Unidad 1. Números.

DEFINICIÓN Y ORDENACIÓN DE R.

OPERCAIONES Y PROPIEDADES DE R.

CONVERSIÓN DE FRACCIÓN A Nº DECIMAL Y VICEVERSA.

POTENCIAS.

INTÉRVALOS.

NOTACIÓN CIENTÍFICA.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN LA RECTA.

DEFINICIÓN Y ORDENACIÓN DE R:

Números naturales:

Es un conjunto que se representa con la letra N: N

Números enteros:

Es un conjunto de números que se representa por la letra Z:

Podemos observar que el conjunto Z tiene subdivisiones:

Números negativos: se representa por

Números positivos: se representa por

Elemento neutro: el cero. Se representa por

Números racionales:

Es un conjunto que se representa por la letra Q (Q), y que se pueden escribir de la forma Algunos de ellos son: , donde los denominadores NO PUEDEN SER IGUAL A CERO, es decir:

Números irracionales:

Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Algunos son:

Gráficamente:

De este “saco” anterior sacamos las siguientes teorías elementales, llamadas “teoría de conjuntos”:

NOTA: “” significa “unión” y “” significa “subconjunto”.

1.2. OPERACIONES Y PROPIEDADES DE R:

R + - .

Conmutativa (ausente) (ausente)

Asociativa (ausente) (ausente)

Distributiva (ausente) (ausente)

Elemento

Neutro

Elemento

Opuesto (ausente)

(Aquí se llama

elemento inverso)

1.3. CONVERSIÓN DE FRACCIÓN A Nº DECIMAL Y VICEVERSA:

Todo número fraccionario se puede expresar en forma de número decimal. Este número decimal podrá ser:

Decimal exacto: ej.: 2,37 2parte entera y 37parte decimal.

Decimal periódico puro: parte entera y parte periódica.

Decimal periódico mixto: parte entera, 6parte decimal no periódica y parte periódica.

Para expresar una fracción en forma decimal bastará con dividir el numerador entre el denominador:

Es un número decimal exacto.

Es un número decimal periódico puro.

Es un número decimal periódico mixto.

Por el contrario, podemos expresar un número decimal en forma de fracción (salvo que tenga infinitas cifras decimales no periódicas). Lo haremos así:

Decimal exacto:

Numerador: mismo número pero sin la coma.

Denominador: la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales posea la expresión.

Decimal periódico puro:

Numerador: mismo número sin coma menos la parte entera.

Denominador: tantos nueves como cifras decimales tenga la expresión.

Decimal periódico mixto:

Numerador: mismo número sin coma menos el mismo número sin el período.

Denominador: tantos nueves como cifras halla en el período seguido de tantos ceros como cifras halla en el antiperíodo (parte decimal del número situada entre la coma y el período).

1.4. POTENCIAS:

Vamos a estudiar dos tipos de potencias, por separado. Primero las de exponente entero y después las de exponente racional.

Pero, ¿qué es una potencia?

Una potencia es una forma más simple de escribir números muy grandes o muy pequeños. Consta de dos partes, la base y el exponente:

, donde

1.4.1. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO:

Se llama potencia de exponente entero al número que cumple:

veces), donde

Importante

Por definición, Ej.:

NOTA: para las potencias de exponente entero se cumplen las mismas propiedades que para las potencias de exponente natural. Veámoslas:

n

excepto si ya que

1.4.2. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL:

Se llama potencia de exponente racional a aquélla cuyo exponente es un número racional, es decir, fraccionario. Por ejemplo: es una potencia de exponente racional.

Además, las potencias de exponente racional tienen una propiedad especial, y es que se pueden escribir en forma de raíz.

Dado un número real a, se llama raíz enésima (o radical de índice n) de a a todo número real que verifique Se escribe

Por definición, ya que

Además, no está de menos destacar que

Ejemplo: calcular

Información general de los radicales:

El signo recibe el nombre de raíz y se escribe .

El número del interior de la raíz se llama radicando. En este caso es a.

El número n recibe el nombre de índice.

Al operar con radicales, debemos tener en cuneta que:

Producto raíces mismo índice:

Cociente raíces mismo índice: :

Raíz de una raíz: .

iv. Sacar números fuera raíz:

No siempre es posible. Sólo si la potencia del radicando es mayor o igual

el índice de la raíz. Para efectuar estas operaciones recurriremos a la

descomposición factorial del radicando:

No se puede sacar nada fuera de la raíz.

v. Sumar y/o raíces semejantes:

Racionalización de denominadores:

Si el denominador contiene un solo término formado por una raíz cuadrada se

multiplica numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se ha de multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador. Fórmula igualdad notable:

Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice n, multiplicamos numerador u denominador por otra raíz de índice n que sea capaz de completar una potencia de exponente también n.

