MATEMÁTICAS

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 2do de Ciencias, refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Septiembre del 2003

CONTENIDO

.- Polinomios, tipos de polinomios................5

.- Grado de un polinomio, completar, ordenar polinomios.............6,7

.- Adición de polinomios, propiedades............8,9,10,11,12

.- Sustracción de polinomios..............11,12

.- Multiplicación de polinomios, propiedades................12,13,14,15,16

.- División de polinomios..........16

.- Regla de Ruffini............17,18,19

.- Teorema del Resto...........19,20

.- Teorema de Descartes.............20,21

.- Factorización de polinomios..............22,23,24,25

.- Inecuaciones lineales en R.................26,27,28,29,30,31

.- Variación ordinaria................32,33,34

.- Combinación ordinaria...................35,36

.- Números combinatorios..........37,38

.- Triángulo de Tartaglia................39,40

.- Binomio de Newton.............41,42

.- Sistema de coordenadas en el espacio................41,42

.- Puntos en el plano...............43,44

.- Vectores..............44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54

.- Distancias entre dos puntos en R3............54,55,56

.- Ecuación de la recta en el espacio.............56,57,58

.- Ecuación del plano..............59,60

.- Matrices...............60,61,62,63,64.

.- Regla de Sarrus..................65,66,67.

.- Teorema Rouche-Frobenius...............68

.- Teorema de Crammer................69

.- Lugar geométrico, secciones cónicas.............70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,

82,83,84,85,86

.- Estadística...........87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,

105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,

120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,

135,136,137,138.

.- Probabilidad estadística..............139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,

150,151

.- Páginas de resolución de ejercicios.................152,153,154,155,156,157,158,159,

160,161,162

.- Bibliografía............163

Polinomios:

Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An

A0 = término independiente.

x = variable.

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio

Tipos de Polinomios:

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos términos.

Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable.

a.- p(x) = 2 + 3x + 5x² segundo grado

b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9 tercer grado

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el término independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad en unidad.

Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3

P(3) = 2(3)² + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

1.- p(x) = 2x -4 dónde x = 3

2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2

3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4

4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3

5.- q(x) = x³ + 4x - 2 dónde x = 3

6.- p(x) = 4x -x + 5 dónde x = 2

Adición de Polinomios:

Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

Regla para sumar polinomios:

1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con ceros.

2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

Ejemplo: En forma entera:

P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8

Q(x) = 3x² - 4x + 3

5x ³ +7x²-10x +11

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 -3 + 3 = -6+15 = 9

2/2x2+9/10x+31/12 5 2 10 10

4 + 5 = 16+15 = 31

3 4 12 12

Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 - 5x +8 ; q(x) = 2x3 - 2x2 + 4x

t(x) = 5x3 + 6x2 - 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 - 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x - 7/2 ;

h(x) = 2/5x2 + 3/4x - 7/4

Hallar la suma de los polinomios:

1.- p(x) + q(x) 2.- p(x) + t(x) 3.- q(x) + t(x)

4.- r(x) + s(x) 5.- r(x) + h(x) 6.- s(x) + h(x)

Propiedades de la Adición de Polinomios:

a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de composición interna.

b.- La adición de polinomios es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.

e.- El polinomio simétrico de p(x) es -p(x).

f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 - 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x - 5

b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x - 7

c.- p(x) = 6x2 + 6x - 10 ; q(x) = 5x2 + 4x - 6

d.- p(x) = 12x2 - 4x - 8 ; q(x) = 6x2 + 7x - 6

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 + 3x - 6 ; q(x) = 3x2 + 4x - 8 ; h(x) = 2x -6

b.- p(x)= 7x2 - 5x + 8 ; q(x) = 6x - 9 ; h(x) = 3x + 6

c.- p(x) = 7x2 + 6x - 4 ; q(x) = 9x2 + 8x - 6 ; h(x) = 4x -9

d.- p(x) = 11x - 7 ; q(x) = 4x2 + 3x - 6 ; h(x) = 4x - 10

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 5x2 + 3x - 6 c.- p(x) = 8x2 - 3x + 2

b.- q(x) = 4x2 - 6x + 5 d.- q(x) = 7x2 + 6x - 12

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)

a.- p(x) = 5x2 - 3x + 8 c.- p(x) = 3x3 - 8x2 + 4x - 2

b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9 d.- q(x) = -3x3 - 4x2 + 8x + 9

