MODELO ECONOMÉTRICO

A) Modelos Admisibles

B) Modelos Esféricos

C) Modelo Óptimo

Valores de los coeficientes de regresión lineales para las funciones:

• Y = A + B * X1

• Y = A + B * X1 + C * X2

               El applet permite elegir entre diversas transformaciones de los datos, las dos últimas posibilidades de transformación aplican el procedimiento de mínimos cuadrados ponderados. Deflactando los datos por una de las variables explicativas intentaremos corregir la existencia de heterocedasticidad.

y = a + b*ln(x)                                                  ln(y) = a + b*ln(x)

y = a - b/x                                                          ln(y) = a - b/x

1) Modelos regresivos

Un modelo regresivo (Aznar, 1989) trata de explicar el comportamiento de una variable exógena en función de diversas variables explicativas (exógenas) o de valores anteriores de ella misma (endógena). En modelos más complejos se pueden determinar conjuntamente varias variables endógenas a través de un sistema de ecuaciones resuelto de forma simultanea.

A lo largo de estos capítulos se emplearán modelos más o menos complejos pero en cualquier caso uniecuacionales, en los que sólo existirá una variable endógena, pudiendo existir varias explicativas. Todo este tipo de modelización parte a priori con un handicap la existencia de factores reales explicativos de la variable endógena, es bien conocido que en estadística siempre es posible incrementar el grado de explicación por el aumento de variables exógenas en el modelo.

Conviene aclarar, que no se ha tomado ningún partido en cuanto a la mayor o menor validez de los modelos regresivos o de cualquier otro, antes al contrario, se ha tratado de testear todos y cada uno de los modelos que los autores creían podían aportar buenos resultados. Las conclusiones son en muchos casos sorprendentes, y avalan que en muchas ocasiones ideas apriorísticas como por ejemplo la necesidad de modelizaciones distintas de la lineal para la volatilidad, no son ciertas en todas las ocasiones, sino más bien lo contrario.

En este estudio se ha pretendido en todo momento un exhaustivo seguimiento de las posibles correlaciones cruzadas entre variables explicativas para evitar redundancias y por supuesto de rechazar, mediante el empleo sistemático de test estadísticos de no significatividad, las variables que no fueran claramente relevantes en la explicación de la volatilidad.

Para la utilizaciónde estos modelos debemos partir de una idea ex-ante sobre la relación entre una o varias variables y tratar de verificar que ésta relamente exista, pero el problema no sólo reside en la existencia de relaciones perdurables en el tiempo sino en la forma funcional que éstas adopten, por ello en este trabajo se emplearan diversos modelos, que a priori eran susceptibles de dar buenos resultados:

- Relaciones lineales univariantes.

Donde:

y es la variable dependiente. beta es la variable explicativa. Las alphas los parámetros especificados por el modelo es el término de error.

- Relaciones lineales multivariantes.

Donde:

y es la variable dependiente. betas son las variables explicativas. Las alphas los parámetros especificados por el modelo es el término de error.

- Modelos de crecimiento exponencial.

Donde:

y es la variable dependiente. x son las variables explicativas. Las alphas los parámetros especificados por el modelo. es el término de error

- Modelos con punto de ruptura.

Donde:

y es la variable dependiente. x son las variables explicativas. Las alphas los parámetros especificados por el modelo. es el término de error. el número e. Siendo beta el punto de ruptura.

Otros modelos como el estudio de eventuales relaciones logarítmicas entre precio y volatilidad, dieron escasos o nulos resultados por los que no se reseñan en el apartado anterior. Los ya mencionados modelos con punto de ruptura ("piecewise models") si se muestran muy útiles en la superación de algunos problemas ya reseñados de la base de datos, especialmente el inusitado incremento sufrido por la volatilidad implícita en los peores momentos de la crisis monetaria y apuntar a un cambio de la relación precio- volatilidad implícita en diversos momentos del ciclo bursátil.

2) Modelos SARIMA

Este tipo de modelización permite soslayar en parte dos problemas de los modelos regresivos, por un lado no es necesaria la identificación de variables susceptibles de explicar la variable endógena al aplicarse sobre una serie de datos correlativos de la propia variable, y además toda una serie de pautas de actuación preestablecidas hacen más sencillo obtener la forma funcional adecuada del modelo.

Hay que explicar que el gran problema de estos modelos, lo constituye precisamente el cálculo del citado punto de ruptura, en estos capítulos sólo se especificará uno de los puntos más relevantes de ruptura, que se produjo en la ruptura del 3000 por parte del Ibex, comienza a existir evidencia empírica de que puede haber un nuevo punto de ruptura en el año 99 cuando se produce una evidente falta de capacidad explicativa de los modelos regresivos empleados hasta ese momento.

El paso previo al empleo de la metodología SARIMA es la obtención de series estacionarias, es decir, bases de datos que cumplan los siguientes criterios

i) Media constante en el tiempo.

ii) Varianza constante en el tiempo.

