Ante todo, que se te quede una cosa grabada en el disco duro, baby: podemos establecer el sistema de referencia donde queramos, aunque te aconsejaría que lo pusieras preferentemente en el punto de lanzamiento ,por las razones que te daré y que verás más adelante, pudiendo considerar el sentido hacia arriba positivo y hacia abajo negativo, o al revés, como quieras, pero luego date cuenta de que todos los cálculos los tienes que hacer en base al sistema que has establecido. En otras palabras, si tú lanzas un cuerpo desde un acantilado de 80 metros de altura y consideras el sentido hacia arriba como positivo y hacia abajo como negativo, la altura máxima que alcanza el cuerpo, pongamos por ejemplo 10 metros, será positiva, mientras que la posición del fondo del acantilado estará -80 metros del origen de coordenadas, será negativa, y su posición respecto al eje yj será 80 (-j)(m.), mientras que la primera posición, la de la altura máxima será de 10 j (m.), al estar en el sentido que hemos puesto como positivo. Es decir, tú pones el sistema de referencia, y qué sentido es positivo y qué es negativo, incluso cuando tienes sólo un eje y un sentido; si tú no te olvidas de cuál es el origen de coordenadas, ni qué sentido es positivo o negativo, entonces no hay problema. El valor negativo de g es sólo vectorial, no de módulo, y depende del sentido que emplees como positivo. Si el cuerpo va hacia arriba, g resta velocidad a dicho cuerpo, y por ello restas, bien escalar o vectorialmente ½ g · t2 al valor positivo de la velocidad inicial hacia arriba (que es positivo porque has designado hacia arriba como positivo) y del tiempo, y de y0, caso de que no fuera 0, lo que no ocurrirá nunca si pones el sistema de referencia en el punto de lanzamiento, que te evita quebraderos de cabeza inútiles y te ahorra trabajar con datos que no te van a servir para lo que quieres hallar, complicando el cálculo innecesariamente, es decir:

Pero claro, si pones el sistema de referencia en el punto de lanzamiento, y0=0, y te quedan las siguientes expresiones:

Si el cuerpo va hacia abajo, entonces, resulta que:

• Si va sin velocidad inicial (caída libre o 2ª fase del tiro parabólico)

Este signo (-) es porque el cuerpo va hacia abajo, el sentido que has considerado como negativo en el eje y, en tu propio sistema de referencia, y el signo (-) que acompaña a la g es porque aumenta la velocidad en el sentido que has considerado como negativo.

• Si va con velocidad inicial (tiro vertical hacia abajo o tiro horizontal)

Estos signos (-) se deben a que se considera el sentido hacia abajo como negativo, y entonces la velocidad inicial (por ejemplo en el tiro vertical hacia abajo) y la posición final es negativa desde este punto de vista. Por eso he optado por la expresión vectorial, porque es más fácil verlo con ésta que con la expresión escalar. En el sentido hacia abajo, g hace más grande (más negativo vectorialmente, el valor de la velocidad, y también el de la posición final alcanzada.

Es decir: pon el origen del sistema de referencia donde quieras, y establece como (+) o (-) el sentido hacia arriba/abajo del eje y, o hacia la izquierda/derecha del eje x, pero cuando hagas los cálculos no te confundas. Esta forma de poner hacia arriba como (+) y hacia abajo como (-) implica que g siempre sea (-) escalar o vectorialmente, pero también que la posición final cuando el cuerpo cae o se lanza hacia abajo sea negativa en el eje de las y, con o sin vectores, e implica que toda velocidad inicial hacia arriba sea positiva, y hacia abajo como negativa, por lo que tendrías que ponerle el signo (-) al valor que corresponda de posición final y de velocidad inicial, en la expresión escalar. También implica que la velocidad con la que llega un cuerpo al suelo sea negativa, si se considera hacia abajo como negativo. Por eso los profesores consideran g negativa, tanto en la expresión escalar como en la vectorial, pero el signo negativo se debe a cómo hemos establecido el sistema de referencia, no es negativa en módulo. Esta forma de considerar el sentido (+) hacia arriba y (-) hacia abajo es la preferida por los profesores, y te la recomiendo por ello, y por ello te da g siempre negativa, pero también te da negativa la velocidad con la que cae un cuerpo al suelo, la posición final de un cuerpo que cae, etc. Por último, y para pasar al análisis de los distintos modelos, ya sin tocar el tema de los sistemas de referencia, pues consideraremos positivo hacia arriba y negativo hacia abajo, aunque sea un solo eje, tenemos las siguientes fórmulas para el eje y, que podemos clasificar en fórmulas para arriba, y fórmulas para abajo, teniendo las siguientes consideraciones:

Los movimientos de ascenso y posterior caída, como el tiro vertical hacia arriba, y el tiro parabólico, se dividen en dos fases, una hacia arriba y otra hacia abajo, empleando por ello las fórmulas adecuadas a cada caso.

