Series y sucesiones

Sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.

Una sucesión se representa como a1, a2 …, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16 … La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …; que se conoce como sucesión de Fibonacci.

Entre los tipos más importantes de sucesiones se encuentran las sucesiones aritméticas (también conocidas como progresiones aritméticas), en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante; y las sucesiones geométricas (también conocidas como progresiones geométricas), en las que la razón entre dos términos sucesivos es constante. Un ejemplo de sucesiones se encuentra al intentar calcular los intereses de un cierto capital. Si el dinero se invierte al interés simple del 8%, entonces en n años la cantidad de dinero inicial P se ha convertido en an = P + n × (0,08)P. El mismo producto (0,08)P se añade cada año, por lo que las cantidades an forman una progresión aritmética. Si el interés es compuesto, las cantidades ahorradas forman una progresión geométrica, gn = P × (0,08)n. En ambos casos, está claro que an y gn llegarán a ser mayores que cualquier número entero imaginable.

Sin embargo, los términos de una sucesión no tienen por qué crecer siempre. Por ejemplo, a medida que n crece, la sucesión an = 1/n se acerca a 0, que es su límite; y bn = A + B/n tiende hacia A. En este tipo de sucesiones, existe un número finito L tal que, dada una tolerancia e, los valores de la sucesión difieren de L en una cantidad menor que e cuando n es lo suficientemente grande. Por ejemplo, en el caso de la sucesión 2 + (-1)n/2n, el límite es L = 2. Incluso si se toma una e tan pequeña como 1/10.000, se puede comprobar que para n mayores que 5.000 la diferencia entre an y L es menor que e. El número L se denomina límite de la sucesión, y aunque algunos de los términos de la sucesión son mayores y otros menores que L, los términos finalmente se agrupan alrededor de L cada vez más cerca. Cuando una sucesión tiene un límite L, se dice que converge hacia L. Para la sucesión an, por ejemplo, esto se escribe como lim an = L, que se lee “el límite de an cuando n tiende hacia infinito es L“.

El término serie designa la siguiente suma, a1 + a2 + … + an, o a1 + a2 + … + an + …, que es la suma de los términos de una sucesión. Una serie es finita o infinita dependiendo de si la correspondiente secuencia de términos es finita o infinita.

La sucesión s1 = a1, s2 = a1 + a2, s3 = a1 +a2 + a3, …,sn = a1 + a2 + … + an, …, se denomina sucesión de sumas parciales de la serie a1 + a2 + … + an + … La serie es convergente (divergente) si la sucesión de sumas parciales converge (diverge). Una serie de términos constantes es aquella en la que los términos son números; una serie funcional es aquella en la que los términos son funciones de una o más variables. Un caso especial es la serie de potencias, que es la serie a0 + a1(x - c) + a2(x - c)2 + … + an(x - c)n + …, en la que la c y la a son constantes. Para la serie de potencias, el problema es encontrar los valores de x para los que la serie es convergente. Si la serie converge para una cierta x, entonces el conjunto de todas las x para las que la serie converge es un punto o un intervalo. La teoría básica de la convergencia fue estudiada alrededor de 1820 por el matemático francés Augustin Louis Cauchy.

La teoría y el uso de las series infinitas son importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas tanto, puras como aplicadas.

Progresión aritmética

Secuencia de números que crecen o decrecen en una cantidad fija llamada razón, de manera que cualquier número de la sucesión es la media aritmética o término medio del número anterior y el siguiente. Los números naturales 1, 2, 3, 4 forman una progresión aritmética de razón 1. Los números 22, 19, 16, 13, 10, 7 están en progresión aritmética de razón -3. Para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética, se multiplica la suma del primer y el último término por la mitad del número de términos. De este modo, la suma de los diez primeros números naturales es (1 + 10) × (10 : 2) = 55.

Usando el lenguaje algebraico, una progresión aritmética se escribe como a0, a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d, … donde tanto el término a0—conocido como el término cero— como la razón d son números arbitrarios. El término enésimo de esta progresión—generalmente escrito como an— está dado por la siguiente fórmula: an = a0 + n d. La suma de los términos de a0 a an es: 1 (n + 1) (a0 + an).

Progresión geométrica

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresión finita, n es el número de términos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como

y una progresión geométrica infinita como

En general, si el término enésimo de una progresión geométrica es an, se deduce de la definición que

Si el símbolo Sn representa la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, se puede comprobar que

Los términos de una progresión geométrica entre ai, y aj, con i < j, se denominan medias geométricas. La media geométrica de dos números positivos x e y es la media proporcional de dichos números ». En cualquier progresión geométrica, an es la media geométrica o proporcional de an-1 y an+ 1.

La suma formal de los términos de una progresión geométrica, escrita como

se denomina serie geométrica. Al estudiar esta serie, se comprueba que converge si y sólo si el valor absoluto de la razón es menor que 1; si esto no ocurre, la serie diverge. Si la serie converge, el límite S es igual a

El símbolo
se lee como "límite de Sn cuando n tiende hacia infinito".

Las series y progresiones geométricas tienen muchas aplicaciones en las ciencias físicas, biológicas y sociales, y también en cálculos bancarios y financieros. Muchos problemas de interés compuesto y anualidades se resuelven utilizando estos conceptos.

Cauchy, Augustin Louis (1789-1857), matemático francés, considerado uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX. Nació en París y estudió en la Escuela Politécnica de esta ciudad. Fue profesor simultáneamente en el Colegio de Francia, en la Escuela Politécnica y en la Universidad de París. En 1848 fue nombrado profesor de astronomía matemática de esa universidad.

Cauchy verificó la existencia de funciones elípticas recurrentes, dio el primer impulso a la teoría general de funciones y sentó las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de series infinitas. También perfeccionó el método de integración de las ecuaciones diferenciales de primer grado. En el campo de la física se interesó por la propagación de la luz y la teoría de la elasticidad.

Gauss, Carl Friedrich (1777-1855), matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo.

Nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudió lenguas antiguas, pero a los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. A raíz de este descubrimiento abandonó sus estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas. Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra. Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas.

Más tarde, Gauss dirigió su atención hacia la astronomía. El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801, y puesto que los astrónomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho interés hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También planeó un nuevo método para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemáticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte.

Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronomía teórica como práctica, trabajó sobre todo en matemáticas y en física matemática, abarcando prácticamente todas sus ramas. En la teoría de números desarrolló el importante teorema de los números primos. Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídia, pero no publicó estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss. Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesiagt. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes.