Treball de Recerca Màxims i Mínims de cada dia. (o gairebé de cada dia) Guillem Picart Solà 2n Batxillerat A

ÍNDEX

0. Introducció 2

1. Part teòrica:

1.1 Derivades 4

1.2 Com trobar màxims i/o mínims 8

2. Part pràctica:

2.1 Aplicacions en el camp de les matemàtiques 15

2.2 Aplicacions en el camp de la física 30

2.3 Aplicacions en el camp de la química 42

2.4 Aplicacions en el camp de l'esport 44

2.5 Aplicacions en el camp de l'economia 46

2.6 Aplicacions més quotidianes 50

3. Conclusions 61

4. Bibliografia 62

5. Agraïments 63

6. Annex 64

INTRODUCCIÓ:

Al principi Màxims i mínims de cada dia estava focalitzat a estudiar dos objectius principals:

• Fer veure fins a quin punt els màxims i mínims poden ser utilitzats en molts àmbits diferents, tant purament científics com ara la física, fins a aplicacions més pràctiques com pot ser l'esport.

• Estudiar la història d'aquest apartat de l'anàlisi matemàtic, principalment de les derivades.

La idea va venir després de resoldre uns quants exercicis de selectivitats anteriors i veure que a part d'entretinguts, eren ben curiosos i a partir de les posteriors orientacions i recomanacions de la tutora.

Al principi em va ser molt fàcil trobar exercicis, exemples, demostracions de diferents ciències a partir de l'estudi de màxims i mínims... Però en la majoria de casos els problemes ja estaven del tot resolts, i la dificultat va raure en trobar-ne que no ho estiguessin, o com a molt que només et donessin el resultat. Val a dir que fins que no vaig trobar el llibre CàlculI-II, em pensava que no en trobaria cap. Va ser després quan se'm va encendre la llumeta i vaig pensar que estaria bé fer una mena de “manual” de màxims i mínims a nivell d'usuari bàsic, ja que no en vaig saber trobar cap.

En començar a treballar en el tema em vaig adonar que una eina que em seria molt útil seria un generador de gràfics, ja que una il·lustració en un exercici ajuda molt. Tot i que és un programa bo, costa molt i a vegades és impossible fer lligar el màxim o el mínim del gràfic amb les línies que dibuixes amb el Word, i per tant, en algun cas, les rectes que intenten ressaltar el màxim o mínim estan una mica desplaçades cap a algun cantó. El programa en qüestió és el GraphSight Junior v 1.0.

Amb les matemàtiques em vaig trobar amb un problema, i és que en intentar resoldre el problema del punt d'una funció més pròxim a un altre punt em va ser molt difícil resoldre-ho amb paràmetres, i vaig acabar veient que era molt més fàcil a cada exercici resoldre'l des de zero, que no pas començar a treball amb 7 o 9 paràmetres diferents que haurien fet la resolució molt complicada i llarga.

En la geometria vaig creure que seria més útil i clarificador si començava trobant el resultat per un plantejament amb paràmetres, catets a i b, angles i , ... i després fer servir el resultat amb aquests paràmetres, per aplicar-lo a algun exercici que pogués ser representatiu de la aplicació.

Pel que fa la física em vaig afanyar a preguntar a en Joan Mata com podria utilitzar els màxims i els mínims. Em va proposar 3 exemples, el del cometa, el d'aprofitament màxim de la tensió d'una corda en un pla i el del tir parabòlic. Que un tir d'aquestes característiques té abast màxim per un angle de 45º sol ser comentat en alguna ocasió pels professors de física, però el fet d'haver-ho demostrat pot treure de dubtes als més contraris a creure coses sense que els ho hagin provat empíricament.

Algú es podria preguntar com és que en el treball s'introdueixen definicions de termes econòmics i no físics per exemple. Això és degut al fet que algú que s'interessés en les aplicacions dels màxims i els mínims segurament seria una persona més de la branca cientifico-tècnica, i per tant amb uns coneixements de física suficients. En canvi aquest estudiant pot ser que d'economia no en tingui ni idea, per tant he trobat que seria bo posar-hi aquests definicions.