Sustracción de Polinomios:

Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico, es

decir -q(x). P(x) - q(x) = p(x) + -q(x) p(x) = minuendo

q(x) = minuendo

Ejercicios:

a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x -4 c.- p(x) = 3x2 -5x + 8 ; q(x) = 6x + 8

b.- p(x) = -5x2 - 5x + 6 ; q(x) = 4x - 8 d.- p(x) = 4x2 - 8x + 9 ; q(x) = 3x2 -7x +6

Multiplicación de Polinomios:

El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la

suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por

todos los de la otra.

Ejemplo: En forma Entera:

Dado p(x) = 2x2 - 5x + 6 ; q(x) = x2 - 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x)

q(x) = x2 - 3x + 5

p(x) =2x2 - 5x + 6

2x4 - 6x3 + 10x2

- 5x3 + 15x2 - 25x

6x2 - 18x + 30

2x4 - 11x3 + 31x2 - 43x + 30

Ejemplo: En forma Racional:

p(x) = 2/3x2 + 4/6x -3/2

q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:

4 x3 + 8 x2 - 6 x 8 + 8 = 312

15 30 10 30 9 270

8 x2 + 16 x - 12 - 6 + 16 = 52

9 18 6 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x -12

15 270 180 6

Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios:

1.- p(x) = 3x2 + 5x -5 ; q(x) = 4x - 8

2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 - 7x + 3 ; q(x) = 3x - 7

4.- p(x) = 6x2 + 8x - 4 ; q(x) = 3x + 7

5.- p(x) = 4x3 + 6x2 - 9x + 9 ; q(x) = 3x - 6

6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x - 5/2 ; q(x) = 4/4x - 6/2

7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5; q(x) = 3/6x - 7/2

8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 ; q(x) = 2/4x + 8/2

Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:

a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo

tanto; es una ley de composición interna.

b.- Es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.

e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.

f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.

h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los

polinomios factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)

a.- p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x - 2

b.- p(x) =4x - 6 ; q(x) = 5x + 6

c.- p(x) = 4x2 - 6x + 8 ; q(x) = 3x - 7

d.- p(x) = 6x2 - 7x + 6 ; q(x) = 6x - 2

2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x -5 ;, q(x) = 4x - 8 ; h(x) = 5x + 3

b.- p(x) = 4x - 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x - 1

c.- p(x) = 4x2 + 6x - 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x - 1

d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 - 7x + 2 ; h(x) = 3x - 4

3.- Distributiva: p(x) . q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x - 9 ; h(x) = 3x + 2

b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x - 9 ; h(x) = 5x + 12

c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x - 1 ; h(x) = 6x + 1

d.- p(x) = 6x - 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x - 2

4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

a.- p(x) = 5x2 + 3x - 6 c.- p(x) = 4x2 - 6x + 5

b.- q(x) = 6x - 8 d.- h(x) = 4x3 - 5x2 + 7x - 2

División de Polinomios:

D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo

d(x) = divisor

c(x) = cociente

r(x) = residuo

Ejercicios:

a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) e.- Dividir (20x + 10x - 5) : (5x + 5)

b.- Dividir (4x3 + 4x2 - 29x + 21) : (2x - 3) f.- Dividir (10x + 13x - 2) : (5x - 1)

c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) g.- Dividir (4x - 2x - x + 1) : (2x -3)

d.- Dividir (x4 - x2 - 2x - 1) : (x - x - 1) h.- Dividir (5/2x2 + 2/2x - 1/3):(1/2x+3)

Regla de Ruffini:

Se descompone el término independiente de la ecuación en sus divisores.