Conociendo así todo esto ya podemos operar libremente. Ejemplos:

1.5. INTÉRVALOS:

Intérvalo: es una notación que indica un rango de números determinados. Así,

Intérvalos abiertos: , donde x es un nº entre a y b.

Se escribe entre paréntesis, lo que significa que a y b no están dentro del intérvalo.

Intérvalos cerrados: donde x es un nº entre a y b.

Se escribe entre corchetes, lo que significa que a y b están dentro del intérvalo.

Otros intérvalos constan de corchete y paréntesis, pero no poseen un nombre específico; no son “semicerrados” o “semiabiertos”. Simplemente son como “una mezcla”:

Intérvalos con . Con infinito, siempre pondremos paréntesis, ya que infinito no es un número sino una convicción, difícil de explicar:

El último intérvalo es tan amplio que representa a todos los números reales.

1.6. NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Es un método abreviado de escribir números macroscópicos (muy grandes) o microscópicos (muy pequeños). Se representa por . Para que un número esté en notación científica, debe cumplir que: .

Ejemplos:

No es notación científica, por ejemplo, la expresión ya que ; ni ya que

¡Sabías qué! Interesante:

Recuerda:

El diámetro de un microbio jerarquía de las operaciones

es de y la

distancia de la Tierra al Sol 1. Paréntesis y corchetes

es de . Además, 2. Potencias y raíces.

el nº tiene un nombre 3. Productos y divisiones.

propio: gúgol. El nombre de 4. Sumas y restas.

lo puso un sobrino de 7 años

del matemático Kasner, y,

pese a ser mayor al número

total de átomos del Universo,

algunos matemáticos lo

utilizan para complicados

cálculos macroscópicos y

cálculos de límites.

1.7. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN LA RECTA REAL:

Números reales: los números reales se pueden representar en una recta llamada recta real. Es la siguiente:

0

Hemos representado, así, el nº 0, el 3, el -4 y el ¾ en la recta real. Como su nombre indica, no es un segmento, sino una recta, ya que no tiene ni principio ni final.

Según qué números, es más fácil o más difícil orientarlos en la recta. La recta ha de estar segmentada en partes iguales, y cada segmento corresponde a un número real. La distancia entre dos segmentos de la recta ha de ser la misma, ya que la sustracción de dos números reales consecutivos entre sí es siempre la misma.

El conjunto real es un conjunto lleno, esto es, que no hay espacios libres entre los números. Por ejemplo, entre el 3 y el 4 no hay espacio vacío porque hay infinitos números, entre los cuales están el nº 3,4 y 3,5; entre otros. Y entre el 3,4 y 3,5 están infinitos números más, y así sucesivamente.

Para representar algunos números existen tácticas diferentes. Por ejemplo representar el 3.5 es muy sencillo pero, ¿para representar Para ello recurrimos a la geometría. Podemos utilizar el teorema de Pitágoras, ya que un triángulo rectángulo de catetos 1cm. tiene hipotenusa de 2cm. Así;

c=1cm.

-1 0 c=1cm. 1 2

Ahora hazlo tú

Opera:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Expresa en forma de fracción:

3,54=

2,574=

0,01=

¿Crees que Razona tu respuesta.

Calcula:

4,5555…. + 3,44444… =

6,000… + 1,2222… =

1,999… + 2,9999… =

10,999… + 6,569999… =

Expresa en forma decimal:

Escribe un número comprendido entre:

a)

Representa en la recta real los siguientes números: 2, 0, -7, ¼, -2/-4 y

Opera:

a)

b)

c)

d)

Escribe en notación científica:

2 000 000 =

4 500 000 000 000 000 000 000 000 000 =

0,000 000 000 000 003 =

4 500 =

Un millón

Dos billones

Cinco trillones

Gúgol

Aplica la propiedad distributiva y calcula (sacar factor común):

a)

b)

c)

d)

Expresa mediante intérvalos el conjunto real que:

Son menores que

Son menores o iguales que

Son mayores o iguales que cero.

Son menores que

Di que conjunto real expresan los siguientes intérvalos:

a)

b)

c)