En estos movimientos de 2 fases, en cada una, de forma independiente, se colocará el sistema de referencia, o su origen de coordenadas, que es lo mismo, en el punto en que se inicia el movimiento o se lanza o se deja caer el objeto, por lo que consideraremos siempre que y0=0, tanto escalar como vectorialmente.

Hacia arriba = positivo en el eje y (+j), hacia abajo = negativo en el eje y (-j); hacia la derecha = positivo en el eje x (+i), y hacia la izquierda = negativo en el eje x(-i); esa es la forma preferida de los “profes”. Analiza cual es la dirección y el sentido de cada movimiento en cada problema, y emplea la fórmula adecuada para cada caso.

Si te dan valores de t iguales a raíces de números negativos, es que te has despistado(el error es siempre por despiste en este caso; no olvides nunca qué sentido has puesto como positivo y cuál como negativo, no te pierdas) en algo que no has puesto con el signo adecuado al sistema que has empleado, o has situado el sistema de referencia o los sentidos mal. Lo más frecuente es que pongas bien el sistema de referencia (como te dije o de otra forma) pero a la hora de hallar los datos, algún dato lo has puesto con un signo que estaría correcto si el sentido positivo fuera el contrario al que tú has establecido como positivo desde el principio. Por ejemplo: sitúas como negativo el sentido hacia debajo de un cuerpo que cae o se lanza hacia abajo, pero pones la posición final como positiva, vectorial o escalarmente (sobre todo el despiste viene al trabajar con escalares, porque si tú empleas -j para toda velocidad, posición o aceleración que vaya hacia abajo, no hay problema).

1º) Fórmulas “para arriba”:

a) Para hallar el tiempo que tarda un cuerpo en alcanzar su altura máxima:

Se eliminan los vectores porque el tiempo es escalar.

b) Para hallar la altura máxima que alcanza un cuerpo:

Acuérdate de que al poner el sistema de referencia en el punto de lanzamiento, y0j=0j, y también que y0 =0. Y de que la altura máxima, como distancia al punto de lanzamiento, es un escalar y se emplea la ecuación escalar; si lo que quieres es hallar la posición de la altura máxima, entonces emplea la ecuación vectorial.

c) Cuando trabajas con ángulos de inclinación (), en lugar de trabajar con v0, trabajas con v0y, que la pones en donde mismo pones v0 (en las mismas fórmulas donde aparece v0), calculándose de la siguiente forma:

v0yj = v0 · sen  (j)! Vectorialmente

v0y = v0 · sen  !Escalarmente

Si la velocidad fuera hacia abajo, emplearíamos (-j), o añadiríamos un signo menos al valor escalar de v0y. Igual haremos con v0.

Posición del cuerpo en un instante determinado, siempre que, como mucho, haya alcanzado su altura máxima, pero que no haya empezado a caer de nuevo; el vector de posición tiene dos componentes, x e y, de tal modo que:

Donde r(t) es el vector de posición respecto al tiempo. Si el cuerpo ha tenido tiempo de subir y bajar un poco en ese instante que te dan, es porque el tiempo que necesitaba para alcanzar su altura máxima era menor que el instante dado; resta, al instante que te dan, el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima, y lo sustituyes en la expresión de la posición de y respecto al tiempo, como t', de tal forma que:

En cambio, el tiempo que empleas para hallar la posición respecto al eje X es el instante que te dan, por lo que el vector r(t) de posición del cuerpo respecto al tiempo, si ha tenido tiempo de alcanzar y empezar a caer de nuevo, aunque sea por una milésima de segundo, viene dada por las expresiones siguientes:

Distancia recorrida en un instante determinado siempre que, como mucho, haya alcanzado su altura máxima, pero que no haya empezado a caer de nuevo en ese instante (ver modelo de tiro vertical hacia arriba, cómo hallar la distancia en un instante determinado).

