NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES

1.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Paso de base 10 a base 5

234 5

34 46 5

4 1 9 5

4 1

Paso de base 5 a base 10

144 = 4 + 4 · 5 + 1 · 5² = 49

5

Forma polinómica de un número

n - 1 n

n = a + a · 10 + a · 10² + ...... + a · 10 + a · 10

0 1 2 n - 1 n

2.- M.C.D Y M.C.M DE DOS O MÁS NÚMEROS

Máximo común divisor (m.c.d)

Máximo común divisor de dos o más números (m.c.d) es el mayor de sus divisores comunes.

m.c.d (40 y 35)

40 2 35 5

20 2 7 7 40 = 2³ · 5 35 = 5 · 7

10 2 1

5 5 m.c.d = 5

1

Mínimo común múltiplo (m.c.m)

Mínimo común divisor de dos o más números (m.c.m) es el menor de sus múltiplos comunes.

m.c.m (40 y 35)

m.c.m = 5 · 2³ · 7 = 280

ECUACIONES Y SISTEMAS DE PRIMER GRADO

1.- IGUALDADES, IDENTIDADES Y ECUACIONES

Igualdades son expresiones numéricas separadas por el signo =. Pueden ser ciertas o falsas.

3 + 5 + 9 = 10 + 7

Las igualdades que son ciertas para cualquier valor de la variable o variables se llaman identidades.

(x + 2)·(x + 3) = x² + 5x + 6 (a - b)² = a² - 2ab + b² a (b + c)= ab + ac

Las igualdades algebraicas que sólo son ciertas para uno o más valores determinados de las variables se

llaman ecuaciones.

3x + 4 = 2x + 7 sólo cierta cuando x = 3

x² - 9 = 0 sólo cierta para x = 3 y x = -3

x = 4 + y es cierta para infinitos valores de x e y

2.- CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Según el número de incógnitas

De una: 5x + 3 =18

De dos: 5x + 3y = 2x + 5

De tres: 5x - 3y + 2z + 8 =25

Según su término de mayor grado

Ecuaciones de primer grado o lineales:

3x - 2 = 7

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

2x² + 3x - 2 = 5

Ecuaciones de grado n.

x - x ­¹ + ... 6x³ + 2x² - 3x + 1 = 0

Por el número de soluciones

Compatibles: Aquellas ecuaciones que tienen solución.

Compatibles determinadas: Aquellas que tienen un número determinado de soluciones.

3x + 2 = 8 Su solución es única, x = 2

x² - 9 = 0 Tiene dos soluciones, x = ± 3

Compatibles indeterminadas: Aquellas que tienen infinitas soluciones.

x = 4 + y Tiene infinitas soluciones.

Incompatibles: Aquellas ecuaciones que no tienen solución.

2x - 3 = 2x + 5

Por la forma de presentarse las variables

Enteras: Ninguna incógnita aparece en el denominador.

= 3x +

Fraccionarias: Alguna incógnita aparece en el denominador.

Racionales: Cuando ninguna incógnita aparece debajo del símbolo raíz.

Irracionales: Cuando aparece alguna incógnita debajo del símbolo raíz.

= 5x + 2

3.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS

Métodos algebraicos

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

4x - y = 15

x + 2y = 6 x = 6 - 2y x = 6 - 2

4 · (6 - 2y) - y = 15

24 - 8y - y = 15 x = 4

-9y = 15 - 24

-9y = -9

y = 1

MÉTODO DE IGUALACIÓN

4x - y = 15 x =

x + 2y = 6 x = 6 - 2y x = 6 - 2

x = 4

= 6 - 2y

15 + y = 4 · (6 - 2y)

15 + y = 24 - 8y

y + 8y = 24 - 15

9y = 9

y = 1

MÉTODO DE REDUCCIÓN

4x - y = 15

x + 2y = 6 y = y = 1

4x - y = 15 ( se multiplica por 2); 8x - 2y = 30

8x - 2y = 30

+ x + 2y = 6

9x = 36

9x = 36

x =

x = 4

Métodos gráficos

4x -y = 5 y = 4x - 5

2y + x = 8 y =

y = 4x - 5 y =

X		-2		0		2		4		6
Y		5		4		3		2		1
X	- 2		- 1		0		1		2
Y	- 13		- 9		- 5		- 1		3

7

6

5

4

3

2

1

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

SISTEMA INCOMPATIBLE

ECUACIONES Y SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO

1.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuaciones de la forma ax² = 0; con a " 0