Tanteamos con dichos divisores hasta que el residuo de cero.

El número de raíces de un polinomio, es igual al mayor exponente de la incógnita.

Ejemplo: Resolver x3 + 2x2 - x - 2 = 0

divisores de 2 = (±1 , ±2) 1 2 -1 -2

1 1 3 2

1 3 2 0

-1 -1 -2

1 2 0 x1=1

-2 -2 x2=-1

1 0 x3=-2

Ejercicios:

Resolver x4-11x2-18x-8=0

b) Resolver x3-3x2-4x+12=0

c) Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0

d) Resolver x3+ x2-5x+3=0

e) Resolver x3-3x+2=0

f) Resolver 6x4+ x3+ 5x+ x-1=0

División de un polinomio p(x) entre un binomio (x ± a) :

Ejemplo: Hallar el cociente y residuo por Ruffini de (x4+ 2x3+ x) : (x +1)

1 cambia a -1

1 2 0 1 0 cociente: x3+ x2- x + 2

-1 -1 -1 1 -2 residuo: -2

1 1 -1 2 -2

Ejercicios:

a) (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2) b) (x2+ 4x-8) : (x-6)

c) (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7) d) (3x2+ 5x-9) : (x + 3)

e) (6x4-6x2-8) : (x + 4) f) (2x3-8x2+ 5x-7) : (x + 2)

Teorema del Resto:

El residuo de una división entre un polinomio ordenado en x, y un binomio de la forma de x ± a, es igual al valor numérico del polinomio para x ± a.

Ejemplo: Calcular el resto de la división ( 4x2+ 5x-3) : (x + 1)

calculamos el valor numérico para x = -1

p(x) = 4x2+5x-3 p(-1) = 4(-1)2+5.1-3

p(-1) = 4-5-3 resto = -4

Ejercicios:

a) (3x2+ 4x-6) : (x + 3) b) (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)

c) (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3) d) (6x2-7x+2) : (x-4)

Teorema de Descartes:

La condición necesaria y suficiente para que un polinomio entero en x, p(x) sea divisible por x ± a es que se anule para x = ± a.

Ejemplo: Averiguar sin hacer la división, si el polinomio p(x) = 2x2+ 6x-20 es divisible por x - 2 .

p(x) = 2x2+6x-20 p(2) = 2 . 22+ 6 . 2 - 20

p(2) = 8 + 12 - 20

p(2) = 0 si es divisible

Ejercicios:

a) (5x2+ 2x-6) : ( x-2) b) (4x2-6x+5) : (x-3)

c) (3x2+ 5x+6) : (x-3) d) (5x2-7x+2) : (x-4)

e) (2x3-5x2+ 4x+5) : (x-1) f) (4x3-6x2+ 6x-8) : (x-5)

Cálculo de raíces enteras mediante Ruffini:

Regla:

Se descompone el término independiente en todos sus divisores y después tanteamos con esos divisores positivos y negativos aplicando Ruffini. Cada vez que el residuo valga cero es una raíz cuadrada.

Este método se debe aplicar para ecuaciones de grado superior al segundo.

Ejemplo: Resolver la ecuación x3+ 6x2+ 11x+6 = 0

divisores de 6 =± (1,2,3,6)

1 6 11 6

-1 -1 -5 -6 raíces: x1 = -1

1 5 6 0 x2 = -2

-2 -2 -6 x3 = -3

1 3 0

-3 - 3

• 0

Ejercicios:

a) Resolver x3 - 7x - 6 = 0 b) Resolver x4 -5x2 + 4 = 0

c) Resolver 10x4 - 20x2 + 10 = 0 d) Resolver x4 - x3 - 7x2 + x + 6 = 0

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini:

Regla:

Aplicamos Ruffini hasta que se pueda.

El polinomio dado es igual al último cociente que da como residuo cero por cada uno de los binomios de la forma x, menos cada una de las raíces obtenidas.

Ejemplo: Factorizar el polinomio x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4 = 0

divisores de 4 = ± (1,2,4)

1 4 3 -4 -4

-1 -1 -3 0 4

1 3 0 -4 0

1 1 4 4 x1 = -1

1 4 4 0 x2 = 1

-2 -2 -4 x3 = -2

1 2 0 x4 = -2

-2 -2

1 0 al factorizar cambiamos de signos las x, y el último

cociente va de primero.

(1). (x +1).(x-1).(x +2).(x + 2)

a) Factorizar -x4 + 8x2 - 16 b) Factorizar x3 + x2 - x - 1 = 0

c) Factorizar x3 - 8x2 + 17x - 10 = 0 d) Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0

e) Factorizar x3+ 4x2+ 5x+2 = 0 f) Factorizar x3 +x2-5x+3 = 0

Raíces fraccionarias aplicando Ruffini:

Ejemplo: Calcular x3 - 3x - 2

x3+ 4x2+ 5x+2

factorizamos numerador: 1 0 -3 -2

-1 -1 1 2

1 -1 -2 0

-1 -1 2

1 -2 0

2 2

• 0

raíces: x1 = -1 (x + 1).(x + 1).(x-2)

x2 = -1

x3 = 2

factorizamos denominador: 1 4 5 2

-1 -1 -3 -2

1 3 2 0

-1 -1 -2

1 2 0

-2 -2

• 0

raíces: x1 = -1 (x +1).(x + 1).(x + 2)

x2 = -1

x3 = -2 simplificamos: (x +1).(x +1).(x-2) = (x - 2)

(x +1).(x +1).(x +2) (x + 2)

Ejercicios:

x3+ x2-5x+3 b) x5-21x3+16x2+108x-144

x3-3x+2 x3+x2-x-1

c) x4+5x3+8x2+7x+3 d) -x4 + 8x2 - 16

x3+2x2-x-2 x3-3x2-4x+12

Inecuaciones Lineales en R:

Propiedades de las desigualdades:

1) a > 0 ; mínimo. Raíces reales distintas.

2) a > 0 ; mínimo. Raíces dobles.

3) a > 0; mínimo. Raíces imaginarias conjugadas.

4) a < 0. máximo. Raíces reales y distintas.

5) a < 0; máximo. Raíces dobles.

a < 0; máximo. Raíces imaginarias

Inecuaciones en una Variable:

Es una desigualdad literal que solamente se cumple para determinar valores de las variables.

Ejemplo: Resolver 3x + 2 < 2

3

3.(3x + 2) < 2 9x + 6 < 2 x < 2 - 6

9

x < -4

9

-1 0 1

-4

9

Ejercicios:

a) 5x - 4 < 3 - 2 c) 2x + 3x - 5 > 4 - x

4

4 - 6x - x > 4x + 6 d) 3x - 5 - 2 < 2x - 4

3 2 5

Inecuaciones de segundo grado en una variable:

Ejemplo: Representar gráficamente el trinomio y = x2 - 6x - 7

a = 1 aplica la ecuación de segundo grado

b = -6

c = -7

x = -b ± b2 - 4 . a . c

2 . a

x = 6 ± (-6)2 - 4 .(1).(-7) x = 6 ± 36 + 28

2 . 1 2

x = 6 + 64 x1 = 6 + 8 x1= 7

2

2

x2 = 6 - 8 x2 = -1

2

factorizamos y = (x-7).(x +1) se calcula el mínimo: y = 4.a.c - b2

4.a

y = 4 . 1.(-7) - (-6)2 y = -28-36 y = -16

4

x = - b x = - 6 x = -3

2.a 2

raíces x1 = 7 vértices x = 3

x2 = -1 y = - 16

Representación gráfica:

y

x

-1 0 -3 -7

-7

-16

Ejercicios:

a) Representar y = x2 - 6x + 9 b) Representar y = x2 +3x + 2

c) Representar y = x2 - 4x + 3 d) Representar y = x2 + 5x + 4

e) Representar y = x2 +6x + 5 f) Representar y = x2 - 8x + 7

Variación Ordinaria:

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.