Pel que fa a l'estudi històric el vaig haver de deixar de banda, ja que hom es pot trobar moltes “històries de les matemàtiques” on hi ha informació d'aquest tipus, però mentre que una et parlarà molt del francès Agustín-Luis Cauchy, altres ni te l'esmentaran. Alguns expliquen moltes coses de les disputes entre en Newton i en Leibniz. Però no vaig trobar cap referència que fos lo bastant fiable com per posar-la.en el treball. La questió històrica està juntament amb la teòrica en la primera part.

1. PART TEÒRICA

En aquest primer apartat intentarem introduir els dos conceptes que utilitzarem més en aquest treball:

• Les derivades: una mica d'història i què són.

• Els màxims i mínims: com buscar-los.

1 Derivades

Les derivades aparegueren durant el segle XVII i tenien com a funció principal intentar resoldre dos problemes que ja portava temps que tenien ocupats els matemàtics:

Determinar quina era la tangent a una funció en forma de corba. Hi ha llibres que diuen que també va aparèixer per buscar els màxims i els mínims, però aquests no deixen de ser el punt on la recta tangent no té inclinació.

Saber quina era la velocitat en un instant concret, la velocitat instantània.

Al primer apartat si dedicaran grans matemàtics, com ara Fermat o Descartés. I el segon cas va ser un problema que va treure el son durant moltes nits al mateix Galileo Galilei.

Un dels problemes principals pels quals costava de resoldre aquest problema era que s'havien de fer servir quantitats infinitesimals, que en aquella època eren bastant desconegudes, i per tant creaven una mena de contrarietat en usar mètodes que es basessin en aquest tipus de quantitats; això es pot fer patent en que Newton, en presentar el seu mètode de fluxions, els va intentar evitar tant com va poder, no perquè ell no els sabés usar, sinó perquè ningú el pogués acusar d'usar un recurs matemàtic tant poc estudiat.

El problema dels valors infinitesimals el va resoldre Cauchy introduint el concepte de límit i els primers fonaments per tal d'usar-los correctament. Posteriorment els seus mètodes van ser millorats.

Però tornem al segle XVII. En aquella època va saltar una d'escàndol ja que Newton i Leibniz van resoldre el problema de la derivació i l'integració de forma independent. Però la disputa va anar més enllà i va arribar a tal punt que es podria dir que la Gran Bretanya recolzava plenament el mètode de l'anglès i per tant considerava Leibniz com un lladre d'idees. Mentrestant, al continent estaven d'acord amb l'alemany i consideraven que era Newton qui havia fet les trampes. Els defensors de Leibniz es basaven bàsicament en el fet que l'anglès va publicar el seu mètode dos anys després de Leibinz. Investigacions recents diuen que tant un com l'altre van descobrir-ho de forma independent i que fins i tot Newton ja ho havia descobert feia temps però que no ho havia publicat. Que el senyor Newton no li agradava publicar els seus descobriments no és cap secret.

El sistema newtonià de fluxions, al igual que va passar amb el seu mètode integral es va deixar d'usar per ser massa complicat i es van adoptar els de Leibniz.

Però per entendre què és una derivada ens serà més fàcil si ho entenem com ho feia el primer. Newton creia que les fluxions, que estaven en funció de la seva primitiva, variaven al llarg d'aquesta última impulsat per un fluid. Per descomptat que ell no creia això, però si que ho explicava d'aquesta manera. Per fer-nos una idea del que volia dir ens podem imaginar una recta tangent que es va desplaçant a través d'una funció: està canviant a “cada moment”.

Fins aquí, el que es refereix a la història, ara intentarem explicar de la manera més planera possible què són les derivades:

Imaginem que tenim una funció corba, i que tenim dos punts (a,f(a)) i (a+g,f(a+g). Amb aquests dos punts podem dibuixar un triangle rectangle tal i com es veu en el següent dibuix:

Tenim que la base del triangle és igual a g, que l'altura d'aquest és f(a+g)-f(a) i que l'hipotenusa és la distància entre els dos punts.

Si ara tenim el mateix punt (a,f(a)), i un de més proper que en el cas anterior, per exemple, (a+d,f(a+d)), al fer el triangle obtindríem el següent dibuix:

Com podem veure al dibuix ara la distància entre els dos punts està molt més a sobre de la funció, es podria dir que és una recta “bastant tangent” als dos punts, però encara no és el que busquem.

Si apropéssim encara els dos punts en trobaríem dos que pràcticament serien el mateix.

D'aquí podem deduir la següent fórmula, tenint en compte que la recta tangent, o derivada, seria igual a la tangent formada per l'angle entre els dos punts i l'horitzontal.

f'(d) és el mateix que derivada en funció de d. Amb aquesta definició potser s'entendrà el que deia Newton, el “fluid” que feia canviar el valor de la fluxió, és el canvi del valor de d.

Ara que ja hem explicat què són les derivades, només ens faltaria parlar de la regla de L'Hôpial. Aquesta regla ens serà de gran utilitat a l'hora de calcular els límits de la forma:

(on b, generalment és)

Aquesta regla diu que

Això ens permetrà anar baixant el grau d'f(x) i g(x), fins que un dels dos, o tots dos, tinguin grau zero i per tant siguem capaços de calcular el límit.

1. 2 Com trobar màxims i/o mínims

Per tal de que quedi més clar el procediment, anirem resolent per parts el següent exercici que ha sigut extret de la selectivitat de matemàtiques del setembre del 2000 de Catalunya.

La riba d'un tram de riu descriu la corba per a x entre -5 i 5, i en el punt A=(0,4) hi ha un poble, tal com es pot veure en l'esquema següent:

a) Expresseu la distància des d'un punt qualsevol d'aquesta vora del riu fins al poble, en funció de l'abscissa x.

b) Quin és el punt de la vora d'aquest tram de riu que és més lluny del poble?

c) Hi ha algun punt de la vora del riu a una distància del poble inferior a 2?

En la majoria dels exercicis ens trobarem que pel problema que estem treballant, tenim assignats uns valors màxims i mínims de la variable independent, anomenats extrems. L'interval comprès entre aquests dos valors és l'anomenat domini.

Aquest domini pot ser obert o tancat. Serà obert si la variable no pot arribar exactament al valor, i tancat si és que hi pot arribar. En cas que un dels extrems sigui l'infinit, sempre serà obert. Si és obert s'indica amb parèntesi, i si és tancat amb claudàtors.

• En l'exercici el domini és:

Després d'haver trobat el domini, s'ha d'aconseguir extreure de l'enunciat del problema una funció d'una sola variable. En més d'una ocasió ens trobarem amb diverses lletres, però aquestes seran constants i no pas incògnites. I per tant, s'hauran de tractar com a tals.

• En l'exercici tenim dos variables: x i y, i com que tenim la y en funció de x, ja tenim la fórmula de la distància en funció exclusivament d'x.

Quan tenim la funció caldrà buscar-ne els punts singulars. Després d'haver-los trobat, haurem de comparar la seva imatge amb la dels extrems, i obtindrem quin d'ells serà el punt que busquem.

NOTA: L'enunciat original determinava un domini de [-3,3], però al aplicar-lo ens trobem que els màxims locals que trobàvem, també eren els màxims absoluts del domini, i al canviar aquest domini, veiem que no sempre els punts singulars són els punts que busquem.

Si l'extrem és tancat s'ha de buscar la seva imatge, en canvi, si és obert, s'haurà de calcular el límit de la funció quan tendeix a aquest extrem

Aquí hem trobat els 3 punts singulars que té aquest funció. Ara mirarem la imatge de cada un d'ells. Com que la funció és simètrica, tant 5 com -5 i tant
com -
, tindran la mateixa imatge.

Les línies indiquen els extrems del domini.

• Tal com hem demostrat i com es pot veure a la gràfica, la distància entre el poble i la riba del riu serà màxima en els punts i .

El tipus de resolució anterior és el més fàcil i alhora freqüent. Però també ens podem trobar que a l'hora de buscar el valor de la variable que anul·la la derivada no ho puguem fer mitjançant una equació, sinó que ho haurem de fer per tempteig: és el mètode Bolzano-Rolle.

En aquest cas també utilitzarem un exemple:

L'altura sobre la base d'un triangle equilàter és de 3 cm, i parteix la base en dos parts de 4 i 5 cm. Busqueu el punt sobre la altura tal que la suma de la seva distància als tres vèrtexs sigui mínima.