Para ello se procede a una serie de diferenciaciones y ajustes que quedan explicados paso a paso en el momento en que se utilicen a lo largo del trabajo.

A la hora de especificar un modelo ARIMA son necesarios 3 parámetros:

i) El retardo de la parte autorregresiva (AR) que viene explicitado por el subíndice p en la siguiente fórmula:

Donde:

y es la variable dependiente Las phi representan en este caso, a los parámetros especificados por el modelo. es el término de error.

En realidad la relación matemática no hace sino poner en evidencia que la observación de la variable y en el período t depende de las misma variable y en t-1, t-2,... y t-p.

ii) El retardo de la parte de medias móviles (MA), q en la fórmula siguiente:

Donde:

y es la variable dependiente Las sigma representan en este caso, a los parámetros especificados por el modelo. son los términos de error.

La significación de este tipo de modelos es también bastante clara, se trata en suma de explicar la variable y en t en función de una constante y de una corrección de q errores del modelo en los períodos anteriores.

iii) Número de veces que hemos de diferenciar (I) la serie para hacerla estacionaria.

Se entenderá por diferencial de yt, la diferencia entre la volatildad en t y t-1, es decir:

Donde:

d indica que se trata de la diferencial de la variable de que se trate y es la variable dependiente En ocasiones se emplea la diferenciación logarítmica para obtener un mayor alisado de la serie, sin embargo, este tipo de diferenciación no dió excesivos buenos resultados a la hora de modelizar las series de datos empleadas en este estudio.

La utilización de estos modelos permite constatar un hecho que no deja de ser preocupante, la volatilidad en t no es independiente de la manifestada en otros períodos inmediatamente anteriores, poniendo en tela de juicio las propias fórmulas valorativas de opciones , empleadas por la práctica totalidad de los participantes en el mercado.

Antes de entrar en el siguiente apartado, sería conveniente explicar las principales diferencias entre los modelos ARIMA y los de la familia ARCH, mientras que los ARIMA se aplican sobre series homocedásticas, es decir, de varianza constante, los ARCH se caracterizan por tratar de modelizar precisamente la heterocedasticidad de la serie. Por lo tanto mientras que en los modelos ARIMA se debe de alisar la serie como paso previo a la modelización de la misma, ésto no es necesario en los ARCH, lo que no es por si mismo una ventaja al obligar a elegir una de las múltiples posibilidades de modelización ofrecidos por los ARCH que se tratarán en el apartado posterior.

Los resultados del trabajo de Poon y Taylor (1991) hacen intuir que los modelos ARIMA y cualquiera de los ARCH no son en principio excluyentes, mientras los ARIMA son válidos para identificar los cambios de tendencia en volatilidad, en el caso de los heterocedásticos se observa una mayor inestabilidad en el resultado, aunque la serie prevista se ajuste más a los frecuentes cambios en la volatilidad real. En resumen, la serie, en este caso generada por un GARCH (1,1), prevista por el modelo heterocedástico se ajustaba mejor, pero era más volátil en la cuantía de los errores.

Un tema que no se trata en este trabajo es el análisis de la posible existencia de estacionalidad (la S de los modelos SARIMA) en la series de volatilidad, se ha de reconocer que existen períodos concretos en los que se producen cambios de una manera casi sistemática en la volatilidad implícita. Se puede citar el fenómeno de reducción de la volatilidad los días inmediatamente anteriores a puentes festivos (en los días inmediatamente anteriores a la festividad de semana santa de 1996, la volatilidad implícita se redujo desde el 17% a niveles cercanos al 13% en las series "at-the-money") pero sería muy difícil llegar más lejos en el análisis por la relativa limitación de la base de datos.

Hay sin embargo una excepción a esta afirmación anterior, se podrá constatar a lo largo de la presentación de los resultados de los modelos que recurrentemente aparece un efecto estacional (que será denominado pseudoestacional en este trabajo) que coincide con el período de cálculo de la volatilidad histórica homocedástica que se esté modelizando.

3) Modelos heterocedasticos

A modo de introducción sería conveniente recordar que estos modelos son relativamente novedosos, su desarrollo comienza con los trabajos de Engle (1982, op. citada) y se muestran especialmente útiles según Crouhy y Rockinger (op. citada) para:

- La modelización de una volatilidad no constante en el tiempo.

- Recoger en modelos teóricos la evidencia empírica de que la volatilidad se manifiesta en olas.

- Identificar la existencia de una memoria importante en el proceso.

- Predicción de la volatilidad futura

A) ARCH

El modelo ARCH fue desarrollado por Egle en 1982 y se basa en la explicación de la volatilidad condicional como una función lineal de q errores pasados de predicción elevados al cuadrado (los epsilon de la fórmula).

Donde:

sigma es la variable condicional Los alpha son los parámetros especificados por el modelo Epsilón son los términos de error

Tanto este modelo como el resto de los que se tratará a continuación, que no son sino desarrollos más o menos complejos del mismo, definen la volatilidad condicional,que es la única que se puede predecir por las hipótesis del modelo, como la volatilidad condicionada a la información existente en ese periodo (denotada por Phi en la formula siguiente).

