MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

• Conceptos fundamentales

Si una partícula se mueve ajo largo del eje x se dice que lo hace con un movimiento armónico simple cuando x, su desplazamiento desde el punto de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación

x =Acos (ωt+φ) (13.1)

donde A, ω, y φ son constantes del movimiento. Con el fin de brindar significado físico a estas constantes es conveniente graficar x como una función de t, de tal manera indicada en la figura 13.1. Observe primero que A, o amplitud del movimiento, es el desplazamiento máximo de la partícula en la dirección x, ya sea positiva o negati­va. El ángulo constante φ recibe el nombre de constante de fase (o ángulo de fase) y junto con la amplitud A está determinado sólo por el desplazamiento y la velocidad inicial de la partícula. Las constantes φ y A nos indican cuál en el desplazamiento en el tiempo t=0. La cantidad (ωt+φ) es conocida como fase del movimiento y es útil para comparar los movimientos de dos sistemas de partículas. Advierta que la función x es periódica y se repite a si misma cuando ωt aumenta en 2 rad.

El periodo, T, del movimiento es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo. Es decir, el valor de x en un tiempo t es igual al valor de x en un tiempo t =2/ω con el hecho de que la fase aumenta en 2 rad en un tiempo T:

ωt + φ + 2  ω (t +T) + φ

Por lo tanto, ωT= 2, o

T =— (1.1)

El inverso del periodo recibe el nombre de frecuencia del movimiento, f. La frecuencia representa el número de oscilaciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo:

T = — = — (1.2)

Las unidades de f son ciclos/s o hertz (Hz).

Al reescribir la ecuación (1.2) se obtiene

ω = 2f = — (1.3)

La constante ω recibe el nombre de frecuencia angular y tiene unidades de radianes por segundo.

Podemos obtener la velocidad de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple diferenciando la ecuación 13.1 respecto del tiempo:

v = — = -ω Asen(ωt+φ) (1.4)

La aceleración de la partícula es

a = — = -ω2Asen(ωt+φ) (1.5)

Puesto que x =Acos (ωt+φ), podemos expresar la ecuación (1.5) en la forna

a = -ω2x (1.6)

Puesto que las funciones seno y coseno oscilan entre ± 1, de la ecuación (1.4) vemos que los valores extremos de v son ±ωA. Según la ecuación (1.5), los valores extremos de la aceleración son ±ω2A. En consecuencia, los valores máximos de la velocidad y la aceleración son:

vmax =ωA

amax =ω2A

La figura 13.2a representa el desplazamiento contra el tiempo para un valor arbitrario de la constante de fase. Las curvas de velocidad y aceleración contra tiempo se ilustran en las figuras 13.2b y 13.2c. Según éstas curvas, la fase de la velocidad difiere de la fase del desplazamiento en /2rad, o 90°. Esto significa que, cuado x es un máximo o un mínimo, la velocidad es cero. De igual modo, cuando x es cero, la velocidad es un máximo. Advierta también que la fase de la aceleración difiere de la fase del desplazamiento en  rad, o 180°. Es decir, cuando x es un máximo, a es un máximo en la dirección opuesta.

La constante de fase φ es importante cuando se compara el movimiento de dos o más partículas oscilantes. Suponga que la posición inicial x0y la velocidad inicial v0 de un solo oscilador están dadas, es decir, en t =0, x =x0 y v=v0. En estas condiciones, las ecuaciones 13.1 y 1.4 producen

x0 =A cos φ y v0 =-ωA sen φ (1.7)

Ccc

Al dividir la segunda de estas ecuaciones por la primera se elimina A, Lo que produce v0/x0 =-ω tan φ, o

tan φ = - (1.8)

Aún más, si elevamos al cuadrado las ecuaciones (1.7) y sumamos términos, ob­tenemos x02 + ( )2 = A2cos2φ + A2 sen2φ. Al despejar A, encontramos

A=* x02 + ( )2 (1.9)

Así pues, vemos que φ y A se conocen sise dan x0,ω y v0.

Las siguientes son propiedades importantes de una partícula que efectúa un movimiento armónico simple:

• El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo pero no están en fase, como se muestra en la figura (1.1).