Fórmula: Vm,n = m . (m - 1) . (m - 2) . (m - 3) .......... (m - n + 1) donde n! representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por definición.

Ejemplo: Calcular V10,3 m = 10

n = 3

V 10,3 = 10 . (10-1). 10(10-2) V10,3 = 10 . 9 . 8

V10,3 = 720

Ejercicios:

a) Calcular V7,2 b) Calcular V8,5

c) Calcular V12,4 d) Calcular V11,4

e) Calcular V9,6 f) Calcular V8,2

Ecuaciones de Variaciones:

Ejemplo: Resolver la ecuación 5Vx,2 = 30

5x(x - 1) = 30 5x2 - 5x = 30 5x2 - 5x - 30 = 0

Ecuación de 2do grado x = 5 ± 52 - 4 . 5 . (-30)

• . 5

x = 5 ± 25 + 600 x = 5 + 625

• 10

x = 5 + 25 x = 30 x1= 3

• 10

x2 = 5 - 25 x2 = -20 x2 = - 2 no es solución

10 10

Ejercicios:

a) Resolver 4Vx , 3 = 25 b) Resolver 6Vx , 4 = 12

c) Resolver 8V x , 2 = 10 d) Resolver 10V x , 6 = 20

e) Resolver 3V x , 3 + 2V x , 2 = 8x f) Resolver 4Vx , 2 +3V x , 3-10Vx,1= 42x

Permutaciones Ordinarias:

Una permutación es una variación, cuando m = n, o sea una permutación es una biyección del conjunto  en el conjunto A.

Fórmula : Pm = Vm , n = m . (m - 1) . (m - 2)..........(m - m + 1)

Ejemplo: Resolver P3,3

m = 3 P3,3 = 3.(3-1).(3-2)

n = 3 P3,3 = 3.2.1

P3,3 = 6

Ejercicios:

a) Resolver P4,2 b) Resolver P6,2 c) Resolver P8,5

d) Resolver P12,4 e) Resolver P9,3 f) Resolver P24,6

Combinación Ordinaria:

Dado un conjunto A = { a1 , a2 ......am } se denomina combinación ordinaria de” n” elementos de A, con n " m, a cualquier subconjunto de A con “n” elementos. Dos combinaciones se consideran igual si y solo si, están formados por los mismos elementos.

Fórmula: Cm,n = Vm,n

Pn

Ejemplo: Hallar C8,3

C8,3 = V8,3 = C8,3 = 8.(8-1).(8-2) = C8,3 = 8.7.6

P3 3.(3-1).(3-2) 3.2.1

C8,3 = 336 = C8,3 = 56

6

Ejemplo: Hallar Cx,3 = 2x

Cx,3 = x.(x-1).(x-2) = 2x = Cx,3 = x2 - 2x - x + 2 = 2

3.(3-1).(3-2) 6

Cx,3 = x2 - 3x + 2 = 12 = Cx,3 = x2 - 3x - 10 = 0

a = 1 x = 3 ± 32 - 4 . 1 .(-10) = x = 3 ± 9 + 40

b = -3 2 . 1 2

c = -10

x1 = 3 + 7 = x1 = 10 = x1 = 5

2 2

x2 = 3 - 7 = x2 = -4 = x2 = -2

2 2

Ejercicios:

a) C3,2 b) C8,3 c) C12,5 d) C7,3

e) Cx+ 1,2 = 2x f) Cx,4 = 3x g) Cx+ 2,4 = 6 h) Cx-2,6 = 9

Número Combinatorio:

a) Dados dos números naturales m ( " 0) y n, tales que m " n " 0, se denomina número combinatorio de m base n y se denota por m

n

b) Son los números de la forma m , también se les llama coeficientes binómicos

n

“m” es el numerador o base “n” es el orden.