Les dues línies discontinues són els extrems del domini.

No sabem cap mètode per resoldre aquesta equació directament per tant, haurem de buscar diferents valors de g per trobar, de forma aproximada, el punt on s'anul·la la derivada.

Entre el 2 i el 3 hi ha un mínim ja que passa de ser decreixent a creixent.

Agafarem el valor d'x=2'6 com el que anul·la la derivada. Ara farem com en el cas anterior: trobar les imatges del punt singular i dels dos extrems.

• La distància serà mínima quan el punt estigui a 2'6 cm per sobre de la base.

Aquest tipus de resolució no és molt efectiu, ja que té dos inconvenients:

1r: que no deixa de ser una optimització aproximada.

2n: que a no ser que apliquem Rolle, potser que ens descuidem un punt singular i per tant que el que trobem sigui un màxim o mínim local.

Per sort, la majoria d'exercicis relacionats amb els màxims i mínims que s'han de buscar per Bolzano, solen tenir només una solució, per tant podem conciderar el mètode de tempteig coma vàlid.

2. PART PRÀCTICA

2. 1 Aplicacions en el camp de les Matemàtiques.

En buscar exercicis de màxims i mínims aplicats a les matemàtiques, se'n poden trobar principalment de tres tipus :

Trobar els màxims i mínims d'una funció donada del tipus que tenen poca aplicabilitat en la vida quotidiana, per no dir que no en tenen cap, quan diem que no en tenen cap ens referim que mai trobarem una funció pel carrer que ens demani que li calculem els màxims i mínims.

Els exercicis d'aquest segon tipus també estan relacionats amb les funcions, però ja tenen una mica més de dificultat, ja que et demanen quin són els punts d'una funció que estan més a prop d'un punt en concret. Aquest tipus d'exercici també té aplicacions a la física.

Aplicacions geomètriques.

TIPUS 1

La resolució d'aquest tipus d'exercicis és relativament simple. L'únic que cal fer és derivar la funció i trobar el punts ens els quals s'anul·la, mirar si es tracten de màxims o mínims locals, i després, al comparar-los amb els extrems del domini, mirar quins punts són els absoluts i quins els locals.

Exemple:

• Calcula els intervals de creixement i decreixement, els màxims i els mínims de la funció següent: . Després fes un esquema senzill de la gràfica.

De tot això deduïm que:

Tenim el màxim absolut que es correspon quan x tendeix a infinit, ja que y també hi tendirà, i el punt que és un màxim local.

Tenim dos mínims absoluts: quan x = 0, i quan x tendeix a menys infinit, que tots dos tenen 0 com a valor vertical.

La funció serà creixent ens els intervals i

TIPUS 2

Tal com hem dit és una mica més complicat que el tipus anterior, i ja té unes aplicacions més clares, tant en física com en altres àmbits, els quals ja especificarem després.

Exemple:

• Trobeu el punt de la corba més pròxim al punt .

Solució:

• El punt de la recta que està més a la vora de
  , és el

TIPUS 3

D'aquest tipus se'n poden trobar molts a Internet, llibres, exàmens de selectivitat, ... Solen ser exercicis molt més reals, ja que tracten de trobar relacions entre una figura geomètrica per tal que la seva àrea sigui màxima o mínima i lligams similars.

Són uns exercicis ben curiosos, i ja tenen certa dificultat ja que, a part de trobar la fórmula de l'àrea o volum, o el que sigui, has de trobar relacions entre diferents costats, i quan arribes al resultat o ho apliques a un exercici, veus que realment pot ser útil.

Exemple 1

El següent exercici ha estat inclòs, tot i la seva poca dificultat, pel fet de que sovint es demana trobar les longituds d'un rectangle inscrit dins un altre polígon per tal que l'àrea sigui màxima. Per tant, si a l'hora de fer els càlculs ja sabem, tal com es demostrarà, que el rectangle serà un quadrat, la resolució ens serà molt més fàcil i ràpida, ja que tindrem menys incògnites amb les quals haurem de treballar.

Demostració amb paràmetres:

• Provar que de tots els rectangles de perímetre P, el que té àrea màxima és el quadrat.