• La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento pero en la di­rección opuesta.

• La frecuencia y el periodo de movimiento son independientes de la amplitud.

• Dinámica del movimiento armónico simple

En la sección anterior definimos el movimiento armónico simple mediante sus pro­piedades cinemáticas expresadas por la ec. (13.1). Sólo posteriormente discutimos la clase de fuerza necesaria para producir tal movimiento (dada por F = -mω2x = -kx)

Sin embargo, es importante discutir el problema inverso: Demostraremos que, dada una fuerza de atracción proporcional al desplazamiento (esto es, F=-kx), el movimiento resultante es armónico simple.

Un procedimiento consiste en usar la ecuación de movimiento, F = ma, con­siderando F=-kx, y, recordando que en un movimiento rectilíneo a = d2x/dt2, escribir la ecuación

d2x d2x

m—-— =—kx ó m—---+ kx =0.

dt2 dt2

Haciendo ω2= k/m, podemos escribir

d2x

—---+ω2x =0. (1.10)

dt2

Esta es una ecuación diferencial cuyas soluciones se conocen que son funciones senos o cósenos de ωt. Sustituyendo en lugar de x el valor de A sen (ω t+ α), podemos verificar directamente que esta expresión de x, que corresponde al movimiento armónico simple, satisface a la ec. (1.10). Por consiguiente, decimos que x = A sen (ω t +α) es la solución general de la ec. (1.10) ya que tiene dos constantes arbitrarias, la amplitud A y la fase inicialα.* Por lo tanto, verifi­camos el hecho de que una fuerza de atracción proporcional al desplazamiento produce movimiento armónico simple.

En este punto nos adelantamos a decir al estudiante que esta ecuación dife­rencial (1.10) aparece en muchas situaciones en física. Donde se le encuentre indica que el fenómeno correspondiente es oscilatorio de acuerdo a la ley A sen(ω t+ α),ya sea que describa un desplazamiento lineal o angular de una partícula, una corriente eléctrica o la concentración iónica en un plasma, a temperatura de un cuerpo, o cualquiera de una multitud de otras situaciones físicas.

• Vector rotante

La componente x del vector suma OP de los vectores rotantes OP1 y OP'2, es justamente la suma de las componentes X de OP1 y OP2 (esto es, x1 +x2),. y por ende es igual a x. También, ya que el ángulo entre OP'1 y OP'2 tiene el valor fijo δ =α2 − α1, el

vector OP tiene una magnitud constante A, y rota también alrededor de O con velocidad angular ω. Por consiguiente el vector votante OP' genera un movimiento armónico simple de frecuencia angular ω, y podemos escribir x =OP,

x = A sen (ωt + α). (1.11)

Calculamos la amplitud A al vector resultante de los dos vectores:

A = A2+A+2A1A2cosδ (1.12)

La fase inieial α puede encontrarse proyectan­do los tres vectores sobre los ejes OX1 y OY1 los cuales rotan con velocidad angular ω

Constituyendo un sistema de referencia.

• Energía del movimiento armónico simple

Examinemos la energía mecánica del sistema masa-resorte.

Puesto que la superficie no presenta fricción, esperamos que la energía mecánica

total sea constante. Podemos utilizar a ecuación

1.4 para expresar la energía cinética como:

½mv2 = ½mω2A2sen2 (ωt + φ ). (1.13)

La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x está dada por ½kx2. con la ecuación 13.1, obtenemos

U=½kx2=½kA2cos2 (ωt+φ) (1.14)

Vemos que K y U son siempre cantidades positivas. En vista que ω2 =k/m, podemos expresar la energía total del oscilador armónico simple como

Pero sen2 θ+cos2 θ =1, donde θ=(ωt+φ), en consecuencia, esta ecuación se reduce a

E=½kA2 (1.15)

E=K+U=½kA2[sen2(ωt+φ)+cos2(ωt+φ)

Lo cual significa que la energía de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud. De hecho, la energía mecánica total es igual a la energía potencial máxima almacenada en el resorte cuando ±A. En estos puntos, v= 0 y no hay energía cinética. En la posición de equilibrio, x =0 y U =0, de manera que la energía total esta toda en la forma de energía cinética. Es decir, en x=0, E= ½mv2max= ½mω2ª2.