Propiedades de los Números Combinatorios:

a) Todo número combinatorio cuyo orden es el número cero es igual a la unidad.

m = 1 ; m = m ; m = 1

0 1 m

b) Se dice que dos números combinatorios son complementarios cuando tienen el mismo numerador y los ordenes son tales, que sumados dan el numerador común.

m = m

n m - n

La suma de dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes consecutivos, es otro número combinatorio cuyo numerador es una unidad mayor y el orden es igual al del sumando que lo tiene mayor.

m + m = m + 1

n n + 1 n + 1

m! + m! = m! + m!

n!(m-n)! (n + 1)! (m-(n + 1)! n!(m-n)! (n + 1)! (m-n-1)!

Ejemplo: Resolver 20 = 20

3y+3 9y-7

(3y + 3) + (9y - 7) = 20

3y + 9y = 20 - 3 + 7 12y = 24

y = 24 = y = 2

12

Ejercicios:

a) Resolver 12 = 12 b) Resolver 7 = 7

x2 - 1 x2 + 5 4y + 2 2y - 1

c) Resolver 16 = 16 d) Resolver 20 = 20

5y - 1 2y + 3 -2y + 6 5y - 1

Triángulo de Tártaglia:

1 1

• 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

Ejemplo: Construir un triángulo con los lados, con números iguales a la unidad.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Binomio de Newton:

(a + b) = n a0 b0 n an-1 b n an-2 b2 + ………………

0 1 2

De la formula se deduce lo siguiente:

a) Los coeficientes de los diferentes términos corresponden a los elementos de las filas del triángulo de Pascal. Así, por ejemplo, los coeficientes de los términos de

(x + y)4 son los elementos de la cuarta fila del triángulo de Pascal.

b) El número de términos es una unidad mayor que el exponente del binomio.

c) Cuando nos movemos de un término al otro de izquierda a derecha, el exponente de x disminuye en 1, mientras que el de y se incrementa en 1.

Ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio (x + 1)5:

(x + 1)5 = 5 x510 + 5 x4 11 + 5 x3 12 + 5 x2 13 + 5 x1 14+ 5 x0 15

0 1 2 3 4 5

= 5! x5 + 5! x4 + 5! x3 + 5! x2 + 5! x + 5! x0

0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)! 3!(5-3)! 4!(5-4)! 5!(5-5)!

Ejercicios:

a) (x - y)3 b) (3x + y)4 c) (1 - x2)5

d) (2 + 2y)4 e) (4x - 2y)5 f) (2 + 3x)3

Sistema de Coordenadas en el espacio:

Sea E el espacio ordinario y sea R3 = {(a, b, c) / a ,b c; R/} donde R es el conjunto de los números reales.

 : E R3 / p (a, b, c)

Donde se va a representar a R3, con tres rectas llamadas r, s, t, donde junto con la función , lo llamaremos sistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se llamarán ejes de coordenadas. Si las tres rectas son perpendiculares entre sí, diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.

Eje r = eje de las x

Eje s = eje de las y

Eje t = eje de la z

Z

(t)

(s) y

( r ) a

x

Puntos en el Espacio:

Ejemplo: Dadas las rectas paralelas A1 y A2 . (A1 // A2) y las paralelas horizontales B1 y B2 . (B1 // B2) secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son puntos de corte. Representarlo gráficamente.

A1 A2

a b B1

c d B2

ab = paralelo cd y ac paralelo bd

Ejercicios:

1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos de corte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos de corte.

Vector Ligado:

Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta  de4 origen a y extremo b.

segmento

a b

Un vector ligado está determinado por:

a) Dirección ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Módulo.

Cuando el módulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero, vector nulo.

Componentes de un vector ligado:

El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular a = ( -4,7) ; b = (3,8)

ab = ( a2 - a1 , b2 - b1 ) ab = ( 3 - (-4) , 8 - 7)

ab = ( 7 , 1 )

Ejercicios:

1) a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7) 2) a = ( 5,8) ; b = (-6,9)

3) a = ( -4,-7) ; b = (-5,9) 4) a = ( 12,8) ; b = (-6,-9)

Vector Libre:

Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes ab forman la clase de dicho vector.

