Modelos Matemáticos para La Toma de Decisiones.

Estructura y Naturaleza.

Un modelo matemático comprende 3 conjuntos básicos de elementos.

Variables y parámetros de decisión. Son incógnitas que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables, restricciones y función objetivo.

Restricciones. Van relacionadas con los recursos disponibles.

Función Objetivo. Puede ser de 2 tipos: maximizar o minimizar como una función matemática de las variables de decisión.

Concepto de Investigación de Operaciones.

La investigación de operaciones es la aplicación por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan las soluciones que sirvan mejor a los objetivos de una organización.

La investigación de operaciones la investigación de operaciones es la aplicación científica a través de modelos matemáticos, primero para presentar o representar el problema después para poder resolverlo.

Perspectiva Histórica de La Investigación de Operaciones.

Las raíces de la investigación de operaciones se remite a cuando se comenzó a tratar de aplicar el método científico en la administración de Empresas. Aun así el comienzo de esta disciplina se la atribuye a los servicios militares prestados al comenzar la segunda guerra mundial. En 1947 George Dantz desarrolla el método Simplex y para 1950 desarrolla la teoría de lineas o colas un proceso utilizado en programación de espera y para 1955 a 1960 la primera comunicación digital en ese mismo año se termina las teorías de decisiones.

Naturaleza de La Investigación de Operaciones.

La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones dentro de una organización.

La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.

Modelos Lineales.

Relacionan 2 o más variables en forma directamente proporcional.

Todos los modelos lineales, tiene como representación una recta y su proporcionalidad es directa.

Modelos Inversamente Proporcionales.

Relaciona 2 o más variables con la característica de que cuando una crece la otra decrece.

Modelo Exponencial.

Son modelos de crecimiento muy rápido donde una de las variables relacionadas es el exponente de una constante de una constante llamada base.

Modelos Recursivos.

Son modelos en que una variable esta en función del estado anterior de ella misma y todos estados en función de un valor inicial.

Modelos Matemáticos.

Es cualquier conjunto de ecuaciones o estructuras matemáticas, completo y consistente, que es elaborado para corresponder a alguna otra entidad. Puede ser una física, biológica, social, psicológica o conceptual, incluso otro modelo matemático, la construcción de un modelo matemático cumple con un mínimo de objetivos.

Obtener respuestas sobre lo que sucederá en el mundo físico.

Influir en la experimentación u observaciones posteriores.

Promover el progreso y la comprensión conceptuales.

Auxiliar a la automatización de la situación.

Áreas de Solución.

Solución Factible.

Es aquella solución factible que cumple con todas las restricciones.

Solución No Factible.

Es aquella solución que no cumple con un a o más de las restricciones.

Solución Óptima.

Es la Solución que además de ser factible optimiza la Función Objetivo.

La compañía xyz produce 2 tipos de juguetes los osos Boby y Tedy cada uno de estos productos debe ser procesado en 2 maquinas diferentes. Una maquina tiene 12 horas de capacidad disponible y la otra 8 horas cada Boby producido necesita 2 horas de tiempo en cada maquina y cada Tedy necesita 3 horas en la 1ª y 1 hora en la 2ª.

La ganancia es de 6$ por cada Boby y 7$ por cada Tedy vendido. La firma puede vender tantas unidades de producto como es factible fabricar.

Variables.

B = Cantidad de Bobys a Fabricar diariamente.

T = Cantidad de Tedys a Fabricar diariamente.

Función Objetivo: Zmax = 6B + 7T [unidad $]

Restricciones.

Maquina1 N(B)+N(T)≤12 Hrs Maquina2 N(B)+N(T)≤8 Hrs

Solución Óptima:

3 Bobys y 2 Tedys a fabricar diariamente para obtener una utilidad máxima de 32 dólares

Variables de Holgura:

Maquina1 12 horas ocupadas 0 variables de Holgura la maquina 1 esta funcionando al 100%.

Maquina2 8 horas ocupadas 0 variables de Holgura la maquina 2 esta funcionando al 100%.

Una fabrica produce 2 tipos de comedores: el comedor Virginia y Massachussets; desea determinar el numero de unidades de cada tipo de comedor a producir diariamente, de tal manera que las utilidades serán máximas;

La fabrica ha experimentado una alta demanda en ambos comedores en consecuencia el gerente (usted) cree que podrá vender todos los comedores que produzca. Los comedores requieren tiempo en construcción y pintura. Elabore un modelo matemático que determine la cantidad de comedores a producir de acuerdo a los parámetros de la siguiente tabla

Comedores	hrs Virginia	hrs Massachussets	Capacidad diaria
Construcción	6	12	120hrs
Pintura	8	4	64hrs
Utilidad	200$	240$

Variables.

V = Cantidad comedores Virginia a Fabricar diariamente.

M = Cantidad de Comedores Massachussets a Fabricar diariamente.