Igual que como el caso anterior: si en ese instante el cuerpo ha alcanzado su altura máxima o no ha llegado a hallar su altura máxima aún, sustituyes el valor del instante de tiempo que te dan, en la misma ecuación ESCALAR que empleaste para hallar la altura máxima, que también es escalar si la tomas como distancia, y vectorial si la consideras como posición. O sea, sustituyes el valor de t que te dan en el problema, en esta expresión:

Pero si ha alcanzado su altura máxima, y le ha dado tiempo a volver a su posición inicial (por ejemplo te piden la distancia a los 5 o a los 4 segundos, y el cuerpo tarda 2 segundos en subir y otros dos en volver a su posición inicial), entonces multiplica el valor de la altura máxima por 2 y tienes la distancia recorrida.

Y, por último, si el cuerpo ha subido hasta su altura máxima y ha dado tiempo de bajar, aunque sea durante una cienmillonésima de segundo, pero no de bajar hasta su posición inicial, restar al tiempo o instante que te dan, el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima, y este tiempo t' lo sustituyes en la ecuación:

Recuerda que al subir se para, y luego vuelve a caer, pero ya es otra fase, y el nuevo sistema de referencia se sitúa en el lugar donde la velocidad con que subía se hace 0, por lo que el cuerpo en esta fase de caída no tiene velocidad inicial, y el -y se debe a que el cuerpo va para abajo, por lo que el valor que dé tiene que ser negativo, pero ahora tenemos que:

Y es que, como comprenderás, aunque saliera un número negativo, tendrías que ponerlo en valor absoluto, como positivo, ya que LAS DISTANCIAS NUNCA PUEDEN SER NEGATIVAS. Esta distancia se la sumas a la altura máxima, y ya has hallado así la distancia en este momento.

Ten en cuenta una cosa: te suelen pedir el tiempo para hallar la altura máxima y lo hallas como en el apartado a) de las ecuaciones para arriba, y luego la altura máxima la hallas como en el apartado b) de las ecuaciones para arriba. Si luego te piden la distancia o la posición en un instante dado, compara ese tiempo con el tiempo que tardó el cuerpo para llegar a su altura máxima y saber a cuál de los casos que has visto ahora corresponde.

Pues nada, chico/a, hacia arriba, no hay nada más que hallar, así que ahora vamos a ver las ecuaciones hacia abajo.

2º) Fórmulas “para abajo”

Tiempo que tarda un cuerpo en tocar el suelo. Te aconsejo que uses la fórmula escalar, poniendo signo negativo a todo lo que vaya para abajo (velocidad, posición, etc. ), o si no, te doy la fórmula, con los signos negativos donde tienen que ir, y tú solo les añades el valor correspondiente, sin signo, porque yo ya le he puesto el negativo donde va, tanto en la forma vectorial como en la escalar, ¿vale? Pues ahí tienes:

¿Ves como dio positivo al final?

No olvides que y0=0, aunque sea la 2ª fase de un tiro vertical o de uno parabólico, ya que partimos de la base de que ponemos el origen de nuestro sistema de coordenadas en el punto donde el cuerpo se empieza a mover, bien porque cae, se lanza, etc, en cada fase. Y= valor de la posición final respecto a la inicial, y ya no tienes que ponerle signo (-), ya que has visto que se pudieron quitar todos, pero recuerda que en el examen tendrás que hacer tú solo/a este paso con los signos: los signos ya están donde deben en la fórmula, tú sólo les añades el valor ESCALAR correspondiente según has hallado del problema o te indique su enunciado, a la velocidad inicial, a la posición final, etc., nada más, los signos ya te los puse donde van, tanto en la ecuación vectorial como en la escalar, todo mascadito y digeridito. La ecuación de 2º grado que te da la puedes resolver fácilmente por esta fórmula:

Velocidad con la que alcanza el suelo:

El valor de tiempo que has calculado en el apartado anterior, lo sustituyes en cualquiera de estas expresiones, teniendo en cuenta que v0=0 y que vy es negativo porque va para abajo:

Si ocurriera que hay velocidad inicial (tiro vertical hacia abajo o tiro horizontal) y que esa v0 y vy son negativas porque van para abajo, tenemos que:

Aquí también te he puesto los signos negativos donde van, pero, como puedes ver, he podido simplificar y deshacerme de ellos. Pero tú eres quien tendrá que hacer el chanchullo este de los signos en el examen, para simplificar y así terminar a tiempo el examen, sin enrrollarte como una persiana. Hazlo como te he mostrado antes, paso a paso, y empleando los datos escalares que ya tienes de velocidad inicial, tiempo, etc, donde corresponda, que ya los signos están donde deben estar, tú solo debes ponerle los datos numéricos correspondientes sin signo, en las fórmulas con los signos (-) que te he indicado, como hice también en apartados anteriores y para las ecuaciones para arriba.

Posición del cuerpo en un instante determinado

Aquí tienes sólo dos casos posibles: uno es que el instante que te den sea inferior al tiempo necesario para que el cuerpo toque el suelo, y otro que el instante sea igual o superior al necesario para que el cuerpo toque el suelo.

Para el primero, empleas simplemente las expresiones que vimos en las ecuaciones para arriba, para hallar la posición en un instante determinado:

Si el movimiento es sólo en la componente y, tendremos un vector r(t)= 0i+yj, que suele ser el caso para la 1ª y 2ª fase del tiro vertical hacia arriba y hacia abajo, y para la caída libre. Igual ocurre en las ecuaciones para arriba con la posición.

Distancia recorrida en un instante determinado respecto al origen de coordenadas, donde se inició el movimiento:

Si el instante es el mismo que el del apartado anterior, se halla el módulo del vector de posición y tenemos la distancia recorrida respecto al origen. Si no es el mismo, se halla la posición del cuerpo en ese instante con la expresión del apartado anterior, y luego se halla el módulo del vector de posición. En verdad la distancia recorrida por un cuerpo entre dos instantes es el módulo del vector desplazamiento, que indica la variación de la posición de dicho cuerpo entre esos dos instantes, que se obtiene restando, componente a componente (xi con xi e yj con yj), el vector de posición en el instante final menos el vector de posición en el instante inicial, es decir:

En el caso que nos ocupa, como el vector de posición inicial coincide con el origen de coordenadas, resulta que a = (x2- x1)=

(x2- 0)= x2, y b=(y2- y1)= (y2 - 0)= y2 , y el módulo es:

|r(t) |= "(a2+b2)="( ( x2)2+( x2)2)

Si además te piden la velocidad media entre esos instantes, pues divide el vector desplazamiento entre la diferencia de tiempo, en segundos, transcurrida entre los instantes final e inicial; si te la piden en escalar, pues divide el módulo del vector desplazamiento entre dicho incremento de tiempo o diferencia entre los instantes inicial y final que te dan.

Alcance máximo: No depende de que el movimiento vaya hacia arriba o hacia abajo, pero lo pongo aquí porque generalmente se puede hallar cuando uno halla el tiempo que tarda un cuerpo en caer al ser lanzado horizontalmente con una velocidad inicial conocida, o en un tiro parabólico, cuando se sabe cuánto tiempo empleó el cuerpo en subir hasta su altura máxima y luego en caer y tocar el suelo, y cuando se suma el tiempo empleado en subir y luego en bajar, es el que se emplea en la siguiente ecuación:

Al igual que pasa con y0, x0 se considera generalmente 0, por lo menos para el cuerpo que se ve sometido al tiro horizontal o parabólico, porque los profesores han inventado toda una serie de variedades con las que sacar jugo a estos problemas

Hay variedades de problemas en que te ponen otro cuerpo, llamémoslo B para no confundirnos con el cuerpo A, que es el que se lanza horizontalmente, para que calcules si ambos colisionan, y se resuelven de la siguiente forma: : Hallas el tiempo que tarda el cuerpo en caer al suelo, y de esa expresión calculas el alcance de A. Sabiendo cuál es la posición inicial del cuerpo B respecto al sistema de referencia (cuyo origen de coordenadas estará situado por lo general en el punto de lanzamiento), la velocidad inicial y el tiempo, sabrás la posición de B respecto al sistema de referencia, en el eje x, en el instante en que el cuerpo A toca el suelo. Si ambas posiciones coinciden, es que han colisionado, y si no, nada.

Por otro lado, y rizando el rizo (si te lo pide el/la profesor/a es que quiere cepillarse a la clase, y sin vaselina) lo que puede ocurrir es que no coincidan las trayectorias y no lleguen a colisionar, pero te piden qué velocidad tendría que llevar el cuerpo B para que hubieran llegado a colisionar. Tranquilo/a, no te muerdas las uñas, y que no te entre un ataque de pánico. Sigue las siguientes instrucciones:

• Primero respira hondo, y pon todos los datos de que dispones, que has hallado anteriormente, para que los tengas a mano, y también los que te piden. Ahora empecemos.