En la figura 13.8ase presenta gráficas de la energía cinética y potencial contra el tiempo, donde hemos tomado φ=0.como se mencionó antes, tanto K como U siempre son positivas y su suma en todo momento es una constante igual a ½kA2, la energía total del sistema. Las variaciones de Ky U con el desplazamiento se grafican en la figura 13.8b.La energía se trasforma continuamente de la energía potencial almacenada en el resorte a la energía cinética de la masa.

• Aplicaciones del MAS

* 1.1 A Resonancia en mecánica

Frecuencímetro. Sobre el soporte de un giroscopio, se sueldan varias láminas de acero de longitudes diferentes y por lo tanto de frecuencias propias diferentes figura 1.1ª.Se hace girar el giroscopio. Su movimiento se frena por rozamiento y como la rueda nunca es perfectamente equilibrada, su eje comunica al soporte impulsos de frecuencias variables. Todas las láminas vibran en oscilaciones forzadas. Cuando la frecuencia del giroscopio llega ala frecuencia propia de una lámina, ésta vibra con una fuerte amplitud; entra en resonancia. Así se verán las láminas vibrar sucesivamente de la más corta a la más larga.

Para una corriente dada, una de las láminas vibrará fuertemente, y esto nos indicará la frecuencia de la corriente.

(b) Motores. El soporte de un motor que gira vibra en oscilaciones forzadas con amplitud muy pequeña. Pero si el soporte entra en resonancia se puede romper. En los autos viejos, algunas veces se nota que las latas entran en resonancia a cierta velocidad del motor; inmediatamente hay que cambiar de velocidad.

(c) Puentes. Los puentes deben construirse con frecuencias propias muy diferentes de las que puede producir el viento o los hombres. Citamos dos casos: en Francia, el 14 de abril de 1850, al paso de una tropa en formación, el puente de la Maine se rompió debido a la resonancia entre la frecuencia propia del puente y la del paso de los soldados. Desde este día, los soldados de cualquier parte del mundo, deben romper la formación al pasar sobre un puente.

En Estados Unidos,el lo. de enero de 1940, sobre el puente del Estrecho de Tachoma, el viento produjo una fuerza periódica en resonancia con una frecuencia propia del puente. El puente se columpió hasta romperse.

*1.1AResonancia en acústica

Si se golpea un diapasón, otro diapasón de igual fre­cuencia situado a alguna distancia se pondrá a vibrar. Un cantante puede hacer oir una nota de un piano, cantando delante de él la misma nota o hacer vibrar un vaso de cristal hasta provocar la ruptura sin tocarlo.

Una vitrina puede vibrar cuando pasa un avión o un bus en la vecindad.

Si un diapasón que vibra toca una mesa, el sonido se amplifica; la mesa vibrará en oscilaciones forzadas. Pero si queremos mejorar esta amplificación, se adapta una caja de resonancia calculada de tal manera que haya resonancia entre las ondas de la caja y el diapasón.

El violín, como el piano, son cajas de resonancia de acople fuerte que amplifica todos los sonidos de las cuerdas vibrantes en oscilaciones forzadas. Lo mismo se puede decir de los altavoces, teléfonos y del tímpano del oído.

En una orquesta, un violín ligeramente desafinado, tocará exacto, por las vibraciones forzadas impuestas por los otros violines.

1.3A Resonancia en electricidad

Sintonizar una emisora es modificar la frecuencia de un circuito receptor, de tal manera que entre en resonancia con la frecuencia de las ondas captadas. En este momento, la corriente del circuito receptor es máxima y fácilmente se podrá amplificar.

1.4A Resonancia en óptica

La luz de cierta frecuencia incidiendo sobre algunos átomos puede producir luz de la misma frecuencia.

