INTRODUCCIÓN.

Momento de inercia en áreas planas, es el tema que se trata a continuación, con ayuda de textos de ciencias e ilustraciones nos concentraremos en detallar la idea de la investigación. Las causas de investigación son la práctica y el dominio de dicho tema para bien. Nuestros objetivos son describir al lector en su mayoría universitarios los conceptos y utilidades del momento de inercia, dando a conocer sus formulas principales y como poder utilizarlas en algún ejercicio propuesto, describiremos por igual algunos otros temas que ayudan a fortalecer el concepto general.

EL MOMENTO DE INERCIA

Concepto de Inercia.

La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: “un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”.

Por ejemplo, los pasajeros de un automóvil que acelera, sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando éste frena, los pasajeros tienden a seguir moviéndose y salen despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazará lateralmente, porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir moviéndose en línea recta.

Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su momento de inercia, que no es más que la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande.

El momento de inercia (Moment of inertia, "MOI") es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en linea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva defición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI tambien depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.

Una fórmula análoga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede reescribir para la rotación:

* F = Ma (F = fuerza; M = masa; a = aceleración lineal)

* T = IA (T = torsión; I = momento de inercia; A = aceleración rotacional)

El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al eje de rotación. Este momento no es una cantidad única y fija, ya que si se rota el objeto en torno a un eje distinto, tendrá un momento de inercia diferente, puesto que la distribución de su masa en relación al nuevo eje es normalmente distinta. Para cambiar la velocidad de giro de un objeto con elevado momento de inercia se necesita una fuerza mayor que si el objeto tiene bajo momento de inercia.

Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como

No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesante conocer que

La simetría del cuerpo permite a veces realizar sólo parte del cálculo.

Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le falta un cacho'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el cacho que le falta.

Muchas veces dado el momento de inercia de un cuerpo respecto a un cierto eje podemos sacar su momento en otro eje sin necesidad de recalcularlo usando el teorema de Steiner o el de las figuras planas.

Selección de la posición de los ejes de referencia.

Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el CG y están orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia del una forma compleja, se debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".

Signo / polaridad de momento de inercia.

Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de referencia. Los valores del momento de inercia, sólo pueden ser positivos, ya que la masa sólo puede ser positiva.

Comprobación de cálculos de MOI mediante medidas físicas.

Existen instrumentos para medir el momento de inercia con una precisión del 0.01%. Los equipos modernos utilizan péndulos de torsión invertidos, ya que estos instrumentos son tan precisos como fáciles de usar. Los otros métodos descritos solo tienen un interés histórico. Entre estos métodos tenemos:

• Péndulo de torsión invertido.

• Péndulo trefilar para objetos grandes.

• Péndulo compuesto - no recomendado.

• Grado de aceleración - método teórico de los libros de texto.

Teorema de las figuras planas o de los ejes perpendiculares.

El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre si.

Es decir, que
. Este teorema nos sirve, por ejemplo, para calcular fácilmente el momento de inercia de un anillo. Respecto al eje que pasa por el centro del anillo, como toda la masa está situada a la misma distancia tenemos que su momento de inercia será de
. Además como el anillo tiene mucha simetría el momento de inercia de un eje que esté contenido en el plano del anillo será igual al de otro eje también contenido en el plano pero perpendicular al eje anterior, ya que el anillo ``se ve igual''. Si llamamos a este otro momento
poniendo
de plano, tendremos que:

El teorema de los ejes perpendiculares sólo se aplica a las figuras planas y permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la figura.

MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.

Considere una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en “flexión pura” y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x, se conoce como el “eje neutro”. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero.

La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula:

La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:

La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:

Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿Cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua (eje x)?.

Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA.

Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:

Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que

Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x.

Determinación del momento de inercia de un área por integración.

En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia de un área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy del área A con respecto al eje y, se define como:

Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA

dIx = y2dA dIy = x2dA

Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia.

Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x; el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y; el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

Dx

dIy = x2dA

Momento de inercia de un área rectangular.

Como ejemplo determinaremos el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base. Dividiendo el rectángulo en franjas paralelas al eje x. Obtenemos:

dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3

Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales.

La fórmula que acabamos de derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura. Haciendo b = dx y h=y, escribimos:

dIx = 1/3y3 dx

Por otra parte se tiene:

dIy = x2 dA = x2y dx

Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia Ix e Iy de un área dada en la siguiente figura:

Dx

dIx = 1/3y3 dx

dIy = x2y dx

RADIO DE GIRO DE UN ÁREA.

Definición:

"El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG."

Considérese un área A que tiene un momento de inercia IX, con respecto del eje x. Imagínese que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje x). Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto del eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a partir del eje x, donde k., está definida por la relación:

Ix = kx2

Resolviendo para kx, se escribe:

Se hace referencia a la distancia kx, como el radio de giro del área con respecto del eje x. En una forma similar, se pueden definir los radios de giro ky. Y ko; así, se escribe: -

BIBLIOGRAFIA.

• Beer, Ferdinand; Johnston, Russell. “Mecánica vectorial para ingenieros: Estática”, 6ta ed. Mc - Graw Hill, México. 1997.

• Microsoft. Encarta. Biblioteca de consulta. 2002.

• James M. Gere “Mecánica de Materiales”

Quinta Edición, Editora. Thomson Learning , 2002