EMPUJE DE TIERRAS.

Se supone un terreno horizontal. Las tensiones sobre los planos horizontales aumentan linealmente con la profundidad. Las tensiones sobre los planos verticales aumentan también de una manera regular. La relación entre ambas es el coeficiente K0 de “empuje al reposo”, que no tiene por qué ser constante con la profundidad:

Si se introduce una pantalla infinitamente rígida y se excava en uno de sus lados, la acción de las tierras sobre la pantalla seguirá siendo el empuje al reposo.

Si la pantalla no fuese infinitamente rígida y cediese un poco, la pantalla se separa del terreno y el empuje decrece. Si la pantalla se sigue moviendo el terreno acabará por romperse, formándose una cuña de empuje. Se entra en un régimen plástico donde el empuje no varía más que un poco y el movimiento se hace constante. Se habla entonces de un estado de empuje activo, definido por el “coeficiente de empuje activo”, Ka.

En el caso de que el movimiento sea comprimiendo el terreno, entonces las tierras oponen un efecto “pasivo”. Se entra en un estado de “empuje pasivo”, definido por el coeficiente Kp.

En los muros de contención, debido al empuje del terreno, el cuerpo del muro puede girar respecto al pie, de tal manera que el cuerpo se encuentra en un estado de empuje activo, mientras que el pie está sometido a un estado de empuje pasivo.

MÉTODOS PARA DETERMINAR LOS COEFICIENTES DE EMPUJE.

Método de Rankine.

La teoría de Rankine se desarrolla para un medio elástico, que se caracteriza por ser granular homogéneo y seco, y plantea las siguientes hipótesis iniciales:

• El trasdós del muro es vertical.

• La superficie del terreno es horizontal.

• El terreno puede estar estratificado horizontalmente.

• El nivel freático es horizontal.

• No hay rozamiento entre el terreno y el muro.

• El terreno alcanza una situación de rotura.

El hecho de que no haya rozamiento entre el terreno y el muro origina que no haya tensiones tangenciales en los puntos interiores del terreno, y por tanto, la tensión horizontal es una tensión principal.

Si se toma un elemento de suelo en reposo y se determinan sus tensiones normales horizontal y frontal, se puede obtener su correspondiente círculo de Mohr ya que la tensión horizontal y vertical son tensiones principales:

σv = γ · z σh = K0 · σv

Si a continuación se comienza a descargar el terreno, el valor de la tensión horizontal irá descendiendo, y por tanto, irán a pareciendo diferentes círculos de Mohr para los diferentes valores de σh. Llegará un momento en el que el valor de σh sea tal que el círculo de Mohr correspondiente sea tangente a la línea de resistencia del terreno. En ese momento se habrá alcanzado el estado de empuje activo. Así pues:

AB = OA ·sen φ' →

Por tanto:

Si por el contrario lo que se hace es comprimir el terreno, el valor de la tensión horizontal aumenta sobrepasando a la tensión vertical hasta que llega un momento en que el círculo de Mohr correspondiente es también tangente a la línea de resistencia del terreno. Se habrá alcanzado el estado de empuje pasivo. Así pues:

AB = OA ·sen φ' →

Por tanto:

Se puede observar que si φ' = 30º, entonces: K0 = 1/2, Ka = 1/3 y Kp = 3.

En el caso de que el terreno no sea homogéneo la tensión vertical será la suma de los productos de los diferentes pesos específicos por su cota:

σv = Σγ · Δz σh = K0 · σv

Con ello, el coeficiente de empuje activo será diferente para cada capa. Además, la ley de tensiones horizontales presentará discontinuidades como consecuencia de los diferentes ángulos de rozamiento interno de cada capa, mientras que la ley de tensiones verticales será continua.

La presencia del nivel freático también afecta a las tensiones verticales:

σv = γ · zw + γ' · (z - zw) σh = K0 · σv

Además, la presión que ejerce el agua será tal que:

ew = γw · (z - zw)

En esta caso no hay discontinuidad en la ley de tensiones horizontales, ya que el hecho de que el terreno esté húmedo o seco no afecta prácticamente al ángulo de rozamiento interno del terreno.

