Tarea 4:

Mecánica cuantica

1.- Naturaleza dual del electrón (Louis De Broglie)

En su tesis doctoral Louis de Broglie (1892-1987) razonó de la siguiente manera:

Si una onda luminosa puede comportarse como una corriente de partículas, una partícula pequeña, como el electrón, podría comportarse en determinadas circunstancias como si fuera una onda.

Una partícula de masa m y velocidad v tendría una longitud de onda asociada y De Broglie sugirió que esta longitud de onda era directamente proporcional a la masa de la partícula e inversamente proporcional a su velocidad:

Dónde h es la constante de Planck. El producto mv es el momento de la partícula.

2 y 3.- Densidad electrónica y Forma de los orbítales s, p, y d

En Mecánica cuántica las partículas no pueden ser consideradas puntuales, sino que se encuentran deslocalizadas espacialmente. La densidad (también llamada densidad de probabilidad) es una función que determina la distribución espacial de una o más partículas idénticas.

En el sentido matemático, la función densidad
o
de un sistema determina la probabilidad encontrar un electrón en la posición
en un tiempo t. Como tal es una función positiva y real.

La integral de la densidad sobre todo el espacio es el número total de partículas del sistema:

En mecánica cuántica, la densidad puede ser obtenida a partir de una función de onda de N partículas (N) como

En el caso que la función de onda (N) es un determinante de Slater compuesto de N orbítales
, la densidad es:

Este es el caso de las formulaciones de la teoría del funcional de la densidad y de Hartree-Fock.

Orbital s

El orbital s tiene simetría esférica alrededor del núcleo atómico. En la figura siguiente se muestran dos formas alternativas de representar la nube electrónica de un orbital s: en la primera, la probabilidad de encontrar al electrón (representada por la densidad de puntos) disminuye a medida que nos alejamos del centro; en la segunda, se representa el volumen esférico en el que el electrón pasa la mayor parte del tiempo. Principalmente por la simplicidad de la representación es ésta segunda forma la que usualmente se emplea. Para valores del número cuántico principal mayores que uno, la función densidad electrónica presenta n-1 nodos en los que la probabilidad tiende a cero, en estos casos, la probabilidad de encontrar al electrón se concentra a cierta distancia del núcleo.

Orbital p

La forma geométrica de los orbítales p es la de dos esferas achatadas hacia el punto de contacto (el núcleo atómico) y orientadas según los ejes de coordenadas. En función de los valores que puede tomar el tercer número cuántico ml (-1, 0 y 1) se obtienen los tres orbítales p simétricos respecto a los ejes x, z e y. Análogamente al caso anterior, los orbítales p presentan n-2 nodos radiales en la densidad electrónica, de modo que al incrementarse el valor del número cuántico principal la probabilidad de encontrar el electrón se aleja del núcleo atómico. El orbital "p" representa también la energía que posee un electrón y se incrementa a medida que se aleja entre la distancia del nucleo y el orbital.

Orbital d

Los orbítales d tienen una forma más diversa: cuatro de ellos tienen forma de 4 lóbulos de signos alternados (dos planos nodales, en diferentes orientaciones del espacio), y el último es un doble lóbulo rodeado por un anillo (un doble cono nodal). Siguiendo la misma tendencia, presentan n-3 nodos radiales.

Orbital f

Los orbitales f tienen formas aún más exóticas, que se pueden derivar de añadir un plano nodal a las formas de los orbitales d. Presentan n-4 nodos radiales.

4.- Principio de exclusión de Pauli

El principio de exclusión de Pauli sólo se aplica a fermiones, esto es, partículas que forman estados cuánticos antisimétricos y que tienen espín semientero. Son fermiones, por ejemplo, los protones, los neutrones, y los electrones, los tres tipos de partículas subatómicas que constituyen la materia ordinaria. El principio de exclusión de Pauli rige, así pues, muchas de las características distintivas de la materia. En cambio, partículas como el fotón y el (hipotético) gravitón no obedecen a este principio, ya que son bosones, esto es, forman estados cuánticos simétricos y tienen espín entero. Como consecuencia, una multitud de fotones puede estar en un mismo estado cuántico de partícula, como en los láseres.

"Un átomo no existe con los mismos números cuánticos".

Es sencillo derivar el principio de Pauli, basándonos en el artículo de partículas idénticas. Los fermiones de la misma especie forman estados totalmente antisimétricas, lo que para el caso de dos partículas significa que:

(La permutación de una partícula por otra invierte el signo de la función que describe al sistema). Si las dos partículas ocupan el mismo estado cuántico |>, el estado del sistema completo es |>. Entonces,

así que el estado no puede darse. Esto se puede generalizar al caso de más de dos partículas.

5.- Regla de Hund

Al llenar orbítales de igual energía (los tres orbítales p, los cinco d, o los siete f) los electrones se distribuyen, siempre que sea posible, con sus spines paralelos, es decir, separados. El átomo es más estable (tiene menos energía) cuando tiene electrones desapareados (spines paralelos) que cuando esos electrones están apareados (spines opuestos o antiparalelos).

Cuando varios electrones están descritos por orbítales degenerados, la mayor estabilidad energética es aquella en donde los espines electrónicos están desapareados (correlación de espines).

Para entender la regla de Hund, hay que saber que todos los orbítales en una subcapa deben estar ocupados por lo menos por un electrón antes de que se le asigne un segundo. Es decir, todos los orbítales deben estar llenos y todos los electrones en paralelo antes de que un orbital gane un segundo electrón. Y cuando un orbital gana un segundo electrón, éste deberá estar desapareado del primero (espines opuestos o antiparalelos). Por ejemplo:

3 electrones en el orbital 2p; px1 py1 pz1 (vs) px2 py1 pz0

(px2 py1 pz0 = px0 py1 pz2 = px1 py0 pz2= px2 py0 pz1=....)

Así, los electrones en un átomo son asignados progresivamente, usando una configuración ordenada con el fin de asumir las condiciones energéticas más estables. El principio de Aufbau explica las reglas para llenar orbítales de manera de no violar la Regla de Hund.