Matemáticas

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MATEMÁTICAS

CONTENIDO.

1.0 Aritmética

1.1 Números reales

1.2 Divisibilidad

1.3 Operaciones con números racionales

1.4. Razones y proporciones

1.5 Regla de tres

1.6 Tanto por ciento

2.0 Algebra

2.1 Propiedades y definiciones

2.2 Leyes de los signos

2.3 Signos de agrupación

2.4 Evaluación de expresiones algebraicas

2.5 Lenguaje algebraico

2.6 Leyes de los exponentes

2.7 Operaciones Algebraicas

2.8 Radicales

2.9 Productos notables

2.10 Factorización

Ecuaciones

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita

3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incógnitas

3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incógnitas

3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Algebra de Funciones

4.1 Dominio y rango

4.2 Funciones y relaciones

4.3 Funciones logarítmicas y exponenciales

Geometría Euclidiana

5.1 Ángulos complementarios y suplementarios

5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa

Trigonometría

6.1 Teorema de Pitágoras

6.2 Funciones trigonométricas

6.3 Identidades trigonométricas

Recta

7.1 Distancia entre dos puntos

7.2 Punto medio del segmento de recta

7.3 Pendiente de la recta

7.4 Ecuación de la recta

7.5 Paralelismo y perpendicularidad

Circunferencia

8.1 Forma canónica

8.2 Forma general

Parábola

9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen

9.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen

10.0 Elipse

10.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen

10.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen

Hipérbola

11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen

11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen

Ecuación general de segundo grado

12.1 Identificación de cónicas

13.0 Cálculo Diferencial

13.1 Funciones y límites

13.2 Derivadas algebraicas

13.3 Derivadas trigonométricas

13.4 Derivadas logarítmicas

13.5 Derivadas exponenciales

13.6 Derivadas implícitas

13.7 Interpretación física y geométrica de la derivada

13.8 Máximos y mínimos

Cálculo Integral

14.1 Integral inmediata

14.2 Integral definida

14.3 Aplicación de integral definida (área bajo la curva)

14.4 Método de integración por cambio de variable

14.5 Método de integración por partes

UNIDAD 1. ARITMÉTICA

1.1 Números Reales

Naturales: Son los que se utilizan para contar.  1,2, 3, 4, 5,……, 19, 20, 21,………
Primos: Son los números que solo son divisibles entre si mismos y la unidad.

Ejem:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…………

Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen más divisores

Ejem:  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,…………

Enteros: Son los números positivos, negativos y el cero.

Ejem:  1,-2, 0, 4, -5, etc,…

Racionales ó Fraccionarios: Son los números compuestos por un numerador y un divisor.

Propios: Números cuyo denominador es mayor que el numerador de una fracción.

Ejem:

Impropios: Números cuyo denominador es menor que el numerador de una fracción.

Ejem:

Mixtos: Números compuestos de números enteros y propios.

Ejem:

Irracionales: Son los números que en su forma decimal son una serie infinita de dígitos.

Ejem:

Propiedades de los números reales

*Propiedad*	*Suma*	*Producto*
Cerradura
Conmutativa
Asociativa
Distributiva
Neutro
Inverso

Recta Numérica

Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica.

Ejem: Representar en recta numérica:

1.2 Divisibilidad

Los principales criterios de divisibilidad son:

Divisibles entre 2: Todos los números pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,…..
Divisibles entre 3: Suma de sus dígitos son: 3, 6 ó 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3
Divisibles entre 5: Todos los números terminados en 5 ó 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc.

Mínimo común múltiplo (m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.

Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120

15	30	60	2	14	28	30	120	2
15	15	30	2	7	14	15	60	2
15	15	15	3	7	7	15	30	2
5	5	5	5	7	7	15	15	3
1	1	1		7	7	5	5	5
				7	7	1	1	7
				1	1	1	1

m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60 m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840

Máximo común divisor (M.C.D.).- Es el número mayor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que no tengan un divisor primo común y se multiplican los primos obtenidos.

Ejem: Calcular el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120

18	27	36	3	15	90	30	60	5
6	9	12	3	3	18	6	12	3
2	3	4		1	6	2	4

M.C.D.= 3(3) = 9 M.C.D. = 5(3) = 15

1.3. Operaciones con números racionales:

Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso.

Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.

