1 Dadas las matrices , calcula X para que se verifique:

A + X - B = I.

Solución:

X = I + B - A =

2 Dadas las matrices , determina la dimensión de las siguientes matrices producto:

Solución:

3 Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1,5, 2 y 2,5 centímetros con los precios respectivos siguientes:

Clavos A 0,02 0,03 0,04 0,05 €

Clavos B 0,03 0,04 0,06 0,07 €

Clavos C 0,04 0,06 0,08 0,10 €

Sabiendo que en un minuto se producen:

De 1 cm de longitud 100A 50Q 700H

De 1,5 cm de longitud 200A 20Q 600H

De 2 cm de longitud 500A 30Q 400H

De 2,5 cm de longitud 300A 10Q 800H

Se pide:

Solución:

a)

b) M · N es una matriz de 3 x 3.

Su elemento a11 = 100 · 0,02 + 200 · 0,03 + 500 · 0,04 + 300 · 0,05 = 43 €, representa que se producen 43 € de clavos de aluminio por minuto.

Su elemento a22 = 50 · 0,03 + 20 · 0,04 + 30 · 0,06 + 10 · 0,07 = 4,8 €, representa que se producen 4,8 € de clavos de cobre por minuto.

Su elemento a33 = 700 · 0,04 + 600 · 0,06 + 400 · 0,08 + 800 · 0,10 = 17,60 €, representa que se producen 17,60 € de clavos de acero por minuto.

c) N · M es una matriz de 4 x 4

Su elemento a11 = 0,02 · 100 + 0,03 · 200 + 0,04 · 700 = 31,5 €, representa que se producen 31,5 € de clavos de 1 cm por minuto.

Su elemento a22 = 0,03 · 200 + 0,04 · 20 + 0,06 · 600 = 42,8 €, representa que se producen 42.8 € de clavos de 1,5 cm por minuto.

Su elemento a33 = 0,04 · 500 + 0,06 · 30 + 0,08 · 400 = 53,8 €, representa que se producen 53,8 € de clavos de 2 cm por minuto.

Su elemento a44 = 0,05 · 300 + 0,07 · 10 + 0,10 · 800 = 95,7 €, representa que se producen 95,7 € de clavos de 2,5 cm por minuto.

4 Dada la matriz , se pide:

Solución:

a)

(A - I)2 · (A - 5I) =

b) At = luego la matriz A tiene inversa

5 Calcular una matriz X que verifique la igualdad:

A · X = B, siendo A

¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A = B?

Solución:

A-1 =

El producto de matrices no es, en general conmutativo, i por tanto A · X ≠ X · A:

6 Dada la matriz A = comprobar que A2 = 2A - I. Siendo I la matriz identidad. Utilizando la fórmula anterior calcular A4.

Solución:

A2 =

2A - I =

Luego son iguales.

A4 = A2 · A2 =

7 Obtener los valores de x, y y z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial.

Solución:

Operando se obtiene:

8 Sean las matrices A =

Solución:

Planteando un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

b) se comprueba M2 = M · M = , por tanto

9 Se considera la matriz , donde a y b son números reales.

a) Calcular el valor de a y b para que A2 =

b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, calcular A3 y A4.

c) Sea n un número natural cualquiera. Dar la expresión de An en función de n.

Solución:

a) A2 = A · A =

De (a + b)2 = 1, (a - b)2 = 1 y 2a = 2, se obtiene a = 1 y b = 0.

b) La matriz obtenida en el apartado anterior es A =

A3 = A · A2 =

A4 = A · A3 =

c) Observando los resultados obtenidos se puede afirmar que An =

10 Dadas las matrices

a) calcular A · B y B · A

b) Comprobar que (A + B)2 = A2 + B2

Solución:

a)

b)(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A2 + B2, dado que AB = - BA

También puede comprobarse efectuando las operaciones matriciales.

11 Se considera la matriz Hallar los valores de p y q que hacen que A2 = A. En este caso razonar, sin calcular, el valor de A10

Solución:

La igualdad se cumple cuando p = 0 y q = 1.

Si la matriz verifica A2 = A, entonces A10 = A.

12 Dadas las matrices siguientes:

y B =

Solución:

a)

A2 + 2 AB + B2 =

b) (A + B)2 =

13 Dadas las matrices determinar si existe una matriz C que cumpla B·C = A.

Solución:

El sistema es incompatible, por tanto no existe la matriz C.

14 Indicar todos los productos de dos matrices diferentes que se pueden hacer con las matrices siguientes:

Solución:

A · C; A · D

B · A; B · C; B · D

C · B

D · E

E · A; E · C; E · D

15 Sean las matrices

a) Calcular la matriz P que verifique B·P - A = Ct.

b) determinar la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C

c) Determinar la dimensión de la matriz N para que Ct · N sea una matriz cuadrada.

Solución:

a) B·P - A = Ct. ⇒ B-1 ·B·P = B-1 ·(Ct + A) ⇒ P = B-1 ·(Ct + A)

b) A es de dimensión 2x3 y C es de dimensión 3x2. Para poder realizar el producto A·M, M de be tener tres filas. Para poder realizar el producto M·C, M debe tener tres columnas. Luego M debe ser de dimensión 3x3.

c) La matriz C tiene dimensión 3 x 2 luego su transpuesta tendrá dimensión 2 x 3, y para que sea posible el producto Ct · N, N debe tener tres filas. Si además queremos que la matriz producto sea cuadrada N ha de tener dos columnas y así la matriz será de dimensión 2x2.

16 a) Determina la matriz X para que tenga solución la ecuación C(A + X)B = I, donde A, B y C son matrices con inversa de orden n e I es la matriz identidad de orden n.

b) Aplica el resultado anterior para

Solución:

17 Sea A =

a) Calcula A2

b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que

Solución:

a)

b)

18 Determinar La matriz X que verifica la ecuación: BX - A = 2X, siendo:

Solución:

BX - 2X = A ⇒ (B - 2I)X = A ⇒ X = (B - 2I)-1­ A

19 Hallar todas las matrices a, b, c ∈ ℜ que satisfacen la ecuación matricial X2 = 2X.

Solución:

Se obtienen los siguientes resultados:

Si a = 0, b ∈ ℜ, c = 2

Si a = 2, b ∈ ℜ, c = 0

20 Sabiendo y que

a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B?

b) Calcular las matrices A y B.

Solución:

21 Dadas las matrices

Calcular la matriz X que verifica: AXB= 2C

Solución:

X =

22 Determinar todas las matrices A tales que .

Solución:

.