• Ya has hallado el tiempo que tarda el cuerpo en tocar el suelo, y el alcance máximo. Si hallas el alcance máximo con la fórmula vectorial tendrás la posición respecto al eje x en ese momento (y=0), y si quitas la i del vector unitario, tienes la distancia en metros.

• Ahora coges la expresión:

E igualas la x al alcance del cuerpo A, ya que partimos del supuesto de que han colisionado y vamos hacia atrás, al revés, para ver qué velocidad máxima se necesita para que lleguen a coincidir o colisionar. X0 es la posición inicial respecto al sistema de referencia, en el eje x, que suele ser 0, pero puede no serlo, y t es el tiempo que tarda el cuerpo A en caer al suelo. Ahora haces los siguiente:

Así hallas la velocidad inicial del cuerpo B, que tiene que mantener cte. para colisionar con A (recuerda que es un MRU), y quedas como un/a señor/a ante el/la profesor/a, y salvas el pellejo.

š A ESTE MODELO PERTENECE EL SIGUIENTE TIPO DE PROBLEMAS:

Desde un acantilado de 80 metros de altura sobre el mar se deja caer un cuerpo. Calcular:

• Tiempo que tarda en caer al mar

• Velocidad que alcanza al caer al agua

Desde la ventana de un edificio, situada a 20 m. de altura sobre la calle, se deja caer un cuerpo. Calcular:

• Tiempo que tarda en caer al suelo

• Velocidad con que llega al suelo

Hay que tener en cuenta en primer lugar que en este movimiento, no nos interesa el movimiento en el eje x, que se supone que no hay, ya que si no hay velocidad inicial v0, entonces, en la ecuación (1), y considerando que X0, entonces x=0:

Para hallar el tiempo, vas a las fórmulas “para abajo” y buscas el apartado de cómo hallar el tiempo que tarda en caer un cuerpo, y luego con ese dato hallas la velocidad con que llega al suelo

Este tipo de movimientos se caracteriza por disponer de una velocidad inicial y carecer de ángulo de lanzamiento. En el tiro vertical, como en la caída libre, el movimiento se desarrolla sólo en el eje y, tanto de subida y posterior bajada si el tiro es vertical y hacia arriba, o de bajada si es un tiro vertical hacia abajo. En el tiro horizontal, en cambio, hay 2 componentes distintas del movimiento, una en el eje X, caracterizada por un Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.), y otra en el eje Y, caracterizada por un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

Como hemos visto anteriormente, este tipo de movimiento tiene 2 variantes.

EN ESTE SUBMODELO SE ENGLOBAN PROBLEMAS DEL SIGUIENTE TIPO:

Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular:

• Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

• Altura máxima alcanzada

• Tiempo que tarda en caer al suelo de nuevo

• Posición en los instantes t=1s. y t=2s.

• Distancia recorrida a los 2 segundos

• Velocidad con la que llega a su posición inicial

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Cal cular:

• Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

• Altura máxima alcanzada

• Tiempo que tarda en caer al suelo de nuevo

• Posición en los instantes t=1s. y t=2s.

• Distancia recorrida a los 2 segundos

• Velocidad con la que llega a su posición inicial

Vamos a la resolución de este tipo de problemas. Seguir los siguientes pasos:

1º) Separa los movimientos en dos fases, para arriba y para abajo.

2º)Empezar por los clasificados para arriba, que se hallan con las fórmulas o ecuaciones para arriba expuestas en la primera parte de este dossier, que son:

• Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

• Altura máxima alcanzada

• Posición en los instantes t=1s. y t=2s.

• Distancia recorrida a los 2 segundos

En las ecuaciones para arriba están todas las formulitas digeridas y con su signo bien puesto en base a como hemos establecido el sistema de referencia. Ante cualquier duda, manda un e-mail a la dirección de Internet arriba indicada en el encabezado.

3º) Ahora pasar a las ecuaciones “para abajo”, para resolver:

• Tiempo que tarda en caer al suelo de nuevo

• Posición en los instantes t=1s. y t=2s.