Ejem:

Multiplicación de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador.

Ejem:

División de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.

Ejem:

Potencia y Raíz

Potencia: Es el número de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, según su exponente.

Ejem:

Raíz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el índice, se obtiene el valor que esta dentro del radical.

Ejem:

1.4 Razones y Proporciones

Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como sigue:

Ejem:

Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue:

Ejem:

donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios.

1.5 Regla de Tres

Regla de tres directa ó Proporción directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará por 30 días?

Regla de tres inversa ó Proporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con respecto al tiempo.

Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 días?

1.6 Tanto por Ciento

Definición: Es una fracción cuyo denominador es 100, es decir la centésima parte de algo. Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fracción o por un decimal equivalente.

Ejem: 18% 0.18

33.5% 0.335

Cálculo del porcentaje:

Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.

Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655

1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65

También se puede obtener un número en específico con regla de tres directa.

Ejem: Hallar el número del cual 400 es el 8%

Ejem: Hallar el número del cual 4590 es el 60%

También se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.

Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por venta realizada. Si vende mercancía por un total de $44000. ¿Cuanto recibirá de comisión?

$44000(0.12) = $5280

Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. ¿En cuanto debe venderse?

Reactivos Unidad 1:

¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número racional?

¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número irracional?

Simplificando la expresión se obtiene:

Al simplificar la expresión se obtiene:

¿Cuál es el resultado desimplificar la expresión, ?

¿Entre que letras está la ubicación del número: ?

A y B

B y C

B y D

C y D

D y E

Si a es un número donde a < 0 entonces:

b) c) d) e)

El inverso de - 10 es:

b) 10 c) d) -10 e) 0

¿Qué número es mayor que -50?

- 60 b) - 80 c) - 70 d) - 40 e) - 90

¿La expresión de desigualdad correcta es?

¿Qué números de la siguiente tabla son divisibles entre nueve?

A	702	F	954	K	101	P	95 481
B	425	G	271	L	529	Q	85 788
C	308	H	81	M	2 700	R	15 203
D	179	I	413	N	3 504	S	12 006
E	873	J	360	O	2 708	T	24 210

a) A, C, D, G, I, J, L, O, S, T	b) B, C, E, G, H, J, N, O, R, S
c) A, E, F, H, J, M, P, Q, S, T	d) A, B, D, F, H, J, K, L, O, T
e) A, C, F, I, N, P, Q, R, S, T

Encuentra el m.c.m. y M.C.D. de los siguientes números

a. 120, 60, 30

b. 48, 24, 12, 6

c. 35, 70, 5

d. 15, 30, 45

e. 25, 30, 70

a) a: 60 y 30, b: 12 y 6, c: 35 y 70, d: 30 y 45, e: 70 y 25

b) a: 120 y 60, b: 48 y 24, c: 5 y 70, d: 45 y 30, e: 25 y 70.

c) a: 60 y 120, b: 24 y 48, c: 5 y 35, d: 15 y 30, e: 70 y 5

d) a: 120 y 30, b: 48 y 6, c: 70 y 5, d: 90 y 15, e: 1050 y 5

e) a: 30 y 120, b: 6 y 24, c: 70 y 35, d: 15 y 45, e: 1050 y 25

¿El resultado de la operación es?

¿Al simplificar la expresión se obtiene?

La expresión es equivalente a:

b) c) 12 d) e)

La expresión es igual a:

e) x

Si tenemos en que inciso encontramos una expresión igual.

a) b) c) d) e)

La expresión es igual a:

a) b) c) d) e)

Al simplificar la raíz cuadrada de 160 encontramos que es igual a:

Si tenemos la raíz cuadrada de x y como resultado exacto da 18 ¿Cuál es el valor de x?

a) El doble de 18

b) El cuadrado de 18

c) El tercio de 18

d) La mitad de 18

e) La potencia cuarta de 18

Un agricultor cosecho en su parcela la producción de naranja, obteniendo un total de 3200 costales con un peso de 40 kg. cada uno ¿Cuál fue el peso total en kg de su producción?

Si se vende un caballo en $84, ganando $18,¿Cuánto había costado?