Rozamiento entre tierra y muro.

La resistencia al corte en el contacto entre un suelo cohesivo y un material de construcción viene dada por una ecuación del tipo:

τδ = af + σ · tg δf

af = adherencia máxima δf = ángulo de rozamiento límite entre tierras y muro

El rozamiento no puede ser nunca superior a la resistencia al corte de un terreno, por lo que los valores de af y δf suelen obtenerse en función de la cohesión y del ángulo de rozamiento interno del terreno:

Material de construcción	Acabado superficial	Arena gruesa		Limo sin cohesión			Suelo granular cohesivo (1/2 arcilla y 1/2 arena)		Arcilla
				Seca	Saturada	Seco	Saturado		Índice de fluidez 0-0.5		Índice de fluidez 0-0.27
				Densa		Denso	Flojo	Denso
				δf/φ'	δf/φ'	δf/φ'	δf/φ'	δf/φ'	δf/φ'	af/c	δf/φ'	af/c
	Acero	Liso (pulido)	0.54	0.64	0.79	0.40	0.68	0.40	-	0.50	0.25	0.50
		Rugoso (oxidado)	0.76	0.80	0.95	0.48	0.75	0.65	0.35	0.50	0.50	0.80
	Madera	Rozamiento paralelo a las fibras	0.76	0.85	0.92	0.55	0.87	0.80	0.20	0.60	0.40	0.85
		Id perpendicular a las fibras	0.88	0.89	0.98	0.63	0.95	0.90	0.40	0.70	0.50	0.85
	Hormigón	Liso (encofrado metálico)	0.76	0.80	0.92	0.50	0.87	0.84	0.42	0.68	0.40	1.00
		Aspero (encofrado de madera)	0.88	0.88	0.98	0.62	0.96	0.90	0.58	0.80	0.50	1.00
		Rugoso (vertido sobre un terreno preparado)	0.98	0.90	1.00	0.79	1.00	0.95	0.80	0.95	0.60	1.00

Método de Coulomb.

Esta teoría es muy anterior a las restantes teorías de plasticidad. Se basa en suponer que al moverse el muro bajo la acción del empuje de las tierras, se produce el deslizamiento de una cuña de terreno limitada por el trasdós y por un plano que pasa por el pie del muro.

Se supone que el drenaje del muro funciona bien y que no hay presiones intersticiales en el terreno. Para calcular el empuje se supone un plano de deslizamiento arbitrario AC. La cuña BAC estará en equilibrio bajo la acción del peso que gravita sobre ella, W, del empuje del trasdós sobre el terreno, E, y de la reacción de la masa de suelo sobre la cuña, F. La reacción, F, forma un ángulo φ' con la normal a AC.

Como se conoce W en magnitud y dirección, y E y F en dirección, se puede hallar su valor mediante la construcción de un polígono de fuerzas.

El método de Coulomb consiste en tantear diversos planos AC y hallar los empujes correspondientes. El máximo empuje hallado de este modo es el empuje activo de Coulomb.

La inclinación real de F será menor o igual que φ', luego el empuje real será igual o superior que el hallado en la figura. Esto será cierto para cualquier posición de AC, por lo que el método de Coulomb obtiene un empuje menor al real, siempre que el valor de φ' empleado corresponda a la envolvente de Mohr en deformación plana.

Método de Culmann.

La construcción de polígono de fuerzas queda simplificada mediante el artificio de girar todas las fuerzas un ángulo en sentido horario.

Con esta rotación los pesos quedan situados sobre la línea de talud natural o sea, formando un ángulo φ' con la horizontal. Las reacciones, F, quedan situadas sobre los planos de rotura escogidos. Los empujes, por último, quedan paralelos a una recta que forma el ángulo (φ' + δ) con el trasdós, y definen una curva cuyo máximo es el empuje activo de Coulomb.