• Distancia recorrida a los 2 segundos

El tiempo que tarda el cuerpo en caer al suelo de nuevo es igual al que tarda en alcanzar su altura máxima, y el tiempo total que permanece en el aire, desde que sube, llega a su posición más alta y luego vuelve a su posición inicial, es igual al doble del que emplea para alcanzar su altura máxima.

Son problemas menos frecuentes, aunque de vez en cuando aparecen. A este modelo corresponden problemas como el siguiente:

Desde una ventana de un edificio, situada a 10 metros de la calle, se lanza verticalmente hacia el suelo una piedra con una velocidad inicial de 3 m/s. Calcular:

• El tiempo que tarda en llegar abajo

• La velocidad con la que llega al suelo

• La posición a los 3 segundos

Son problemas típicos “hacia abajo”, por lo que vete a la sección de fórmulas hacia abajo y aplica las correspondientes a los apartados que e piden.

Este movimiento es algo más complejo de analizar a simple vista, pero cuando se resuelven problemas de este tipo como los que cito a continuación, si tenemos en cuenta las indicaciones que dijimos hace un momento, del movimiento en un solo eje y sentido, pues resulta en algo más simple, parecido al tiro vertical hacia abajo.

a) Desde un acantilado de 20 metros de altura se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad inicial de 10 m/s. Calcular:

• Tiempo que tarda en caer al suelo

• Alcance máximo

• Posición a los 3 segundos

Desde lo alto de un edificio de 30 metros de altura se lanza un cuerpo con una velocidad inicial de 3 m/s. Calcular:

• Tiempo que tarda en caer al suelo

• Alcance máximo

• Posición a los 3 segundos

Acuérdate de que en este movimiento ya hay desplazamiento en el eje x, del tipo del M.R.U., y que sigue siendo del tipo “hacia abajo”, así que vete a la sección de fórmulas “hacia abajo y escoge la correspondiente a cada apartado : primero el tiempo, porque, si no, no puedes hallar el alcance, y al final la posición.

Es el más complejo de los movimientos de este tipo, sí, y el más puñetero, el que más se te resiste, ya que se compone de dos fases, cada una con dos componentes del movimiento, una en el eje x y otra en el y, con movimientos y ecuaciones distintas según el caso, que marca la diferencia con los anteriores por añadir, además de la velocidad inicial, la inclinación, en forma de ángulo de lanzamiento. Se recomienda dividir el análisis en 2 partes y al analizar cada una, poner el sistema de referencia en el punto donde comienza el movimiento del cuerpo.

A este modelo pertenecen problemas como:

Se lanza un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de 5 m/s. y un ángulo de 30º. Calcular:

Altura máxima que alcanza

Alcance máximo

Posición en los instantes t=1 s. y t=3 s., el vector desplazamiento entre esos instantes, la velocidad media entre esos instantes.

Si a 150 m. del punto de lanzamiento, medidos en línea recta sobre el mismo eje, se encuentra un muro de 10 m. de altura, calcular si incidirá sobre él y a qué altura

Se lanza una piedra desde lo alto de un edificio de 10 metros de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. y un ángulo de 45º. Calcular:

Altura máxima que alcanza

Alcance máximo

Posición a los instantes t=1s. y t=3s., vector desplazamiento entre esos instantes y velocidad media en módulo para esos instantes.

Vamos a por ellos, que son pocos y cobardes:

1º) Dividir el problema en dos fases, una para arriba, con las correspondientes ecuaciones para arriba, y otra hacia abajo, con las correspondientes ecuaciones para abajo luego ver qué apartados de las ecuaciones “para arriba” aplicar en la fase para arriba, y lo mismo para la fase “para abajo”.

2º) Para el apartado d) del problema 1), tienes que tener en cuenta que debes primero igualar el alcance del cuerpo a la distancia a la que se encuentra el muro en el eje x respecto el origen del sistema de coordenadas empleado como referencia, y como te dan la velocidad inicial, despejas el tiempo en la siguiente ecuación, considerando que x0=0:

En este caso, te dan la velocidad inicial, y x=150 m., así que hallas la altura del cuerpo en ese instante, aplicando la fórmula “para arriba” que empleas para hallar la altura máxima:

Compara el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima, con el hallado para ver si se estrella contra el muro, si el segundo, el necesario para estrellarse, es dos o más veces el primero (o sea, el primero multiplicado por 2), significa que el muro está tan alejado que el cuerpo ha subido y ha vuelto a bajar sin alcanzarlo, o se ha estrellado al pie del mismo sin colisionar con él (si es justo 2 veces el valor del tiempo necesario para alcanzar la altura máxima en este caso). Si el tiempo que ha dado como necesario para que colisione con el muro, es menos de dos veces el necesario para alcanzar la altura máxima, entonces el cuerpo es posible que se estrelle, dependiendo del valor de y que dé al sustituir el tiempo necesario para que colisione con el muro, en la ecuación anterior. Si el valor de y hallado en ese tiempo es menor o igual a 10 metros, el cuerpo colisiona; si da más de 10 metros, no colisiona.