Función Objetivo: Zmax = 200V + 240M [unidad $]

Restricciones:

Construcción 6V + 12M ≤ 120 Hrs Pintura 8V + 4M ≤ 64 Hrs

Solución Óptima: 4 comedores Virginia y 8 Massachussets con una utilidad de 2,720

Variables de Holgura:

Construcción. 120 horas ocupadas 0 Variables de holgura el departamento de Construcción esta trabajando al 100%.

Pintura. 64 horas ocupadas 0 Variables de holgura el departamento de pintura esta trabajando al 100%.

Un fabricante de automóviles tiene 2 productos autos compactos y sub-compactos la producción de cada tipo de autos requiere de cierta cantidad de materia prima y de mano de obra de acuerdo a la siguiente tabla

	Autos Compactos	Autos Sub-compactos
Materia Prima	200 lbs	150 lbs	180,000 lbs
Mano de Obra	18 hrs	20 hrs	9,000 hrs
Utilidad	400 Dlls	200 Dlls

Como vicepresidente de programación formule un modelo matemático que determine la cantidad de cada tipo de auto a fabricar para maximizar la ganancia total. Suponga la siguiente utilidad. Compactos 400 dlls sub-compactos 200 dlls

Variables:

AC =cantidad de Autos Compactos a Fabricar.

ASC =cantidad de Autos Sub- Compactos a Fabricar.

Función Objetivo:

Zmax 400AC + 200ASC = [costo $]

Restricciones

MP= 200AC + 150ASC ≤ 80,000 Lbs M de O = 18AC + 20ASC ≤ 9,000 Hrs

Solución Óptima: 400 autos compactos cero autos subcompactos con una utilidad de 160,000 $

Variables de Holgura.

80,000 unidades de materia prima utilizadas 0 variables de holgura.

7200 horas utilizadas 180 horas de variables de holgura utilizadas para descanso comida y limpieza del lugar.

Una Empresa fabrica 2 productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1 y 2

	Producto A	Producto B	Capacidad de Trabajo por semana
Departamento 1	3 hrs por unidad	2 hrs por unidad	120 hrs
Departamento 2	4 hrs por unidad	6 hrs por unidad	260 hrs
Margen de utilidad	5$ por unidad	6$ por unidad

Variables:

A = cantidad de productos “A” a fabricar por semana.

B = cantidad de productos “B” a fabricar por semana.

Función Objetivo: Zmax = 5A + 6B = [utilidad $].

Restricciones

Departamento 1= 3A + 2B ≤ 120 h Departamento 2 = 4A + 6B ≤ 260

Solución Óptima.

20 productos A y 30 productos B con una utilidad de 280$.

Variables de Holgura.

120 horas ocupadas en el Departamento 1, 0 variables de holgura el departamento 1 esta al 100%.

260 horas ocupadas en el Departamento 2, 0 variables de holgura el departamento 2 esta al 100%.

Ropa

Prenda	Camisas	Blusas	Horas por Semana
corte	20 Hrs	60 Hrs	1,000 Hrs
Costura	70 Hrs	60 Hrs	1,400 Hrs
Empacado	12 Hrs	4 Hrs	200 Hrs
Utilidad por unidad	2.5$	3.2$

Variables:

B = Cantidad de blusas a fabricar.

C = Cantidad de camisas a fabricar.

Zmax = 2.5A + 3.2B = [Utilidad $]

Restricciones:

Corte 20C + 60 B ≤ 60,000 minutos

Costura 70C + 60 B ≤ 84,000 minutos

Empacado 12C + 4B≤ 12,000 minutos

Solución Óptima:

8 camisas y 14 blusas con una utilidad de 64.8$

Variables de Holgura:

El departamento de costura tiene 1000 horas ocupadas 0 variables de holgura su uso es del 100%.

El departamento de corte tiene 1400 horas ocupadas 0 variables de holgura su uso es del100%.

El departamento de empacado tiene 152 horas ocupadas 48 variables de Holgura para mantenimiento del a maquinaria y descanso del personal.

Alimentación

	A	B
Vitaminas	1	3	90
Féculas	5	1	100
Proteínas	2	3	120
	1.5	2.1

Variables:

A = Cantidad de Porción “A” tipo de Alimento.

B = Cantidad de Porción “B” por tipo de Alimento.

Zmin = 1.5A + 2.1B [Ahorro $ ]

Vitaminas A + 3B ≥ 90

Féculas 5A + 3B ≥ 100

Proteínas 3ª + 2B ≥ 120

Solución Optima: 25.71 porciones de A y 21.43 porciones de B con un ahorro de 83.57

Variables de Holgura:

Vitaminas 90 unidades utilizadas 0 Variables de Holgura las vitaminas se utilizaron al 100%.

Féculas 100 unidades utilizadas 50 Variables de Holgura de féculas que se utilizara en otro momento con una nueva distribución de Alimentos.

Proteínas 120 unidades de proteínas 0 Variables de Holgura las proteínas se usaron al 100%.

FCA UACH 28/02/2005

Modelos Matemáticos 1 8/11

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