Dos hombres realizan una obra por $60 y trabajan durante 5 días. Uno recibe un jornal de $4 diarios. ¿Cuál es el jornal del otro?

a) $10 b) $12 c) $14 d) $ 8 e) $15

De la central camionera parten diariamente 725 autobuses con 42 pasajeros cada uno. Si durante 15 días se mantuvo la misma demanda de pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha central?

a) 456,570 b) 654,750 c) 564,750 d) 456,750 e) 456,057

Rosa tiene una tienda de mascotas y vende perritos, hay 15 french que cuestan $380 c/u, 10 rot wailler que cuestan $275 c/u, 5 cocker spanish que cuestan $315 c/u. ¿Cuánto ganaría si vende 3 cocker y 8 french?, y ¿Cuánto ganaría si vendieran todos los perritos?

a) $3985, $10,025 b) $3654, $10,00 c) $3645, $10,055 d) $3456, $10,250 e) $3564, $10,052

Julio compró 25 pelotas de $14 c/u, 13 camioncitos de $12.50 c/u y 12 muñecas de $10 c/u, pagó con dos billetes de $500 ¿Cuánto fue el total pagado por los juguetes y cuanto le dieron de cambio?

a) total $367.50, cambio $632.50 b) total $632.50, cambio $367.50

c) total $512.50, cambio $487.50 d) total $487.50, cambio $512.50

e) total $650.00, cambio $ 350.00

Un depósito cilíndrico para almacenar agua, mide 45 m. de altura y de radio de su base es igual a 2 m. ¿Cuántos litros de agua aproximadamente se requieren para llenar a su máxima capacidad el depósito?

a) 655,486 b) 565,487 c) 565,684 d) 56,846,767 e) 556,846,767

Un atleta camina en la 1ra. hora km., en la 2da. hora km ,en la 3ra. hora km y en la 4ta. hora. . ¿Cuál es la longitud total recorrida?

Toño compro una caja de galletas que contiene 20 paquetes con 6 galletas c/u , invito a sus amigos Julian, Paco y Judith les dio igual cantidad de paquetes él se quedó con 30 galletas ¿Cuántos paquetes le dio a cada uno?

a) 5 paquetes b) 4 paquetes c) 6 paquetes d) 7 paquetes e) 8 paquetes

La proporción equivalente a 72:18 es:

a) 64:16 b) 65:13 c) 57:45 d) 34:68 e) 30:10

666 minutos es ______________ que 1/14 de semana, 666 horas es____________ que 28 días

a) más tiempo - menos tiempo b) menos tiempo - más tiempo

c) menos tiempo - menos tiempo d) más tiempo - igual tiempo

e) más tiempo - más tiempo.

Don Paco compró un motor en $10,483.70, si éste tenía el 18% de descuento, ¿Cuál era el precio original del motor?

a) $8,884.50 b) $12,366.66 c) $12,370.00 d) $12,785.00 e) $13,660.00

Los resultados de un examen de matemáticas de un grupo de segundo de secundaria fueron los siguientes: obtuvieron 10 de calificación, obtuvo 9, sacaron 8 ¿Qué fracción del grupo obtuvo menos de 8 de calificación?

a) b) c) d) e)

Rodolfo acompaña a su mamá al mercado cargo una bolsa con el siguiente mandado: kg de carne, kg. de queso y kg de fruta, pero su mamá se ofrece ayudarlo con 1 kg. de fruta ¿Cuánto cargo en total Rodolfo?

a) 3 kg b) 4 kg c) kg d) 5 kg e) kg

En una escuela hay 960 alumnos, de los cuales 336 son hombres ¿Cuál es el porcentaje de mujeres?

a) 65% b) 35% c) 75% d) 45% e) 46%

Juanito junto dinero para comprar una bicicleta. Su tío le dio $50 con los cuales compró una pelota que le costo $ 10, su tía le dio $100 con los cuáles compro una bolsa de canicas que le costó $6, colores para dibujar, que le costaron $15, un chocolate de $ 7 y una paleta de $ 2. Su mamá le dio $ 200 y su papá $300 ¿Cuánto le falta para poder comprar una bicicleta si ésta cuesta $1,625?

a) $1005 b) $1150 c) $1010.50 d) $1015 e) $1105

En la ciudad las temperaturas registradas durante una semana fueron las siguiente 1.2º, 2º, 3.1º, 0º , 3.5º y 1.3º . ¿Cuál es el promedio de temperaturas?.

a) 5.81º b) 8.15º c) 1.85º d) 18.5º e) 15.8º

UNIDAD 2. ALGEBRA

2.1 Propiedades y Definiciones

Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base ó literal y exponente.

Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

Ejem: es semejante a

Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera:

Monomio = un solo término Ejem:

Binomio = dos términos Ejem:

Trinomio = tres términos Ejem:

Polinomio = 2 ó más términos Ejem:

2.2 Leyes de los signos

Suma y Resta:

Ejem: Ejem:

Multiplicación y División:

Ejem: Ejem:

2.3 Signos de Agrupación

Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales son:

Paréntesis Corchete Llave

Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Ejem: Ejem:

Ejem:

2.4 Evaluación de expresiones algebraicas

El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor específico.

Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión:

sustituyendo:

Ejem: Si & de la expresión:

sustituyendo:

2.5 Lenguaje algebraico

Definición.- Es la forma de expresión común o coloquial que se expresa de forma algebraica.

Ejem:

Un número cualquiera	x
Un número cualquiera aumentado en dos
La diferencia de dos números cualquiera
El triple de un número disminuido en cuatro
La cuarta parte de un número
Las tres cuartas partes de la suma de dos números
La suma de tres números naturales consecutivo
Las dos quintas partes de un número disminuido en cuatro es igual a 24
La suma de tres números pares consecutivos, es igual al cuádruple del menor más la mitad del mayor

2.6 Leyes de los Exponentes

Multiplicación: Sumar los exponentes

Ejem: Ejem:

División: Restar los exponentes

Ejem: Ejem:

Potencia : Multiplicar los exponentes

Ejem: Ejem:

Inverso: Cambiar signo de exponente

Ejem: Ejem:

Unitario: Siempre es igual a uno

Ejem: Ejem:

2.7 Operaciones algebraicas

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar términos semejantes.

Ejem: Sumar &

Ejem: Restar de

Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse, como sigue:

Monomio por monomio

Ejem:

Monomio por polinomio

Ejem:

Polinomio por polinomio

Ejem:

División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue:

Monomio entre monomio

Ejem: Ejem:

Polinomio entre monomio

Ejem:

Polinomio entre polinomio

Ejem:

2.8 Radicales

Propiedades de los radicales:

Índice = potencia:

Ejem: Ejem:

Índice ≠ potencia:

Ejem: Ejem:

Multiplicación con mismo índice:

Ejem: Ejem:

Ejem:

Multiplicación con diferente índice:

Ejem:

Raíz de una raíz:

Ejem: Ejem:

División con índices iguales:

Ejem: Ejem:

División con índices diferentes:

Ejem:

Operaciones con radicales:

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente regla:

Ejem: Resolver:

Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero.

De un denominador monomio:

Forma: , se multiplica por , y se simplifica.

Ejem: , se multiplica por: , el numerador y el denominador, obteniéndose:

De un denominador binomio:

Forma: , se multiplica por el conjugado del denominador , y se simplifica.

Ejem: , se multiplica por: , el numerador y el denominador, obteniéndose:

Números Imaginarios.- Es el expresado como “ i “, significa la raíz cuadrada de “-1”, es decir: .

Entonces también:

Ejem:

Operaciones con números imaginarios

Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando:

Ejem: Resolver:

2.9 Productos Notables

Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Binomio al cuadrado
Binomios conjugados
Binomios con término común
Binomio al cubo

Binomio al cuadrado

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios conjugados

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios con término común

Regla:

Ejem:

Binomio al cubo

Regla:

Ejem:

2.10 Factorización

Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma
Trinomio de la forma

Factor común

Regla: Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD )

Paso 2: Menor exponente de las literales comunes

Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido

Ejem: Ejem:

Diferencia de cuadrados

Regla:

Ejem: Ejem:

Trinomio cuadrado perfecto

Regla: Comprobación:

2ab = 2ab

Ejem: Ejem:

Comprobación Comprobación

2x(3) = 6x

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla:

Ejem: Ejem:

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Regla: Método de tanteo

Ejem:

Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mínima expresión.

Suma y resta con denominadores diferentes

Ejem: Ejem:

División

Ejem: Ejem:

Multiplicación

Ejem: Ejem:

Reactivos Unidad 2:

Al simplificar se obtiene:

¿Cuál es el valor numérico de la expresión: cuando ?