X = ± 0

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0; con a y c " 0

ax² + c = 0; ax² = -c ; x² = x =

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0; a y b " 0

Tiene dos soluciones

Resolución de la ecuación completa

- b ± b² - 4ac

X =

2a

2.- INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

x - y < 1

10x + 5y

3.- SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Sistemas formados por una inecuación y una ecuación de primer grado

x - y < 1

x + y = 5

Región que cumple

x -y <1

Sistemas formados por una inecuación y una ecuación de segundo grado

x - y < 1

x² + y = 5

Sistema formado por dos inecuaciones

x - y < 1

x + y > 2

NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES

1.- OPERACIONES CON RADICALES

Suma

Producto

· = ³ · ² =

Cociente

Potencia

() = ()

()

Radicación

2.- EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL

PROGRESIONES. MATEMÁTICA FINANCIERA

1.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS. TÉRMINO GENERAL

a

2.- SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

S=

3.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. TÉRMINO GENERAL

a= a· r

4.- SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

S=

S = = , con r1

S = , con r < 1

5.- PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

P =

6.- INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

Interés simple

I = C· r · t

C = C· (1 + r + t)

Interés compuesto

C = C·

7.- ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

C =

10.- ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN

C = C

FUNCIONES

1.- LA FUNCIÓN LINEAL Y LA FUNCIÓN AFÍN

La función lineal

Cantidad (Kg) = x	0.5	1	2	3	4	5
Coste (Ptas.) = y	65	130	260	390	520	650

y = 130x

y = mx

La función afín

Distancia recorrida Km = x	0	100	200	300	400
Cantidad a pagar (Ptas.) = x	3000	4200	5400	6600	7800

y = 12x + 3000

y = mx + b

Rectas paralelas

Cuando dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente.

y = 2x - 3 (1,5)

y = 2x + b (1,5)5 = 2 · 1 + by = 2x + 3

5 = 2 + b

5 - 2 = b

b = 3

y = 2x + 3

y = 2x - 3

2.- LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función y = x²

X	-2	-1	0	1	2	3
Y	4	1	0	1	4	9

Vértice de la parábola

ax² + bx + c = 0

x=

3.- SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

4x + 2y 2x + y

2x + 2y x + y

FUNCIONES POLINÓMICAS

1.- SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

P(x) = 4x³ + 5x² - 6 Q(x) = 7x² -3x + 5

P(x) = 4x³ + 5x² - 6 P(x) = 4x³ + 5x² - 6

+ Q(x) = 7x² - 3x + 5 - Q(x) = -7x² + 3x - 5

P(x) + Q(x) = 4x³ + 12x² - 3x -1 P(x) - Q(x) = 4x³ - 2x² + 3x - 11

2.- PRODUCTO DE POLINOMIOS

P(x) = -2x³ + 7x - 5 Q(x) = x² + 3

-2x³ + + 7x - 5

X x² + 3

- 6x³ + 21x - 15

- 2x + 7x³ - 5x²

- 2x + x³ - 5x² + 21x - 15

P(x) · Q(x) = -2x + x³ - 5x² + 21x - 15

3.- COCIENTE DE POLINOMIOS

P(x) Q(x) P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

R(x) C(x)

Regla de Ruffini

P(x) = 4x³ - 6x² + 5x - 11 / x - 2

4 -6 5 -11 4x³ - 6x² + 5x - 11 x - 2

2 8 4 18

- 4x³ + 8x² 4x² + 2x + 9

4 2 9 7

2x² + 5

- 2x² + 4x

9x - 11

- 9x + 18

C(x) = 4x² + 2x + 9 7

R(x) = 7

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

1.- APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Interés compuesto

C = C

Interés continuo

C = C· e

Crecimiento de poblaciones

P = P· e

Curvas de decrecimiento exponencial

R = cantidad inicial

R = R· e donde R = cantidad final

K = constante asociada al elemento

2.- ECUACIONES Y SISTEMAS EXPONENCIALES

Ecuaciones exponenciales

2

2x - 3 = 3x + 3 x = -6

3

, llamamos 3= t

; t + 9t - 3t = 189 t = 27

Si t = 27, 3

Para resolver 2 · 3hacemos = t

2t - t² + 3 = 0

t =

Si t = 3, 3 y si t = -1, 3que no tiene solución.