Es el principio de la emisión estimulada del efecto

2 PÉNDULO SIMPLE

Un ejemplo de movimiento armónico simple es el movimiento de un péndulo. Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por una cuerda de longitud l y de masa despreciable (Fig. 12-7). Si la partícula se lleva a la posición B de modo que la cuerda haga un ángulo θ0 con la vertical OC, y luego se suelta, el péndulo oscilará entre B y la posición simétrica B'.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones, debemos escribir la ecuación de movimiento de la partícula. La partícula se mueve en un arco de circulo de radio l = OA. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso mg y la tensión T a lo largo de la cuerda. De la figura, se ve que la componente tangencial de la fuerza es:

FT =-mg.sen

Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento S = C.A. La ecuación del movimiento tangencial es FT =-maT , y como la particula se mueva a lo largo de un circulo de radio l, podemos usar la ecuación aT = dv/dt =R(dω/dt)= R(d2θ/dt2 = Rα (reemplazando R por l para expresar la aceleración tangencial. Esto es aT=ld2θ/dt2 La ecuación del movimiento tangencial es por consiguiente

ml d2θ = -mg senθ ó d2θ + g senθ = 0 (2.1)

dt2 dt2 l

Esta ecuación no es del mismo tipo que la ec. (1.10) debido a la presencia del senθ. Sin embargo, si el ángulo es pequeño, lo cual es cierto si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, podemos escribir senθ~θ en la ec. (2.1) para el movimiento del péndulo, obteniéndose

d2θ + g θ = 0

dt2 l

Esta es la ecuación diferencial idéntica a la ec. (1.10) si reemplazamos x por θ, esta vez refiriéndonos al movimiento angular y no al movimiento lineal. Por ello podemos llegar a la conclusión que, dentro de nuestra aproximación, el movimiento angular del péndulo es armónico simple con ω2 = g/l. El ángulo θ puede así expresarse en la forma θ = θ0 sen (ωt +α)4. Entonces, usando la ecuación ω = 2/P = 2v, P =2/ω, el periodo de oscilación está dado por la expresión

P = 2 √l/g (2.2)

Nótese que el período es independiente de la masa del péndulo. Para mayores amplitudes, la aproximación senθ~θ no es válida. En tal caso, la fórmula del periodo depende de la amplitud θ0. Si deseamos obtener la fórmula general del periodo, primero expresamos la energía potencial del péndulo como una función del ángulo y la sustituimos luego en la expresión de P dada por la ecuación P=2 ∫ . Nosotros omitiremos los detalles matemáticos, pero indicaremos que el resultado puede expresarse por la serie

P =2√l/g (1 +¼sen2 ½θ0+9/64sen4 ½θ0 +…)

La variación con la amplitud θ0 del periodo P, expresado en función del periodo P0 = 2√l/g correspondiente a oscilaciones muy pequeñas, se ilustra en la Fig. 12-8. Nótese que el período P difiere apreciablemente de .P0 solamente para amplitudes muy grandes. Para pequeñas amplitudes es suficiente tomar el primer término correctivo, y aun sustituir ½θ0 por sen ½θ0, obteniéndose

P=2√l/g (1 +1/16θ20) (2.3)

donde, θ0 se expresa en radianes. Esta es una aproximación suficiente para la mayor parte de las situaciones prácticas. De hecho, el término θ20/16 representa menos del 1 % para amplitudes menores de 23º.

Hay, sin embargo, un diseño especial en el cual el periodo de un péndulo es independiente de la amplitud. Este diseño recibe el nombre de péndulo cicloidal. Una cicloide es una curva generada por un punto en el borde de un disco que rueda sobre un plano, como se muestra en la Fig. 12-9. Si en un plano vertical construimos una trayectoria con la forma de una cicloide, y dejamos que la masa m oscile bajo la acción de la gravedad, la amplitud del movimiento dependerá del punto desde el cual se suelta la partícula, pero el periodo siempre será P=4√a/g , siendo a el radio del circulo que genera la cicloide.

Una manera práctica de construir un péndulo cicloidal se ilustra en la Fig. 12-10, donde C1 y C2 son dos contornos cicloidales. Por razonamiento geométrico, puede demostrarse que cuando el péndulo está suspendido entre ellos, su masa describe una cicloide, y el periodo de oscilación es independiente de la amplitud.