Al evaluar de la expresión: , se obtiene:

Escoja la opción en que la frase: “La mitad de a aumentada con el producto 25 veces b” está escrita correctamente en notación matemática.

a) b) c) d) e)

El perímetro de una habitación rectangular es igual a la suma del doble del largo y del doble del ancho.¿Cual expresión matemática corresponde a esta afirmación?

a) b) c) d) e)

El promedio de bateo (b) de un jugador de béisbol es igual al numero de hits (h) dividido entre el número de veces oficiales que batea (ba)

a) b) c) d) e) b

Si sumamos o restamos expresiones algebraicas, sus exponentes se:

a) Se suman b) Se restan c) Pasan igual d) Se dividen e) Se multiplican

¿Cuál es el resultado de la siguiente suma algebraica ?

a) b) c)

d) e)

El resultado de sumar es:

a) b) c)

d) e)

Al sumar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al restar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al restar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

De se obtiene:

a) b) c)

d) e)

De la suma de restar la suma de se obtiene:

a) b) c)

d) e)

El producto de se obtiene:

a) b) c)

d) e)

El resultado de es:

a) b) c)

d) e)

El producto de es:

a) b) c)

d) e)

El resultado de multiplicar es:

a) b) c)

d) e)

El producto de es:

a) b) c)

d) e)

Al multiplicar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

¿Cuál es el área de un local rectangular que quieren rentar si el ancho mide y el largo ?

b) c)

d) e)

¿Cuál es el área de un rectángulo, si su ancho es y su largo es ?

a) b) c)

d) e)

¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide ?

a) b) c)

d) e)

Al dividir se obtiene:

a) b)

c) d)

El cociente de dividir entre es:

b) c) d) e)

Dividir entre

b) c) d) e)

El resultado de es:

Al simplificar se obtiene:

¿Cuál es el resultado de simplificar se obtiene:

Al simplificar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al simplificar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

Al desarrollar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

El equivalente a es:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al desarrollar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

El equivalente a es:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al desarrollar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al desarrollar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

El equivalente a es:

a) b) c)

d) e)

Al desarrollar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al obtener el área de un cuadrado que mide por lado resulta:

a) b) c)

d) e)

Al obtener el área de un rombo cuya diagonal mayor es y su diagonal menor es resulta:

a) b) c)

d) e)

Al obtener el área de un rectángulo cuyo base mide y su altura es de resulta:

a) b) c)

d) e)

Al relacionar las siguientes columnas el resultado es:

a)	I)
b)	II)
c)	III)
d)	IV)

a) a-IV, b-II, c-III, d-I

b) a-IV,b-I, c-II,d-III

c) a-IV,b-I,c-III,d-II

d) a-I,b-IV,c-III,d-II

e) a-III,b-IV,c-I,d-II

Al factorizar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al factorizar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Al factorizar se obtiene:

a) b) c)

d) e)

Un equivalente de es:

a) b) c)

d) e)

Al relacionar las siguientes columnas el resultado es:

a)		I)
b)		II)
c)		III)
d)		IV)
a) a-I,b-III,c-IV,d-II	b) a-I,b-III,c-II,d-IV	c) a-III, b-I,c-IV,d-II	d) a-I,b-II,c-IV,d-III	e) a-II,b-I,c-IV,d-III

Al simplificar se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al simplificar se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al simplificar se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al simplificar se obtiene:

a) b) c) d) e)

El resultado de sumar es:

a) b) c) d) e)

Al multiplicar se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al multiplicar se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al multiplicar se obtiene:

a) b) c) d) e)

El resultado de sumar es:

a) b) c) d) e)

El resultado de sumar es:

a) b) c) d) e)

Al dividir se obtiene:

a) b) c) d) e)

El resultado de es:

a) b) c) d) e)

Al resolver se obtiene:

a) b) c) d) e)

UNIDAD 3. ECUACIONES

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Definición.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones:

1er. miembro = 2do. miembro

Operaciones Opuestas: Regla:

Suma Resta

Multiplicación División

Potencia Raíz

Ejem: Comprobación

3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita

Definición.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solución, se aplican básicamente las mismas reglas que para una ecuación, además de las siguientes consideraciones:

Regla: Cada vez que un término se multiplique ó divida entre un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad

Signos de Desigualdad y Gráfica

< menor que no incluye a ( )
> mayor que no incluye a ( )
menor igual que incluye a
mayor igual que incluye a

Ejem: Comprobación

3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas)

Definición.- Es el llamado “Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su solución, entre los cuales están los llamados “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer), que se explican a continuación:

Método de Reducción (Suma y Resta)

Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que hagan que la suma de una de las variables sea “cero” y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.

