Unidad 8. Matrices

Definición: una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichos elementos. Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:

, donde cada elemento : i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa la columna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intérvalos,

Así, cuando una matriz consta de m filas y n columnas se dice que la matriz es de tipo . Por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.

CONSTRUCCIÓN DE UNA MATRIZ:

El concepto de matriz está estrechamente relacionado con los sistemas de ecuaciones; es por esto que enuncio esta unidad justo después de haber estudiado los sistemas de ecuaciones. Para explicar este hecho nos basamos en el siguiente ejemplo, ya que resulta más sencillo un ejemplo que la teoría:

En una papelería, un cliente compra cuatro bolígrafos y tres rotuladores por un total de 293 pesetas. Otro se lleva dos bolígrafos y cinco rotuladores por 339 pesetas. ¿Cuánto vale cada artículo?

Se trata de un problema muy típico, que puede resolverse mediante el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas y dos ecuaciones:

Las incógnitas x e y juegan un papel pasivo, pues las operaciones con ecuaciones consisten en operar con los coeficientes de estas incógnitas y con el término independiente. Así, una forma de esquematizar este “proceso” consiste en escribir entre paréntesis los números que intervienen en las operaciones de la siguiente forma; prescindiendo de incógnitas:

Así se construye una matriz matemática. En este caso, la matriz está compuesta por dos filas horizontales y tres columnas verticales.

Si ahora multiplicamos la segunda ecuación por dos (método de reducción para despeje de incógnita), y las restamos; obtenemos:

Para acabar el problema, volvemos a escribir el sistema y despejamos la incógnita:

Así hemos obtenido que cada bolígrafo cuesta 32 pesetas y cada rotulado, 55.

Es importante destacar que el conjunto de las matrices que son del tipo forman unas estructuras determinadas con las operaciones de la suma y del producto.

Sean dos matrices del tipo A y B:

Por definición, la suma de A y B es la matriz que se obtiene sumando cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así:

El conjunto de las matrices de tipo con la suma tiene estructura de cuerpo conmutativo. Mi apoyo de la afirmación anterior la saco de las propiedades más importantes de la suma de matrices de tipo :

• Propiedad conmutativa: para dos o más matrices cualesquiera A y B, siempre se cumple que A+B=B+A.

• Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C).

• Elemento neutro: existe elemento neutro, una matriz 0 tal que para todas la matriz A se verifica lo siguiente: A+0=0+A=A. La matriz 0 posee todos sus elementos igualados a cero y se denomina matriz nula de tipo .

• Elemento simétrico: existe elemento simétrico para toda la matriz A, que es . Además se cumple que . La matriz -A de A es aquélla que posee los mismos elementos pero cambiados de signo, todos ellos.

Si consideramos r un nº real y A una matriz de tipo , se verifica que el producto de r por A es la matriz de tipo que se obtiene al multiplicar r por cada uno de los elementos de A:

Destaquemos ahora las propiedades más importantes del producto de un número real por una matriz:

• Asociativa: para dos números reales cualesquiera r, s y una matriz A de tipo cualquiera se verifica que

• Doble distributiva: para un número real cualquiera r y dos matrices cualesquiera A, B de tipo se verifica que:

Además, para dos números cualesquiera r, s y cualquier matriz A del tipo se verifica que:

• Elemento unidad: siendo 1 el elemento neutro del producto de números reales, ocurre que para cualquier matriz A de tipo se verifica que:

Habiendo visto, pues, las propiedades de la suma de matrices y la multiplicación de un número real por una matriz, podemos decir que posee una estructura de R espacio vectorial.

Siendo A una matriz de m filas y k columnas, es decir, del tipo y otra matriz B de k filas y n columnas, es decir, del tipo ; por definición el producto de A y B es la matriz del tipo que se obtiene al multiplicar las filas de la matriz A por las columnas de la matriz B. escrito en notación matricial;

Para llevar a cabo un producto de matrices sin cometer errores, es necesario saber que:

• El número de columnas de la primera matriz y el número de columnas de la siguiente matriz ha de coincidir.

• No se cumple la propiedad conmutativa.

La denominación de la matriz va a depender de la relación y valor entre m y n:

• Si , hablamos de una matriz cuadrada de orden n.

• Si , hablamos de que la matriz es un vector fila de n componentes.

• Si , hablamos de una matriz que es un vector columna de m componentes.

Hablemos ahora de aquellas matrices de uso tan común, aquellas que por su frecuente uso reciben nombres propios o “especiales”:

Dos matrices cuadradas del mismo orden siempre se pueden sumar, y cumple todas las propiedades del grupo conmutativo respecto de la suma del conjunto . Siempre se puede efectuar una multiplicación de un nº real por una matriz cuadrada de orden n y también el producto de dos matrices cuadradas de orden n. Veamos las propiedades más importantes:

• Asociativa: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se cumple que

• Distributiva: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se verifica que

• Elemento neutro: existe una matriz cuadrada de orden n y s

• designada normalmente por I tal que para toda la matriz cuadrada de orden n, también, se verifica que . Esta matriz se llama matriz identidad de orden n, que está compuesta por ceros, con unos en su diagonal:

• Por todo esto que hemos visto afirmamos que el conjunto de las matrices cuadradas de orden n tiene estructura de álgebra asociativa con elemento neutro.