Otra variedad de problemas que te pueden plantear como derivado de éste es el de que te dan el muro, y la distancia a la que está del origen en el eje x, y te piden la velocidad necesaria para que colisione, dándote sólo el ángulo de inclinación y la distancia a la que se encuentra el muro, sin decirte altura específica del muro, que consideras muy alto, de tal manera que sólo consideras el alcance, y no la altura. Este es el típico problema de la tangente, y se resuelve de la siguiente manera, poniéndote un ejemplo: Tenemos un cuerpo, por ejemplo un balón de fútbol, que se lanza en línea recta en el sentido positivo del eje x, con una determinada velocidad inicial, que no nos dan, y un ángulo de inclinación de 30º. Se quiere saber qué velocidad tendría que propinársele al balón para que choque contra un muro que se encuentra a 200 metros del balón en un tiempo determinado.

Este es el procedimiento a seguir en caso de resolución de estos problemas:

1º) Sabiendo el tiempo y también el alcance, podemos hallar la velocidad inicial de la siguiente forma:

Así hallamos la velocidad a la que tendría que ir inicialmente el cuerpo para colisionar con el muro en ese instante.

2º) Ahora hallamos voy, sabiendo que:

3º) Y ahora hallamos el tiempo necesario para alcanzar la altura máxima, como viene especificado en las ecuaciones “para arriba”, comparándolo con el tiempo que da el problema para alcanzar el muro:

• Si el tiempo para alcanzar la altura máxima es el mismo que el que nos dan, significa que el cuerpo choca con el muro justo cuando está en su altura máxima.

• Si el tiempo para alcanzar la altura máxima es menor que el que nos dan, significa que el cuerpo choca con el muro sin haber llegado a alcanzar su altura máxima.

• Si el doble del tiempo necesario para alcanzar la altura máxima es menor que el que nos dan, significa que el cuerpo no choca nunca con el muro, ya que describe toda su trayectoria parabólica justo antes de llegar al muro y, como mucho, cae a los pies de éste sin colisionar con él.

• Si el tiempo que nos dan es mayor que el necesario para alcanzar la altura máxima, pero menor que el doble de dicho tiempo necesario para alcanzar la altura máxima, entonces es que el cuerpo alcanza su altura máxima y colisiona con el muro en un instante dado de su movimiento "“hacia abajo".

4º) Según sea el caso, emplearás una fórmula hacia arriba, hacia abajo, o ninguna si es el caso de que el tiempo que te dan es mayor del doble del tiempo necesario para que el cuerpo describa su trayectoria parabólica y vuelva a caer, ya que si acaso cae al pie del muro y sin colisionar con éste, por lo que te ahorras emplear fórmulas inútilmente, y el riesgo de confundirte al darte resultados ilógicos.

¿Y si no te dan el tiempo? Pues en la fórmula para hallar el alcance, despejas el tiempo y lo pones en función de la velocidad inicial, o despejas la velocidad inicial y la pones en función del tiempo. Pero como cuando no te dan el tiempo, te dan a la altura sobre el muro a la que choca. Si tienes dudas de cómo resolver este tipo de ejercicios, ven a mis clases y te enterarás. Te dejo con la duda...