Ejem: Sustituyendo , en

Comprobación en

Ejem: Sustituyendo , en

Comprobación en

Método por Determinantes (Regla de Kramer)

Dado el sistema de ecuaciones:

y sus determinantes son:

donde: = determinante del sistema

= determinantes en “x” y “y”

Ejem:

Problemas de Aplicación

Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:

Leer el problema

Definir las incógnitas principales de forma precisa

Traducción matemática del problema

Resolución del problema matemático

Interpretar las soluciones

Contrastar la adecuación de esas soluciones

Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él?

Traducción matemática : Solución:

Ejem: Pedro compró 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisco compró 3 camisas y 4 pantalones por $1200, ¿cuál es el precio de una camisa y el de un pantalón?

Traducción matemática : Solución:

3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incógnitas)

Definición.- Es el llamado “Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 3 variables. Los métodos para su solución, son: “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer):

Método por Determinantes (Regla de Kramer)

Dado el sistema de ecuaciones:

Realizar los pasos siguientes:

Se escribe el determinante de tres por tres.

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha.

Se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal.

Los productos de los números que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.

Determinantes:

Donde: = determinante del sistema

= determinantes en “x” , “y” y “z”

Ejem:

3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incógnita

Clasificación

Métodos de solución

Completas: forma ax2 + bx + c = 0

Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de “a, b y c” , y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes:

Factorización: Forma x2+bx+c = 0 ó ax2+bx+c = 0, obteniendo:

Ecuación de 2do. grado: , obteniendo:

Ejem:

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0

Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y b, pero no de c”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de factorización por término común y se despeja, como sigue:

Ejem: Ejem:

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0

Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y c, pero no de b”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de despeje, como sigue:

Ejem: Ejem:

Reactivos Unidad 3:

¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación ?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación ?

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación , se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación , se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación , se obtiene:

a) b) c) d) e)

El valor de “x” que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e)

El valor de “x” que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

De la ecuación el valor de “x” que satisface es:

a) b) c) d) e)

De la ecuación el valor de “x” que satisface es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la siguiente ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

:La suma de dos números naturales enteros consecutivos es 183, hallar los números:

a) b) c) d) e)

El menor de dos números impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los números

a) b) c) d) e)

El triple de la suma de un número con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo número aumentado en 46.

a) b) c)

d) e)

¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261?

a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89

La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números.

a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30

Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. ¿Cuál es el número?

a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58

La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si éste tiene 30 años ¿Cuál es la edad de Roberto?

a) 14 años b) 18 años c) 13 años d) 10 años e) 12 años

La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. ¿Cuáles son los números?

a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54

Encontrar los tres números consecutivos cuya suma sea 186.

a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62

La suma de las edades de Sonia y Toño es 84 años y Toño tiene 8 años menos que Sonia. Hallar ambas edades.

a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41

Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos

a) b) c) d) e)

¿Cuáles son las raíces de ?

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuación se obtiene:

a) b) c) d) e)

¿Cuál de los siguientes valores cumple con:

a) b) c) d) e)

¿Cuál de los siguientes afirmaciones es verdadera, si

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El intervalo que satisface a es:

a) b) c) d) e)

La expresión que representa “a lo más tengo 250” es:

a) b) c) d) e)

La expresión que representa “por lo menos tengo 500” es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solución de es:

a) b) c) d) e)

Los valores de las incógnitas del sistema son:

a) b) c)

d) e)

Los valores de las incógnitas del sistema son:

a) b) c)

d) e)

El valor de “x” del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e)

El valor de “y” del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e)

Si x = 2 y y = 3 . La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es:

a) b) c)

d) e)

Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar?

a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4

d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7

La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades.

a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12

d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21

El valor de “x” , por medio de determinantes es:

a) b) c)

d) e)

El valor de “y” , por medio de determinantes es:

a) b) c)

d) e)

La edad de Jorge es el triple de la edad de Sandra y la de Sandra cinco veces la de Pedro. Sandra tiene 12 años más que Pedro ¿Qué edad tiene cada uno?