Dada una matriz cuadrada de orden n es inversible si hay otra matriz cuadrada del mismo orden que cumpla . No todas las matrices cuadradas son inversibles; aunque se puede demostrar que una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si su determinante es distinto de cero, expresado matemáticamente:

es inversible

Una matriz cuadrada recibe el nombre de matriz diagonal si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos es decir, 0. Esquemáticamente;

No está de más decir que al conjunto de las matrices diagonales de orden n con coeficientes reales, es decir, , se representa por

Ejemplo: tenemos dos matrices diagonales A y B de orden n, halla su suma. ¿Qué conclusión extraes?

y

Conclusión: si A y B son dos matrices diagonales del mismo orden, n, la suma de A y B será también una matriz diagonal del mismo orden:

De manera análoga, si A y B son dos matrices diagonales de orden n, el producto también será una matriz diagonal de orden n:

Hemos demostrado así que, al igual que las matrices cuadradas de orden n, las matrices diagonales de orden n tienen estructura de álgebra asociativa con elemento neutro.

Determinante de una matriz diagonal: si A es una matriz diagonal, el será igual al producto de los elementos de la diagonal:

Dado que si A es inversible , es inversible:

Hay dos tipos, superior e inferior:

- Una matriz cuadrada se denomina matriz triangular superior si todos los elementos situados por debajo de la diagonal son nulos, es decir, 0. Esquemáticamente, una matriz triangular es así:

Las matrices triangulares también tienen estructura de álgebra asociativa con elemento neutro.

Determinante: el determinante de una matriz triangular superior equivale al producto de los elementos de la diagonal principal. Así, una matriz triangular es inversible si y sólo si todos los elementos que ocupan la diagonal son distintos de cero:

Mat. ð es inversible

- El otro tipo de matriz triangular es la matriz triangular inferior. En ella, todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos, es decir, cero. Esquemáticamente;

Una matriz cuadrada se llama matriz simétrica si al intercambiar filas por columnas no varía. Así, el producto de matrices simétricas no suele ser una matriz simétrica. El conjunto de todas las matrices simétricas de orden n con coeficientes reales forma un subespacio vectorial, , de . Matriz simétrica esquemáticamente:

Una matriz cuadrada es antisimétrica cuando al intercambiar filas por columnas la matriz cambia de signo y todos los elementos de la diagonal principal son nulos. Así, el producto de matrices antisimétricas no suele ser una matriz antisimétrica. Esquemáticamente, una matriz antisimétrica es la siguiente:

Ejemplo de matriz antisimétrica:

Rango de la matriz: el número de vectores fila linealmente independientes coincide con el nº de vectores columna linealmente independientes, puesto que la misma matriz A puede entenderse como una colección de m vectores de n componentes o como n vectores columna de m componentes.

Para calcular el rango de una matriz es conveniente seguir los pasos que se enuncian a continuación:

• Primero. Es necesario realizar algunas transformaciones. Escogemos un elemento pivote, en el ejemplo de abajo he escogido el , y sobre él realizaremos una serie de operaciones para conseguir que el resto de la fila esté compuesta única y exclusivamente por ceros.

• Segundo. Para obtener un cero en el elemento será necesario restar entre columnas a fin de conseguir que

• Tercero. El resultado obtenido en el paso anterior lo colocamos en la segunda columna; y así sucesivamente.

• Cuarto. Se deja la primera columna sin modificar, ya que en ella ha habido un elemento pivote ya. Del resto de elementos de la matriz, escogemos un nuevo elemento pivote (que no sea cero) para que haga las veces de pivote. En la matriz ejemplo se ha escogido el .

• Quinto. Ya hemos concluido, pues el procedimiento ha finalizado. Es importante saber que si el procedimiento que se ha de llevar a cabo se realiza para las filas en lugar de las columnas, obtendremos como resultado final lo mismo.

Ejemplo: dados los vectores calcula el rango de su matriz.

Escogemos el como elemento pivote e igualamos a cero. Para ello hacemos las operaciones convenientes. Para que se vea más claro, primero lo hacemos con los vectores y después ya lo haremos en las matrices:

Es el resultado y se coloca así:

El significa , ya que la columna I equivale al vector y la columna II equivale al vector .

A partir de aquí seguimos hasta que :

Repetimos el proceso, pero ahora con un elemento pivote tal que no pertenezca a la primera columna, en lenguaje matemático . Escogemos, por ejemplo,

Todos estos pasos se puede unir en uno único, basta con mencionar en la flecha que estamos haciendo más de una operación en un paso:

Seguimos haciendo transformaciones hasta el final, cambiando de pivote:

Ya hemos finalizado. ¿Cuál es el rango? Pues es aquél que coincide con el número de vectores fila linealmente independientes, es decir, que esté compuesto de ceros. En este caso, sólo hay un vector columna linealmente independiente, el . Así que el rango de esta matriz es 1.

Ahora hazlo tú