MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Mediante el método de diferencias finitas, haremos frente a algunos problemas que presentaba la interpolación de Lagrange. A continuación realizaremos una mención sobre ellos:

• La cantidad de cálculos necesarios eran elevados

• No se podían utilizar partes de la aplicación previa.

• No se podían utilizar los resultados de cálculos anteriores.

A continuación nos centraremos en explicar en que se basa el método de diferencias finitas:

En este método consideraremos que los puntos están equidistanciados en el eje X, es decir , la diferencia entre dos puntos consecutivos en el eje X es constante.

El intervalo entre dos puntos consecutivos lo denominaremos h.

Definiremos (n+1) puntos a intervalos h, por los que tiene que pasar el polinomio de interpolación con lo cual:

Xi=Xo+ih ! Xi-X(i-1) Siendo i=0,1,2,3...n con yi=fi=f(xi)

Las igualdades citadas nos pueden conducir a una expresión para la interpolación polinomial en términos de diferencias hacia delante.

La diferencia lo denominaremos como la resta del punto y con respecto al valor anterior del mismo. Esta afirmación lo podemos escribir mediante la siguiente expresión: Yi+1-Yi.

La primera diferencia lo denominaremos yi.

Las diferencias consecutivas los podemos representar mediante la siguiente expresión: m m-1

yi=( yi).

De esta manera podemos realizar una tabla con las diferencias sucesivas:

Ahora definiremos el parametro s que será utilizado a continuación:

s: Es una coordenada local que toma el valor entero i cuando x toma el valor xi.

A continuación realizaremos una pequeña modificación igualando x a la siguiente expresión: X=X0+sh

El polinomio que pasa por n+1 puntos lo podemos definir mediante la expresión que viene a continuación, el cual será la base de este método:

Pn(s)=


y0

A continuación definiremos varios casos de coeficientes binomiales que son realmente importantes conocer:

=1

=s

=

Generalizando:

Si el objetivo que perseguimos es dejar la solución en función de X, sería suficiente recordar que X=X0+sh

A continuación introduciremos el programa que nos calcule los resultados utilizando el método de las diferencias finitas

PROGRAMA

program d_finita;

const

limite=5;

type

matriz=array [1..limite,1..limite] of real;

lista=array [1..limite] of real;

var

x:lista;

y:matriz;

i,j:integer;

procedure introducir_datos (var x:lista;var y:matriz);

var

i,j:integer;

begin

for i:=1 to limite do

begin

writeln ('Introduce datos de la x',i,':');

readln (x[i]);

end;

for i:=1 to limite do

for j:=1 to limite do

y[i,j]:=0;

for i:=1 to limite do

begin

writeln ('Introduce el valor de y[1,',i,']:');

readln (y[1,i]);

end;

end;

procedure calculo (var y:matriz);

var

i,j:integer;

cont:integer;

begin

cont:=1;

while (cont<limite) do

begin

for j:=2 to (limite+1-cont) do

y[cont+1,j-1]:=(y[cont,j])-(y[cont,j-1]);

cont:=cont+1;

end;

end;

function factorial (num:integer):integer;

var

result,i:integer;

begin

result:=1;

for i:=num downto 2 do

result:=result*i;

factorial:=result;

end;

procedure calculo_polinomio (x:lista;y:matriz);

var

h,valor,s,p,p1,p2,p3,p4,p5:real;

begin

writeln ('Introduce el valor de la x para el calculo:');

readln (valor);

h:=x[2]-x[1];

s:=(valor-x[1])/h;

p1:=y[1,1];

p2:=y[2,1]*s;

p3:=(y[3,1]*s*(s-1))/factorial(2);

p4:=(y[4,1]*s*(s-1)*(s-2))/factorial(3);

p5:=(y[5,1]*s*(s-1)*(s-2)*(s-3))/factorial(4);

p:=p1+p2+p3+p4+p5;

writeln ('El polinomio de orden ',limite,' es: ',p);

end;

begin

introducir_datos (x,y);

calculo (y);

calculo_polinomio (x,y);

end.

Introduciremos varios ejemplos para ver los resultados que obtenemos y comprobar el buen funcionamiento del programa.

Datos: 1

X=0.67

El resultado obtenido aplicando el programa de diferencias finitas ha sido: 0.62098890537

Datos: 2

X=0.12

El resultado obtenido aplicando el programa de diferencias finitas ha sido: -1.8975462720