Jorge 45,Sandra 15, Pedro 3 b) Jorge 25,Sandra 5, Pedro 3 c) Jorge 35,Sandra 25, Pedro 3

d) Jorge 55, Sandra 15, Pedro 3 e) Jorge 5, Sandra 10, Pedro 3

En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $5.12 y también 17 de niño y 15 de adulto $8.31. ¿Cuál es el precio de una entrada de un niño y de un adulto?

Adulto $35 cts, niño $18cts. b) Adulto $45 cts, niño $18cts. c) Adulto $25 cts, niño $28cts.

d) Adulto $15 cts, niño $18cts. e) Adulto $35 cts, niño $28cts.

Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $514 y más tarde, a los mismos precios, compro 8 vacas y 9 caballos por $818 ¿Cuál es el costo de una vaca y un caballo.

Vaca $42 y caballo $ 55 b) Vaca $55 y caballo $ 24 c) Vaca $24 y caballo $ 55

d) Vaca $55 y caballo $ 34 e) Vaca $55 y caballo $ 42

La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 ¿Cuáles son los números?

7 y 2 b) 9 y 0 c) 5 y 4 d) 7 y 1 e) 6 y 3

La solución del sistema es:

a) b) c)

d) e)

La solución del sistema es:

a) b) c)

d) e)

UNIDAD 4. ALGEBRA DE FUNCIONES

Valor de una función

Se obtiene, al sustituir el valor de “x” en la función f(x):

Ejem: Si f(x) = , obtener el valor de f(-4) y f(3)

Ejem: Si f(x) = , obtener el valor de f(-2) y f(4)

4.1 Dominio y Rango

Dominio, es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una función.

Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de “y” al sustituir cada una de los elementos del dominio en la función.

Ejem: El dominio de la función racional

, entonces, sus raíces son:

Ejem: El dominio de la función racional

, entonces, sus raíces son:

Ejem: Para que valor de “x” la función se indetermina:

, entonces, para: la función se indetermina

Función cuadrática

Es de la forma y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba cuando “a” es positiva y es hacia abajo cuando “a” es negativa.

El vértice de la parábola, se obtiene en el punto:

Los puntos donde la gráfica interseca al eje “x”, son la solución de la ecuación. Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la función.

Ejem: Sea la función , obtener su dominio y rango.

El vértice es: entonces, y la curva es cóncava hacia arriba

ahora, las raíces de: sus raíces son:

entonces:

Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.

y = x
x	y
-4	-4
-3	-3
-2	-2
-1	-1
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4

f(x) = x

Dom (f) = Todos los reales.

Ran(f) = Todos los reales.

f(x) = 1/x

Dom(f) = Todos los racionales

positivos, menos

x	y
9	0.1111
8	0.125
7	0.1429
6	0.1667
5	0.2
4	0.25
3	0.3333
2	0.5
1	1
0.5	2

el número cero.

Ran(f) = Todos los racionales

positivos.

4.2 Funciones y relaciones

Definición

Se le llama relación, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos.

Se le llama función, a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada “x”, corresponda un solo elemento de “y”.

Relación: Función:

Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una relación.

Ejem:

Relación Función Función Relación Relación

Clasificación de Funciones

4.3 Función Logarítmica y exponencial:

Es de la forma , donde:

Forma logarítmica: corresponde a: Forma exponencial:

Ejem: Al convertir , en forma exponencial, obtenemos:

entonces:

Ejem: Al convertir , en forma exponencial, obtenemos:

Reactivos Unidad 4:

Sean la funciones la operación resulta:

a) b) c) d) e)

Sean la funciones la operación resulta:

a) b) c) d) e)

Si , el valor de f(-2) es:

a) b) c) d) e)

Si , el valor de f(-1) es:

a) b) c) d) e) 5

Para que valor de “x” la función se indetermina:

a) b) c) 3 d) e)

Para que valores de “x” la función se indetermina:

a) b) c) d) e)

Una función lineal esta representada por:

a) b) c) d) e)

¿Cuál de las siguientes funciones es cuadrática?

a) b) c)

d) e)

¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial?