3. PÉNDULO COMPUESTO O FÍSICO

Un péndulo compuesto ó físico es cualquier cuerpo rígido soportado de tal forma que pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad. Sea ZZ' el eje horizontal y C el centro de masa del cuerpo. Cuando la línea OC hace un ángulo θ con la vertical, la componente Z del torque actuante sobre el cuerpo es TZ= - mgb senθ, donde b es la distancia OC entre el eje Z y el centro de masa C. Si I es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje Z, y x=d2θ/dt2 es la aceleración angular. Suponiendo que las oscilaciones son de pequeña amplitud, podemos suponer que senθ~θ, de modo que la ecuación del movimiento es

d2θ = mgb θ

dt2 I

ó

d2θ + - gb θ = 0

dt2 K2

Aquí hemos utilizado I=mK2, donde K es el radio de giro. Podemos comparar esta ecuación del movimiento con la ecuación (1.10), demostrando que el movimiento angular oscilatorio es armónico simple, con ω2=gb/K2. Por consiguiente, el periodo de las oscilaciones es

P =2√K2/gb (3.1)

La cantidad l=K2/b se denomina la longitud del péndulo simple equivalente, ya que un péndulo de tal longitud tiene el mismo periodo que el péndulo compuesto. Notamos que el periodo del péndulo compuesto es independiente de su masa, así como de su forma geométrica, siempre que le radio de giro K y la posición del centro de masa, dado por b, permanezcan inalterables.

4. PÉNDULO DE TORSIÓN

En la figura 15-11 se muestra un disco suspendido por un alambre fijo al centro de masas de dichos discos. El alambre se asegura firmemente a un soporte rígido y al disco. En la posición de equilibrio del disco se marca una línea radial desde su centro hasta P, como se muestra en la figura. Si el disco gira en un plano horizontal hasta la posición radial Q, el alambre se torcerá. El alambre así torcido ejercerá una torca sobre el disco que tiende a hacerlo volver a su posición P. Esta es una torca restauradora. Para torcimientos pequeños se encuentra que la torca restauradora es proporcional a la cantidad en la que se ha torcido al alambre o sea al desplazamiento angular (Ley de Hooke), de modo

T = - kθ (4.1)

Aquí, k es una constante que depende de las propiedades del alambre y se llama la constante de torsión. El signo menos indica que la torca esta dirigida en sentido opuesto al desplazamiento angular θ. La ecuación (4.1) es la condición del movimiento armónico simple angular.

La ecuación del movimiento de tal sistema es

T = Iα = I (dω/dt) = I (d2θ/dt2)

De modo que, usando la ecuación (4.1), obtenemos

-kθ = I (d2θ/dt2)

d2θ/dt2= -(k /I) θ (4.2)

La solución armónica simple en la coordenada angular θ,es

θ = θmcos(ωt + φ) (4.3)

En ella, θm es el desplazamiento angular máximo, es decir, la amplitud de la oscilación angular. En la figura el disco oscila alrededor de la posición de equilibrio θ = 0 (línea OP), siendo 2θm el intervalo angular total (desde OQ hasta OR).

El periodo de la oscilación es, por analogía

T=2√I/k (4.4)

Sise conoce k y se mide T. puede determinarse la inercia rotacional I respecto al eje de rotación de cualquier cuerpo oscilante. Si I se conoce y se mide T, puede determinarse la constante de torsión k de cualquier muestra de alambre.

Mucho instrumentos de laboratorio, en especial ti galvanómetro, hacen uso de oscilaciones torsionales. La balanza de Cavendish es un péndulo de torsión. El balancín dc un reloj es otro ejemplo de movimiento armónico angular, en el que la torca es suministrada por un resorte en espiral.

Desplazamiento contra tiempo para el movimiento armónico simple

2

ω

Periodo

Frecuencia

1

T

ω

2

Frecuencia angular



T

dx

dt

Velocidad en el movimiento armónico simple

dv

dt

aceleración en el movimiento armónico simple

Valores máximos de velocidad y aceleración en el movimiento armónico simple

vo

ω x0

vo

ω

El ángulo de fase φ y la amplitud A pueden obtenerse a partir de las condiciones iniciales

vo

ω

Propiedades del movimiento armónico simple

Energía cinética de un oscilador armónico simple

Energía potencial de un oscilador armónico simple

Energía total de un oscilador armónico simple