Sistemas exponenciales

x - y = 2 x = 2 + y x = 2 + y

2 2 2

2de donde y = 1, x = 3

2 2 x + 2y = 5

2 2 3x - 5y = 4

x = 3 e y = 1

3.- PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

El logaritmo de 1 en cualquier base vale 0.

log1 = 0; a= 1; a, luego log1 = 0

El logaritmo de la base, para toda base, es 1.

loga = y; a= a , luego loga = 1

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

log

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

log

El logaritmo en base a de un número x se puede obtener a partir de los logaritmos en base b de x y de a.

log

4.- SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación polinómica y otra logarítmica

x + y = 22

log x - log y = 1

x + y = 22 x + y = 22 x + y = 22

log x - log y = log 10 log = log 10 =10

x = 20, y = 2

Dos ecuaciones logarítmicas

logx + 3 logy =5

2 logx - logy = 3 se multiplica por 3

logx + 3 logy = 5

6 logx - 3 logy = 9

7 logx = 14, logx = 2 x = 2² = 4, y = 2

Una ecuación logarítmica y otra exponencial

log (x + 7) + log (y - 1) = log 40

e

log = log 40 (x + 7)(y - 1) = 40

e= e x + y = 8

x = 3, y = 5

FUNCIONES Y GRÁFICAS

1.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Al conjunto de valores de x para los cuales existe la función se llama dominio.

2. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Los puntos de corte de la función y = "(x) con el eje OX (y = 0) satisfacen la condición: "(x) = 0.

Los puntos de corte de la función y = "(x) con el eje OY (x = 0) satisfacen la condición: "(x) = 0.

3. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Asíntotas horizontales

Las funciones racionales de la forma y = tienden a cuando x tiende a . La recta y = es

una asíntota horizontal.

Asíntotas verticales

En las funciones racionales de la forma y = , el valor de x que anula el denominador y no anula el

Numerador, determina una asuntota vertical en la ecuación x = -.

ESTADÍSTICA: TABLAS, GRÁFICOS Y PARÁMETROS

1.- FRECUENCIAS Y TABLAS

El número que expresa el número de veces que aparece cada valor de la variable es la frecuencia absoluta.

Se expresa por .

Dividiendo las frecuencias absolutas por el número total de observaciones, n, obtenemos las frecuencias

relativas h: h

La frecuencia absoluta acumulada F es la suma de la frecuencia aboluta de cada valor con las frecuencias

absolutas anteriores.

La frecuencia relativa acumulada Hes la de suma de cada frecuencia relativa con las anteriores.

2.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media aritmética (X)

La media aritmética de una serie de valores se obtiene sumándolos y dividiendo la suma por el número de

valores.

x =

Mediana (Me)

Mediana o valor central de un conjunto ordenado de valores de una variable es un valor, tal que la mitad de

los valores son iguales o inferiores a él, y la otra mitad iguales o superiores. Se representa por Me.

3.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Rafael: 5, 7, 7, 7, 9

Alicia: 2, 6, 8, 10, 9

Desviación media (DM)

La media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media se llama desviación

media. DM

En Rafael:

DM =

En Alicia:

DM =

Varianza (V)

El cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones y el número de datos se llama varianza. (V)

En Rafael:

V =

En Alicia:

V =

Desviación típica ()

Desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

En Rafael:

 = = 1'26

En Alicia:

 = = 2'83

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

1.- RECTA DE REGRESIÓN

Covarianza ()

Recta de ajuste o recta de regresión

2.- COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

r =

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1.- PROBABILIDAD

nº de casos favorables al suceso

Probabilidad =

nº de casos posibles

2.- PROBABILIDAD CONDICIONADA

P(B/A) = con P(A) > 0

3.- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

4.- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Variable aleatoria discreta

P(a < X " b) = F(b) - F(a)

Variable aleatoria continua

P(a < X " b) = F(b) - F(a)

5.- ESPERANZA MATEMÁTICA

E(X) = p + p + ... + p

6.- VARIANZA

V(X) =