a) b) y= c) f(x)=

d) g(x)= e)

El dominio de la función

a) b) c)

d) e)

El dominio de la función

a) b) c)

d) e)

El dominio de la función

a) b) c)

d) e)

El dominio de la función

a) b) c)

d) e)

La forma exponencial de es:

a) b) c) d) e)

La forma logarítmica de es:

a) b) c) d) e)

El valor de “x” del es:

a) b) c) d) e)

El valor de “x” del es:

a) b) c) d) e)

Si ¿Cuál es el valor de “x”?

a) b) c) d) e)

Si ¿Cuál es el valor de “x”?

a) b) c) d) e)

Si ¿Cuál es el valor de “x”?

a) b) c) d) e)

UNIDAD 5. GEOMETRÍA EUCLIDIANA

5.1 Ángulos

Clasificación Básica

Agudo Recto Obtuso

Se le llama ángulo complementario, son los ángulo cuya suma es igual a 90o .

Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque

Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque

Se le llama ángulo suplementario, los ángulo cuya suma es igual a 180o .

Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque

Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque

5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa

De grados a radianes, se multiplican los grados por y se simplifica.

Ejem: 70o a radianes:

Ejem: 120o a radianes:

De radianes a grados, se multiplican los radianes por y se simplifica.

Ejem: a grados:

Reactivos Unidad 5:

¿Cuál es el complemento de 80º?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es el complemento de 25º?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es el suplemento de 30º?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es el suplemento de 115º?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es la equivalencia de 150º a radianes?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es la equivalencia de 72º a radianes?

a) b) c) d) e)

¿Cuál es la equivalencia de 330º a radianes?

a) b) c) d) e)

Al convertir radianes a grados, se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al convertir radianes a grados, se obtiene:

a) b) c) d) e)

Al convertir radianes a grados, se obtiene:

a) b) c) d) e)

UNIDAD 6. TRIGONOMETRÍA

6.1 Teorema de Pitágoras

Definición.- Aplicado para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).

Ejem: Encontrar la hipotenusa

Ejem: Encontrar el cateto faltante

6.2 Funciones Trigonométricas

Definición.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo y son:

entonces:

Con respecto al ángulo A

Con respecto al ángulo B

Ejem: Encontrar las razones, seno, coseno y tangente con respecto al ángulo B, del siguiente triángulo:

Ejem: Encontrar las razones, cosecante, secante y cotangente con respecto al ángulo A, del siguiente triángulo:

6.3 Identidades Trigonométricas

Definición.- Son las equivalencias existentes entre las razones trigonométricas y son:

Recíprocas:

Cociente:

Pitagóricas:

Reactivos Unidad 6:

El valor de “x” del siguiente triángulo es:

Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, ¿Cuánto mide el otro lado?

a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

Según la figura, la razón, corresponde a la función:

Según la figura, la razón : , corresponde a la función:

El valor de la expresión 1 (cos 60°) es igual a:

a) 2 b) 0.5 c) 1 d) 1.5 e) 0

Según la figura, el valor de “x” corresponde a:

¿Cuál de las siguientes opciones recibe el nombre de tangente?

El valor equivalente a es:

a) b) c) d) e)

El valor equivalente a es:

a) b) c) d) e)

La expresión corresponde a la función:

a) b) c) d) e)

¿Cuál es el área de la siguiente figura:

¿Cuál es el perímetro del paralelogramo siguiente:

Respuestas a Reactivos de Matemáticas

Unidad 1

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

Unidad 5

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Enviado por:	Lic Jorge Galeazzi Alvarado
Idioma:	castellano
País:	México

Palabras clave:

Aritmética Algebra Ecuaciones Algebra de Funciones Geometría Euclidiana Trigonometría Recta Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola Ecuación general de segundo grado Cálculo diferencial Cálculo integral

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15	30	60	2	14	28	30	120	2
15	15	30	2	7	14	15	60	2
15	15	15	3	7	7	15	30	2
5	5	5	5	7	7	15	15	3
1	1	1		7	7	5	5	5
				7	7	1	1	7
				1	1	1	1

15	30	60	2	14	28	30	120	2
15	15	30	2	7	14	15	60	2
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5	5	5	5	7	7	15	15	3
1	1	1		7	7	5	5	5
				7	7	1	1	7
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