicios:

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ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

1.- ESTIMACIÓN A PARTIR DE UNA MUESTRA

Habitualmente, lo normal es que se desconozcan la media y la desviación típica de la población y que, mediante técnicas de muestreo, se busque estimarlas con la fiabilidad necesaria. Así, si para 400 individuos de una región, elegidos al azar, se obtiene una renta per cápita de 1.215.000 ptas, con una desviación típica de 650.000 ptas, podemos hacernos dos preguntas:

Cuando se contestan estas preguntas se está haciendo una estimación a partir de la muestra.

2.- INTERVALOS DE CONFIANZA

En este apartado vamos a dar respuesta a las dos preguntas anteriores.

Intervalo de confianza para la media muestral

Al intervalo
se le llama intervalo de confianza para la media poblacional, siendo los elementos que aparecen en dicho intervalo, los ya estudiados anteriormente.

La probabilidad de que la media de la población se encuentre en este intervalo es , que es el nivel de confianza. Si la confianza es , suele decirse que el nivel de significación es 1- , o nivel de riesgo.

En el caso en que la desviación típica de la población sea desconocida (), no tendríamos más remedio que sustituirla por la desviación muestral s; así el intervalo de confianza para la media poblacional , para
, sería

con una probabilidad de , siendo
y s la media y la desviación típica de la muestra, respectivamente.

A
se le llama error típico de la media.

Ejemplo: para una muestra de 400 personas elegidas al azar se obtiene una renta per cápita de 1.215.000 ptas. Si la desviación típica de la renta per cápita para la población es de 700.000 ptas, calcula el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de significación de:

Ejercicios:

3.- ERROR ADMITIDO Y TAMAÑO DE LA MUESTRA

Error admitido

Cuando decimos que la media poblacional
con un nivel de confianza
, estamos admitiendo un error máximo de
. A este número se le llama error máximo admisible.

Tamaño muestral

El tamaño muestral mínimo de una encuesta depende de la confianza que se desee para los resultados y del error máximo que se esté dispuesto a asumir.

El tamaño mínimo n de una muestra viene dado por:

Para la media:

Para tamaños de muestra mayores que n el error será menor que E.

Ejercicios:

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

I.E.S Francisco de los Ríos

Departamento de Matemáticas