Vector Equipolente:

Son los que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. Geométricamente son iguales.

Vector Posición:

Llamamos vector posición ab al vector de origen a, ligado al mismo origen

Adición de Vectores:

Se define como la adición de a con b y se anota a + b el vector libre S de componente igual a la suma de los componentes.

S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ; S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,9) ; c = (-4,6) ; d = (-4,8)

e = (-5,-7).

1) a + b 2) a + b + c 3) a + b + d

4) b + c + e 5) a + c + e 6) b + d + e

7) a + d + c 8) b + e 9) b + e + d

Sustracción de Vectores:

Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.

Se anota : a - b = a + (-b)

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,9) ; b = (8,5) ; c = (-6,11) ; d = (6,4)

1) a - b 2) a - c 3) a - d 4) b - c

5) b - d 6) c - d 7) c - a 8) d - b

Producto de un vector por un número real:

Dado un vector a = (x , y) un número real K, llamamos producto del número real por el vector a, a otro vector cuyas componentes del vector por el mismo número real K . a = (K . x , K . y).

Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 . a ; -2 . a

3 . a = {3 . 3 , 3 . (-1)} = (9,-3)

-2 . a = {-2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ;

d = (-4/2,-3). Hallar :

1) 3 . a 2) -5 . b 3) 3/6 . c 4) 8 . d

5) -4/5 . b 6) " 2 . c 7) -4 . d 8) 7 . a

Combinación Lineal:

Un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b si existen números reales p y q tales que: u = p . a + q . b

Un vector puede ser combinación lineal de más de dos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (-1,3). Hallar los componentes del vector 3 . a + 2 . b

3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6)

2 . b = ( 2 . (-1), 2 . 3 ) = (-2,6)

3 . a + 2 . b = {9+(-2),6+6} = U = (7,12)

Ejercicios:

Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a - 4 . b

Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q

Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y

Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a - 4 . b

Vectores Colineales:

Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales es decir: uno es combinación lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5) expresar a como una combinación lineal de b y c.

a = p . b + q . c (3,4) = p(-1,0) + q(-3,5)

(3,4) = (-p-3q,0 +5q) = 3 = -p - 3q despejamos q: 4 = 5q

4 = 0 + 5q q = 4/5

despejamos p: 3 = -p-3q--------- 3 = -p-3(4/5)

3 = -p -12 -------- p = -12 - 3 = p = -27

5 5 5

empleamos una combinación: a = - 27 b + 4 c

• 5

Ejercicios:

1) Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y c = (-2,1)

2) Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y t = (3,5)

3) Expresar h = (-4,3) como combinación lineal de a = (2,3) y b = (-3,-1)

4) Expresar a = (3,7) como combinación lineal de b = (5,4) y c = (-3,5)

Vectores Linealmente Dependientes:

Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relación directa entre dos vectores dados inicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si en algún caso existe un escalar no nulo, son linealmente dependientes.

Ejemplo: Demostrar que x + y - 3 z , x + 3 y - z , y + z son dependientes.

Son dependientes si existen escalares 1 , 2 , 3 no todos nulos.

1 (x + y -3 z ) + 2 ( x + 3 y - z ) + 3 ( y + z )

1 x + 1 y - 31 z + 2 x + 32 y - 2 z + 3 y + 3 z = 0

Se asocian los vectores x , y , z , luego se eliminan los vectores x, y, z

1 + 2 = 0

1 + 32 + 3 = 0

-31 - 2 + 3 = 0

Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones dadas.

1 = - 2 3 = - 1 - 32 2 = 31 - 33

Vectores Linealmente Independientes:

Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, por ejemplo, es determinado, es decir, admite únicamente una solución y formar una base de R3.

Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes:

x + y +2 z , 4 x - 3 z , 2 x + 7 y

2 x + 3 y - z , 3 y - 4 z , x + y - z