Movimiento Amortiguado

Objetivo

Encontrar la ecuación del movimiento amortiguado en un péndulo mediante un sensor de movimiento.

resumen

En esta experiencia podremos ver el procedimiento por el cual se puede determinar el coeficiente de amortiguamiento de un péndulo, valiéndonos de las gráficas obtenidas gracias a un sensor de movimiento y posteriores cálculos que finalmente nos llevaran a conocer este valor, por lo tanto así, conocer la ecuación del movimiento amortiguado.

Introducción

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F = -kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F' = -ðv, donde ð es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.

La ecuación del movimiento se escribe

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la segunda derivada de la posición x, y la velocidad es la primera derivada de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión

Siendo:

X(t) = Posición

A = Amplitud (Xmax)

 = Coeficiente de Amortiguamiento (Pendiente gráfico Nº 3)

 = Frecuencia Angular

 = Fase Inicial

La característica esencial de la oscilación amortiguada es que la amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye. Estas pérdidas de energía son debidas al trabajo de la fuerza F' de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el gráfico Nº 1 (v-x), vemos que el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

Si el amortiguamiento es grande, γ puede ser mayor que ð0, y ð puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía perdida por la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.

MÉTODO EXPERIMENTAL

• Medimos la distancia de referencia desde el sensor hasta el péndulo. Esta distancia fue tomada mediante el mismo sensor y con el péndulo sin oscilar.

• Graficamos los datos obtenidos por el computador, obteniendo una dispersión de puntos que como modelo matemático representaba una recta con pendiente cercana a cero, su intercepto nos señalo el punto de referencia que buscábamos para cumplir el objetivo.

• Realizamos una nueva toma de datos, pero esta vez hicimos oscilar el péndulo (con  " 15º), con lo cual el sensor registraba datos, transformándolos al Gráfico N°1 en el cual la amplitud disminuía a medida que el tiempo transcurría.

• Graficamos los datos obtenidos de esta ultima parte (Gráfico N°2), y completamos la tabla N°1, solo utilizamos los puntos más bajos de la gráfica (ya que estos tienen una mejor dispersión que la parte superior).

• Los datos seleccionados fueron recorregidos, descontándole la referencia (80.11 cm) calculada con anterioridad (Tabla N°2), obteniendo así el Gráfico N°3.

• Al eje de las ordenadas del Gráfico N°3 se le aplico logaritmo, con el fin de linealizar la gráfica. De esta recorrección del gráfico obtuvimos los datos necesarios para encontrar la ecuación del movimiento amortiguado (gráfico Nº 4).

Análisis de Calculos

Gráfico Nº1

Este primer gráfico, nos representa una emulación del péndulo experimentado por nosotros. El gráfico x v/s t representa nuestra experiencia realizada en el laboratorio, viendo a simple vista su disminución en la amplitud con el transcurso del tiempo; anexamos los siguientes gráficos que representan el mismo movimiento, pero en funciones distintas (V v/s X y E v/s t).

Tablas Nº1 y Nº2

Elegimos los 5 primeros datos, con el fin de obtener una recta más representativa del movimiento, ya que comprobadamente, esta experiencia no puede tener resultados más óptimos de los que hemos obtenido.

Gráficos Nº 2 y Nº3

A este gráfico corregido, le aplicamos Ln al eje de las ordenadas, con la finalidad de linealizar el gráfico, para así obtener los parámetros requeridos para el desarrollo de la ecuación del movimiento amortiguado.

Gráfico Nº 4

De este ultimo gráfico, apreciamos que la pendiente es nuestro coeficiente de amortiguamiento, y que el antilogaritmo del intercepto, equivale a la amplitud de nuestro movimiento.

Datos obtenidos:

B = 2.4418

eb = 11.494 = A

m = -0.131 = 

Para obtener el periodo de oscilación (T), promediamos los t de los 5 primeros datos de la tabla Nº2, esto nos dio un valor de:

__

t = T = 1.794 seg.

Y sabemos que:

para obtener el valor de la fase inicial, hicimos t = 0, con lo que obtenemos:

" 11.494 = 11.494 * Sen () ! 1 = Sen () !  = 90º = /2 (rad)

con lo que finalmente hemos encontrado nuestro objetivo, la ecuación del movimiento amortiguado, la cual queda de la siguiente manera:

CONCLUSION

La ecuación obtenida, representa efectivamente el movimiento amortiguado, ya que a medida que transcurre el tiempo, el péndulo cada vez oscila, se acerca mas a la posición de equilibrio(  0 " 15º a  f = 0).

Esta ecuación difiere del resultado teórico, ya que el valor de la amplitud no es el exacto, siendo la amplitud teórica At = 11.714 (cm), y la experimental Ae = 11.494 (cm), por lo tanto el error de la amplitud es:

El error arrojado, esta dentro de los limites de la física, ya que este acepta un error de 15%, por lo que podemos afirmar que nuestra experiencia fue satisfactoria. Este error no se puede disminuir mas, ya que el experimento se trata de oscilaciones muy sensibles (al sensor).

El error más probable, se debe la oscilación del péndulo, el cual pudo haber sido puesto en movimiento con un  > 15º o haberlo soltado desde el reposo (sin tiritar).