Empuje activo de Coulomb en el caso de trasdós plano y superficie libre plana exenta de sobrecarga.

En tal caso el máximo se puede hallar matemáticamente y viene dado, por unidad de longitud de muro, por la expresión:

En la que el empuje activo vale:

Cuando α = 0 y δ = β el empuje de Coulomb coincide exactamente con el de Rankine.

Descomponiendo el empuje en sus componentes horizontal y vertical se tiene que:

Siendo:

Kah = Ka · cos (α + δ) Ka = Kah · tg (α + δ)

Algunos valores del coeficiente Kah figuran en la tabla 10.3.

Distribución del empuje.

Para hallar la distribución se supone que la teoría de Coulomb es aplicable a la obtención del empuje sobre cualquier trozo de muro correspondiente a la profundidad z. De esta manera se puede hallar Ea en función de z.

La es el empuje unitario por unidad de longitud medida según la vertical. La aplicación de este método al caso anterior dará:

El empuje unitario será:

ea = Ka · γ · z

Esta expresión indica que los empujes aumentan linealmente con la profundidad.

Un método aproximado para hallar la posición de la resultante del empuje en un caso general es el siguiente:

• Hallar el centro de gravedad de las masas situadas dentro de la cuña que da el máximo empuje.

• Trazar una paralela al plano de deslizamiento hasta cortar al trasdós. El punto correspondiente será el de aplicación de la resultante.

Trasdós quebrado.

En este caso se comienza por calcular el empuje activo de Coulomb, Ea1, sobre AB.

A continuación se componen Ea1 y el peso, W, que gravita sobre la cuña ABCD. Como se conoce la dirección de las dos fuerzas que restan, reacción sobre CD y empuje sobre BD, se puede calcular este último, E2. El máximo de E2 para diversas posiciones de CD dará el empuje activo sobre BC.

Sobrecargas.

El método de Coulomb tiene en cuenta la existencia de sobrecargas siempre que éstas sean indefinidas en el sentido longitudinal del muro.

Si se trata de una sobrecarga uniforme, q, el peso que gravita sobre la cuña ABC será:

Si ahora se supone un relleno de peso específico ficticio, γ2, sin sobrecarga, el peso de la cuña correspondiente será:

Si W1 = W2 se tiene:

En tal caso, los empujes serán iguales y valdrán:

El empuje por unidad de longitud medida según la vertical será:

Así pues, una sobre carga uniforme da lugar a un empuje constante sin que se altere la posición de deslizamiento.

En el caso de β = 0, se tiene:

Ejemplo

Calcular las leyes de presiones y empujes.

Lo primero es calcular el valor de Ka correspondiente a cada capa:

Conocidos los valores de Ka se pueden hallar las leyes de presiones y empujes:

PRESIONES 1 → σ1 = 1 T/m2 2 → σ2 = σ1 + γ1 · z = 1 + 2 · 1 = 3 T/m2 3 → σ3 = σ2 + γ2 · z = 3 + 2 · 9 = 21 T/m2

EMPUJES 1 → E1 = σ1 · Ka1 = 1 · 0.417 = 0.417 T/m2 2 → E2 = σ2 · Ka1 = 3 · 0.417 = 1.251 T/m2 2 → E2 = σ2 · Ka2 = 3 · 0.300 = 0.900 T/m2 3 → E3 = σ3 · Ka2 = 21 · 0.300 = 6.300 T/m2

Las correspondientes leyes serán:

Descomponiendo la ley de empujes en figuras simples se pueden obtener los empujes actuantes y su punto de aplicación en función de los centros de gravedad:

E1 = 0.417 · 1 = 0.417 T/m

E2 = 0.5 · (1.251 - 0.900) · 1 = 0.1755 T/m

E3 = 0.900 · 9 = 8.1 T/m

E4 = 0.5 · (6.300 - 0.900) · 9 = 24.3 T/m

Los puntos de aplicación serían:

Z1 = 9.500 m

Z2 = 9.333 m

Z3 = 4.500 m

Z4 = 3.000 m

En el caso de considerar un nivel freático a una profundidad de - 1 m, habría que considerar el empuje correspondiente al agua, así como la variación de las presiones verticales:

PRESIONES 1 → σ1 = 1 T/m2 2 → σ2 = σ1 + γ1 · z = 1 + 2 · 1 = 3 T/m2 3 → σ3 = σ2 + γsat2 · z = 3 + 2 · 9 = 21 T/m2 3 → σ'3 = σ3 - 9 = 12 T/m2

EMPUJES 1 → E1 = σ1 · Ka1 = 1 · 0.417 = 0.417 T/m2 2 → E2 = σ2 · Ka1 = 3 · 0.417 = 1.251 T/m2 2 → E2 = σ2 · Ka2 = 3 · 0.300 = 0.900 T/m2 3 → E3 = σ3 · Ka2 = 21 · 0.300 = 6.300 T/m2

E1 = 0.417 · 1 = 0.417 T/m

E2 = 0.5 · (1.251 - 0.900) · 1 = 0.1755 T/m

E'3 = 0.900 · 9 = 8.1 T/m

E'4 = 0.5 · (6.300 - 0.900) · 9 = 24.3 T/m

Los puntos de aplicación serían:

Z1 = 9.500 m

Z2 = 9.333 m

Z3 = 4.500 m

Z4 = 3.000 m

Zw = 3.000 m

Empujes sobre muros en L.

Los muros aligerados en L soportan el empuje del terreno gracias al peso del terreno situado sobre el talón del muro, a diferencia de los muros por gravedad que soportan el empuje gracias a su propio peso.

En este tipo de muros es posible establecer que el terreno situado en la cuña BCD es un terreno rígidamente unido al muro, mientras que el situado en la cuña ABC es un terreno plastificado.

Una solución estáticamente admisible es suponer que dentro de la cuña BCD se ha formado un estado activo de Rankine. En tal caso, el empuje sobre AF estará situado a un tercio de la altura, inclinado un ángulo β respecto a la horizontal, y de valor:

Siendo Kar el coeficiente de empuje activo de Rankine, de valor:

En el caso de que β = 0:

Teorema de los estados correspondientes de Caquot.

Se elimina la cohesión del suelo.

Se aumentan las tensiones normales en c ·ctg φ'.

Se observa que el círculo correspondiente al suelo sin cohesión es tangente a la línea de resistencia del suelo sin cohesión.

Teoría de Rankine en suelos con cohesión.

La teoría de Rankine establece que:

σh = Kar · σv

Por tanto:

Teniendo en cuenta que σv = q + γ · z, se tiene que:

En el caso de que Kar sea negativo aparecerán tracciones que causarán una grieta que anule el empuje superior. Por ello, es importante determinar la profundidad de dicha grieta. Como la profundidad (z0) de dicha grieta se corresponde con los puntos de tensión nula, se tiene que:

De esta forma:

En el caso de una arcilla a corto plazo se cumple que φu = 0, por tanto:

En las arcillas se puede dar una situación intermedia, entre el corto y el largo plazo, como consecuencia de la aparición de filtraciones por encima de la cota de tensiones nulas, de tal manera que el empuje del agua por encima de z0 es mayor que el empuje del terreno, aunque a cotas mayores no. En tal caso se tiene que:

• z0 ≤ zw → Como a corto plazo.

Siendo:

En el caso de que se trate de un caso a largo plazo se ha de determinar la profundidad de la grieta de tracción en cada caso. Así:

MÉTODO SEMIEMPÍRICO DE TERZAGHI Y PECK.

Las teorías de empuje de tierras de Rankine y Coulomb capacitan para calcular muros con exactitud muy razonable, pero exigen un conocimiento bastante perfecto de las características resistentes del terreno, lo cual precisa, a su vez, la ejecución de ensayos, en general en el laboratorio, y en algunos casos “in situ”.

