MATEMÁTICAS ESPECIALES II

EJERCICIOS CHURCHILL

Probar que:

a) Log ( -ei) = 1 - /2i;

Por propiedades de logaritmos:

Pero:

Entonces:

Se sabe que por la definición de la función logaritmo:

Entonces:

Por lo tanto:

b) Log (1-i ) = ½ Log 2 - /4i

Como se dijo en anteriormente:

Entonces:

Por Lo tanto:

Y por propiedades del logaritmo:

2. Probar que cuando n = 0, ±1, ±2, …

log e = 1 + 2ni

Por propiedades de la función exponencial:

Entonces:

Por lo tanto:

log i = (2n + ½)i

Tenemos que i = 0+i, o en coordenadas polares:

Pero:

Entonces:

c)

En notación polar:

Con:

Entonces:

Por lo tanto:

3. Probar que Log[(1+i)2] = 2 Log (1+i) pero Log[(-1+i)2]"2 Log(-1+i)

Usando la definición del logaritmo principal:

Nótese que se utiliza el argumento principal el cual se define como:

Entonces analizando los argumentos de ambas expresiones:

Entonces:

Pero:

Entonces se concluye que

4. Probar que:

a) Si log z = Log r + i  con /4 <  < 9/4, entonces log (i2) = 2 log i

b) Si log z = Log r + i  con 3/4 <  < 11/4, entonces log (i2) " 2 log i

En este ejercicio se toma  como el ángulo del número complejo operado por el logaritmo sea este i2 o i.

Para esta parte el ángulo de i2 es  que está dentro del rango y para i es /2 que también está incluido.

Por otro lado:

En la segunda parte, el ángulo de i2 es  debido a la condición de intervalo; para i, el ángulo es de 5/2 para quedar dentro del intervalo.

Además:

Probar que a) el conjunto de valores de log(i1/2)=(n + 1/4)i y es igual al de (1/2)log(i); b) el conjunto de log(i2) NO es igual al de 2 log(i).

a)

b)

Hallar las raíces de la ecuación:

Dada la determinación log z = log r + i , de log z que es analítica en cada punto de su dominio, probar que su derivada en cada punto es 1/z .Demostrarlo derivando ambos miembros de la ecuación siguiente:

Si el punto z = x + iy está en la banda horizontal  <  < +2, probar que cuando se usa la determinación:

de la función logaritmo, entonces log (ez) = z

Se usa la restricción para hacer n = 0 y poder escribir el último paso.

9. y 10. Probar que para todo par de números complejos no nulos z1 y z2

además que cuando Re(z1), Re(z2).

El signo de la parte real de los dos complejos puede ser igual(a) o no(b), si es igual:

-<a,b< y 1,2=a,b respectivamente; por el contrario, si difiere 1,2=a,b2n, teniendo a -<a,b< siempre.

Con signos iguales en Re(z) 1=a y 2=b

Con signos diferentes 1=a y 2=b2

11. Dado que Arg. (z1/z2) = Arg. z1 - Arg. z2, comprobar para log(z1/z2) que:

Tomando dos valores concretos no nulos de z1 y z2, probar que la propiedad [6], sección 26, no es siempre válida si log es sustituído por Log.

Se hace z1 = -1 - i

Y z2 = i

Entonces:

Como se dijo anteriormente:

Y además cuando
arg(z) = Arg(z), entonces:

Analizando los dos argumentos:

y

Entonces:

Por lo tanto:

13. Comprobar que:

14. Probar que en los puntos z = x + iy, la función:

Tomando z = x + iy

R = (x2 + y2)1/2

 = tan-1 (y/x)

15. Probar que:

a) La función Log(z - i) es analítica en todo el plano salvo sobre la semirrecta y =1(x"0)

f(z) es analítica si tiene derivada en todos los puntos de una región.

Por definición la derivada de la función logaritmo es:

Entonces
donde

Realizando las derivadas parciales y comprobando las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemman

Por lo tanto:

Y f'(z) es analítica en todo el plano excepto en cualquier punto de la semirrecta y =1(x"0).

La función es analítica en todo el plano salvo en los puntos y sobre la parte x " -4 del eje real.

Expandiendo:

Por lo tanto es analítica en todo el plano menos en los puntos z =
y sobre la parte x " -4 del eje real.

17. Probar que:

18. Demostrar que [8], sección 36, también cumple cuando n es un entero negativo.