Matrices

 1. Introducción

Este capítulo define el término matriz y describe algunas operaciones que se efectuan con ellas. El conocimiento de matrices y su álgebra es indispensable para entender las bases en las cuales descansa el análisis estadístico.

Una matriz es un arreglo de elementos:

Las matrices se denotan generalmente con mayúsculas (M). Cada elemento de una matriz se denota por mij, donde i corresponde a la hilera y j corresponde a la columna. En el ejemplo anterior, el elemento (2,2)= 8, el elemento (1,1) es 1, el elemento (1,2) es 4. Un vector es una matriz con una sola columna:

Una matriz que tiene una sola hilera se llama matriz hilera:

Una matriz constituída por un solo elemento se llama escalar:

Una matriz tiene dimension mXn, es decir el número de hileras y columnas. Por ejemplo, la dimension de M es 2X2, la dimension de V es 3X1, la dimension de H es 1X3 y la dimension de A es 1X1.

La matriz identidad es es una matriz de dimensión mXn con 1s en la diagonal principal y ceros en los otros elementos. Por ejemplo, la matriz identidad de M es:

La matriz identidad se define únicamente para matrices cuadradas. Es decir, matrices con el mismo número de columnas e hileras.

2. Operaciones con Matrices

2.1. Suma Algebraica

Para sumar dos matrices M, N, es necesario que sus dimensiones sean iguales. El resultado de la suma es otra matriz con las mismas dimensiones y cuyos elementos Xij corresponden a Mij + Nij. Por ejemplo:

2.2. Traspuesta

La traspuesta de una matriz M (mXn) es la matriz T= M'= (nXm), con cada elemento de la nueva matriz T, Tij= Mji:

2.3. Multiplicación

2.3.1. Producto Interno (Producto de Hilera por Columna)

Antes de describir la multiplicación de matrices, es necesario definir una operación preliminar: El producto interno, que corresponde a un valor escalar. El producto interno es la suma del producto de los elementos de una hilera por los elementos de una columna. Para multiplicar una hilera por una columna es necesario que el número de columnas en la hilera corresponda al número de hileras en la columna. El producto de hilera por columna es un escalar. Por ejemplo, la multiplicacion de A por B, denotado AB, es:

2.3.2. La multiplicación de Matrices

Para multiplicar dos matrices, es necesario que el número de hileras de la primera matriz Q corresponda al número de columnas de la segunda matriz W. Los elementos del producto P= QW corresponden al producto de hileras por columnas, como se menciona arriba:

En este ejemplo, el elemento (2,3)= 5 corresponde al producto de la hilera dos de Q y columna tres de W. En general, no es lo mismo AB que BA.

2.4. La inversa de una Matriz

Asi como se ha definido la multiplicación de matrices, existe una operacion similar a la división. La inversa de una matriz cuadrada (M-1) es la matriz que multiplicada por M da como resultado la matriz identidad (I):

M-1M=I=MM-1

Por ejemplo:

En general, encontrar encontrar la inversa de matrices involucra resolver una serie de ecuaciones simultáneas de primer grado, por ejemplo:

Existen varios métodos para encontrar la solución a este problema. El libro de Numerical Recipes contiene algunos algoritmos para encontrar la inversa de matrices. No todas las matrices cuadradas poseen inversa. Aquellas que no lo tienen se denominan singulares.

2.4.1. Dependencia Lineal y Rango

Una de las razones por las que una matriz cuadrada no tenga inversa es la ocurrencia de lo que se denomina dependencia lineal, por ejemplo, observe la siguiente matriz:

la columna uno es la suma de la columna dos + columna tres. La información contenida es redundante. Matrices de este tipo se denominan singulares y no tienen inversa. Sólo las matrices no singulares poseen inversa. Cuando todas las columnas (o hileras) son independientes, es decir, no son una combinación lineal unas de otras, entonces la matriz es de rango completo. Cuando la matriz no es de rango completo, para encontrar la inversa hay que eliminar una columna que no tenga coeficientes cero y examinar las columnas restantes por dependencia lineal, el proceso se detiene hasta que las columnas son independientes y entonces se puede encontrar la inversa de esta matriz reducida.

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