Método de Bairstow

El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson. Recuérdese la forma factorizada de un polinomio, ej:

Si se divide entre un factor que no es una raíz (por ejemplo, ), el cociente podría ser un polinomio de cuarto orden. Sin embargo, en este caso, podría haber residuo.

Con estas bases se puede elaborar un algoritmo para determinar la raíz de un polinomio: 1) suponiendo que el valor inicial de la raíz es , 2) al dividir el polinomio entre el factor , y 3) determinando si existe un residuo. Si hay un residuo, el valor puede ajustarse en forma sistemática y el procedimiento repetirse hasta que el residuo desaparezca y la raíz sea localizada.

El método de Bairstow se basa por lo general en esta aproximación. El proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor. Por ejemplo, el polinomio general

Puede dividirse entre el factor para producir un segundo polinomio que dé un orden más bajo, con un residuo , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.

para a 0

Obsérvese que si t fue una raíz del polinomio original, el residuo b0 sería igual a cero.

Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método de Bairstow divide el polinomio entre un factor cuadrático . El resultado es un nuevo polinomio con un residuo

Como con una división sintética normal, la simple relación de recurrencia puede usarse para realizar la división entre un factor cuadrático:

para a 0

El factor cuadrático se introduce para permitirla determinación de las raíces complejas.

Los cambios, y , necesarios para mejorar nuestros valores iniciales se pueden estimar por medio de:

Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en si mismas fueron derivadas:

para a 0

Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:

Estas ecuaciones pueden resolverse para y , las cuales pueden emplearse para mejorar los valores iniciales de r y s. en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en

Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como

Ejemplo:

Emplee el método de Bairstow para determinar las raíces del polinomio

Use los valores iniciales de e iterando a un nivel de

Solución: Se utilizan las ecuaciones apropiadas para calcular

Luego:

Así, las ecuaciones simultáneas para resolver y son

Las cuales pueden resolverse para =0.3558 y =1.1381. por lo tanto, nuestros valores iniciales pueden corregirse como

r = -1+0.3558 = -0.6442

s = -1+1.1381 = 0.1381

y el error aproximado puede ser calculado así:

El siguiente cálculo es repetir usando los valores revisados para r y s.

Y luego:

Por lo tanto se debe resolver

para =0.1331 y =0.3316, los cuales pueden usarse para estimar la raíz correcta como

r = -0.6442+0.1331 = -0.5111

s = 0.1381+0.3316 = -2.1304

El cálculo puede continuar, con el resultado de que después de cuatro iteraciones el método converge a los valores de r = -0.5 () y s = 0.5 (). La fórmula general puede emplearse para evaluar las raíces como

En este punto, el cociente es la ecuación cúbica

El método de Bairstow puede aplicarse a este polinomio usando resultados del paso anterior, r = -0.5 y s = 0.5, como valores iniciales. Cinco iteraciones dan un estimado de r = 2 y s = -1.249, el cual puede usarse para calcular

En este punto, el cociente es un polinomio de primer orden que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz: 2.