Sin embargo, las condiciones de un terreno pueden variar a lo largo de las diferentes épocas del año, por lo que el muestreo para muros gran importancia es considerable y está justificado. Pero, en muros de poca importancia sería un trabajo excesivo y poco práctico, por lo que se suele recurrir a algún sistema de cálculo aproximado.

Terzaghi y Peck formularon un sistema de cálculo para pequeños muros que llamaron semiempírico. Se basa en la clasificación de los terrenos en cinco tipos, fácilmente identificables por simple inspección. Para cada una de ellas dan un ábaco basado en las teorías del empuje de tierras y en las características medias de los terrenos que cada clase abarca, pero introduciendo correcciones para tener en cuenta los efectos de las variaciones de cohesión, etc.

Campo de aplicación.

El método es aplicable sólo en muros de menos de 6 m de altura y únicamente a muros cuyo trasdós sostenga un relleno. No es aplicable a muros adosados a taludes que inicialmente se sostienen por sí mismos.

Clasificación de los terrenos.

Los terrenos se clasifican en los cinco grupos siguientes:

Suelos de grano grueso sin mezcla de finos, muy permeables (arena limpia o grava).

Suelos de grano grueso, pero de pequeña permeabilidad, debido a la presencia de una cantidad apreciable de finos limosos.

Suelos residuales compuestos de arena fina limosa, con materiales de grano grueso, incluso bolos, y bastante arcilla.

Arcilla blanda o muy blanda, fangos orgánicos, o arcillas limosas.

Arcilla media firme, depositada en terrones y protegida de tal forma del agua, durante las lluvias, aun cuando sean abundantes, o durante las inundaciones, no pueda penetrar detrás del muro más que en cantidades insignificantes. Si esta condición no puede cumplirse, no se puede emplear arcilla de estas características para el relleno del trasdós del muro. El peligro crece rápidamente al ser la arcilla más firme o dura.

Empleo de los ábacos.

Los casos prácticos más frecuentes en lo que se refiere a la disposición del terraplén y su sobrecarga pueden clasificarse en cuatro tipos:

Terraplén con superficie plana, horizontal o inclinada, sin sobrecarga.

Terraplén con superficie plana inclinada, elevándose desde la coronación del muro hasta una cierta altura, a partir de la cual, es horizontal, sin sobrecarga.

Terraplén con sobrecarga uniforme.

Terraplén con carga lineal uniforme, paralela a la coronación del muro.

Las figuras 10.46 y 10.47 corresponden respectivamente a los casos a) y b). De acuerdo con la nota de la figura, cuando se utiliza el terraplén del tipo 5 hay que disminuir H en 1.20 m, por lo que el punto de aplicación del empuje se sitúa a una altura de 1/3 (H-1.2) m sobre el plano de la base.

En los casos c) y d), la componente horizontal del empuje se incrementa en el valor correspondiente a la fuerza horizontal producida por la sobrecarga, cuyo cálculo se indica en las figuras 10.48 y 10.49. Cuando el punto D' queda por debajo del plano de base del muro, la influencia de la sobrecarga es nula. Para la aplicación de las figuras es indiferente que el punto C esté situado a un lado u otro de A. Los valores del coeficiente C, en función del tipo de terraplén son los siguientes:

Tipo de terraplén	1	2	3	4	5
C	0.27	0.30	0.39	1.00	1.00

Las sobrecargas producen también una presión vertical, cuya magnitud se calcula según se indican en las figuras; de esta presión sólo ha de tenerse en cuenta la parte que actúa sobre el talón del cimiento del muro, señaladas en las figuras por un rayado vertical.

El procedimiento descrito se aplica a muros cimentados sobre terreno bastante firme, en cuyo caso, el rozamiento y adherencia entre muro y terraplén tienden a reducir el empuje. Por el contrario, si el terreno de cimentación es compresible y cede, cambia el sentido de aquellas fuerzas y aumenta considerablemente el empuje. En este caso, los valores del empuje calculado para terraplenes del tipo 1, 2, 3 y 5 deben aumentarse en un 50%.

Tema 15: EMPUJE DE TIERRAS

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MECÁNICA DEL SUELO