-1 -

yj= y0j+v0 · t j +½ g · t2(-j)

y= y0+v0 · t -½ g · t2

yj = v0 · t j +½ g · t2(-j)

y= v0 · t -½ g · t2

Y(-j) = ½ g · t2(-j)

y(-j )= v0 · t (-j )+½ g · t2(-j) (m.)

vy= v0- g · t

vyj= v0j - g · t (-j)

Cuando el cuerpo llega a lo más alto vy=0

0= v0- g · t

0 = v0j +g · t (-j)

v0= g · t

v0 (-j)= g · t (-j)

v0 /g = t

yj = v0 · t j +½ g · t2(-j)

y= v0 · t -½ g · t2

xi= x0i+ v0 · ti

yj= v0 · t j +½ g · t2(+j)

R(t)= xi +yj

xi= x0i+ v0 · ti

yj= v0 · t j +½ g · t2(+j)

R(t)= xi +yj

yj= v0 · (t') j +½ g · (t')2 (+j) (m.)

yj= v0 · (t') j +½ g · (t')2 (+j)(m.)

xi= x0i+ v0 · ti

R(t)= xi +yj

xi= x0i+ v0 · ti

y= v0 · t -½ g · t2

-y= -½ g · t2

-y= -½ g · (t')2

y= ½ g · (t')2

y(-j) = v0 · t (-j) +½ g · t2(-j)

-y = - ( v0 · t ) -½ g · t2

-y = - [( v0 · t ) + ½ g · t2 ]

y(-j) = (v0 · t +½ g · t2) (-j)

y= ( v0 · t ) +½ g · t2

Y = v0 · t +½ g · t2

Para ax2+bx+c=0, tenemos que:

-vy= - g · t

vy (-j) = g · t (-j)

vy= g · t

vy (-j)= [ g · t ](-j)

vy = g · t

vy (-j) = v0 (-j) + g · t (-j)

vy = v0 + g · t

vy (-j)= [v0 + (g · t ) ](-j)

-vy=-v0 - g · t

-vy= -[v0 + (g · t)]

xi= x0i+ v0 · ti

yj= v0 · t j +½ g · t2(+j)

R(t)= xi +yj

xi= x0i+ v0 · ti

yj= v0 · t j +½ g · t2(+j)

R(t)= xi +yj

r(t)= r(tfinal)-r(tinicial)= (x2i+y2j)-(x1i+y1j)= (x2- x1)i+ (y2- y1) j

r(t)= ai+bj, donde:

a=(x2- x1), y b=(y2- y1), y el módulo es:

|r(t) |= "(a2+b2)

xi= x0i+ v0 · ti

xi= x0i+ v0 · ti

(x- x0) i =v 0 · ti

xi- x0i =v 0 · ti

(x- x0) / t= v 0

(x- x0) =v 0 · t

MODELOS DE PROBLEMAS DE CINEMÁTICA

MODELOS DE PROBLEMAS DE CINEMÁTICA

MODELO 1: CAÍDA LIBRE

MODELO 2: TIRO VERTICAL HACIA ARRIBA/ABAJO, Y TIRO HORIZONTAL

MODELO 3: TIRO PARABÓLICO

(EN SENTIDO AMPLIO)

SIN VELOCIDAD INICIAL

SIN ÁNGULO DE LANZAMIENTO

CON VELOCIDAD INICIAL

SIN ÁNGULO DE LANZAMIENTO

CON ÁNGULO DE LANZAMIENTO ()

CON VELOCIDAD INICIAL

 SISTEMAS DE REFERENCIA Y FÓRMULAS PARA CADA CASO

œ MODELO 3: TIRO PARABÓLICO

B) TIRO HORIZONTAL:

2) TIRO VERTICAL HACIA ABAJO:

Sólo van en este apartado si han alcanzado su altura máxima y han vuelto a bajar, aunque sea una millonésima de milímetro.

Sólo van en este apartado si como mucho han alcanzado su altura máxima y no han vuelto a bajar, aunque sea una millonésima de milímetro.

1) TIRO VERTICAL HACIA ARRIBA:

TIRO VERTICAL:

œ MODELO 2: TIRO VERTICAL HACIA ARRIBA/ABAJO, Y TIRO HORIZONTAL

X=X0+ V0· T

¿CÓMO SE RESUELVEN ESTOS PROBLEMAS?

œ MODELO 1: CAÍDA LIBRE

x= v0x · t

x/ v0x= t

y= v0 · t -½ g · t2

yj = v0 · t j +½ g · t2(-j)

Acuérdate de que el tiro parabólico maneja ángulos de inclinación, por lo que al trabajar con la velocidad inicial en cada eje, tienes que trabajar con la componente respectiva a ese eje:

v0x= v0 · cos !PARA EL EJE X

v0y= v0 · sen !PARA EL EJE Y

v0x= v0 · cos  = x / t

v0x = x / t

v0 = x / (t · cos )

v0y= v0 · sen