Donde:

Epsilón en t es el "shock" o error de predicción Phi representa la información existente en t y que no existía en t-1.

Los modelos tradicionales trataban sólo la volatilidad incondicional, es decir:

Si se piensa en el caso de la volatilidad implícita, ésta viene condicionada por toda la información existente hasta el período considerado, por lo que el concepto de "shock" de volatilidad podría ajustársele sin excesivos problemas. Es tal vez por esta razón por la que es posible llegar a una conexión de las volatilidades implícita y condicional sin excesivos problemas, a pesar de que no exista relación funcional alguna entre ellas

En cuanto a la memoria del proceso, se corresponde con la suma de todos los coeficientes alfa, en concreto:

Siendo r el número de coeficientes alpha distintos de 0.

De acuerdo con un modelo ARCH(1) se puede prever la volatilidad s períodos más adelante como sigue:

Siendo sigma cuadrado la volatilidad incondicional, es decir, aquella que no depende del período en que nos encontremos. En el largo plazo es destacable que la volatilidad condicional e incondicional tienden a aproximarse en cualquier caso, como veremos más tarde es muy raro que alpha1 sea mayor que la unidad, ésto no es así necesariamente en los modelos GARCH.

B) GARCH

Este modelo fue desarrollado por Bollerslev (1987), extendiendo el modelo ARCH para incluir retardos en la varianza condicional. En definittiva un GARCH es un modelo ARCH infinito, un GARCH (p,q) se define como:

Donde:

sigma es la variable condicional Los alpha y beta son los parámetros especificados por el modelo Epsilón son los términos de error

Si p es cero el proceso se reduce a un ARCH(q). Si tuviésemos por ejemplo un GARCH de reducida p, que son los más comunes en los estudios de mercado, sus propiedades vendrían a ser equivalentes a un ARCH con una q elevada, en general con q mayor o igual a 20.

Como quiera que por las hipótesis propias al modelo:

Se puede reformular un GARCH(p,q) como sigue:

Donde m es el máximo entre p y q, y mu no manifiesta correlación con las otras series.

La previsión en un modelo GARCH(1,1) se efectúa como sigue:

Sólo en el caso de que alpha1 más beta1 sea inferior a 1 la volatilidad prevista decrecerá hacia la incondicional, en ese caso se dice que el modelo es integrado.

C) EGARCH o "exponential GARCH"

Este modelo surge para paliar un problema de los modelos GARCH consistente en que los efectos de una "sorpresa", entendida como información inesperada por el mercado, son los mismos se trate de una noticia negativa o positiva. Sin embargo parece empíricamente demostrado que los picos en volatilidad coinciden con caidas de mercado, por lo que una mayor asimetría de la distribución de volatilidad sería conveniente. Este modelo a pesar de su complejidad teórica permite estudiar desde otro punto de vista la asimetría precio-volatilidad que ya se estudia en la parte regresiva, pues no es necesario acudir a la serie de precios para la modelización.

En un modelo EGARCH(1,1) la varianza condicional se escribiría como sigue:

Donde:

sigma es la variable condicional Los alpha son los parámetros especificados por el modelo Epsilón son los términos de error Delta el parámetro de asimetría Pi es el número pi

Un coeficiente delta estimado negativo confirmaría la presencia de un sobreimpacto de las noticias negativas, la contribución de un "shock" positivo en la volitilidad condicionada es:

Por el contrario un "shock" negativo:

La asimetría de la volatilidad condicionada la mediría el siguiente ratio:

D) Non-Linear Assymmetric ARCH (AGARCH)

Desarrollado por Engle(1990) y Sentana (1991). Un AGARCH (1,1) :

Donde:

sigma es la variable condicional w es la variable incondicional alpha y beta son los parámetros especificados por el modelo Epsilón son los términos de error Lambda el coeficiente de asimetría

Se formulan a continuación algunos modelos susceptibles de ser probados en nuestro mercado, que no han sido probados en el presente trabajo.

E) Otros modelos Heterocedásticos

La lista de modelos heterocedásticos es muy amplia, de hecho una gran parte de la innovación de la ciencia econométrica se ha centrado en los últimos años en el desarrollo de modelos que se ajusten cada vez más a las series de volatilidades.

- Glosten, Jagannathan y Runkle desarrollan el GJR-ARCH en 1989. Un GJR-ARCH(1,1) se expresaría como sigue:

Donde:

sigma es la variable condicional Los alpha, beta, delta son los parámetros especificados por el modelo D es una variable binaria que toma el valor 0 o 1. Epsilón son los términos de error

D es una variable que toma el valor 1 en t, si el error en t-1 es negativo y 0 si el error en t-1 es positivo.

- TGARCH

Donde:

sigma es la variable condicional Los alpha y beta son los parámetros especificados por el modelo Epsilón son los términos de error que se definen como doble variable tal y como se expresa en la fórmula