ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

TRIÁNGULOS

Ecuaciones incompletas

Una ecuación simplificada es aquella en donde no hay términos semejantes.

Una ecuación con una variable es de segundo grado si, en su forma simplificada, el exponente mayor de la variable es 2 por ej:

1) La ecuación x2=36 es de segundo grado

2) La ecuación 2x2-6x+3=3 presenta términos semejantes; pero si se realizan operaciones, se obtiene 2x2-6x=0, que es una ecuación de segundo grado

3) Como la ecuación x(x-1)=3x-3 no esta simplificada, resulta difícil de terminar si es de segundo grado. Si se efectúa la operación indicada por el paréntesis se pasan todos los términos semejantes, se obtiene lo siguiente x2-x=3x-3 x2-x-3x+3=0 x2-4x+3=0, la ecuación final es una ecuación de segundo grado.

Una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 es una ecuación de segundo grado con variable x.

Si b=0, la ecuación es incompleta. Por ej:

Cuando b=0 Cuando c=0

3x2-12=0 3x2-5x=0

x2-36=0 x2-6x=0

x2-2=0 -7x2+42x=0

ESQUEMAS DE SOLUCIÓN DE LA FORMA AX2+C=0

ax2+c=0

x2=c/a

x1= "c/a x2= -"c/a

SOLUCIONES

ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2+bx=0

(CUANDO C=0)

Se resuelve de la siguiente manera

1.-Se saca x como factor común:

3x-5x=0

x(3x-5)=0

La expresión x(3x-5) es un producto de dos factores (x y 3x-5) este producto es igual a 0 solamente si un factor vale 0.

Es decir x(3x-5) es 0 solamente si x=0 ó (3x-5)=0.Entonces, x=0 es una solución. Otra solución se obtiene si (3-5) es igual que 0; en este caso, el valor de x se encuentra despejando esta variable 3x-5=0 3x=5 x=5/3.

Las soluciones de la ecuación 3x-5x=0 son x1=0 y x2=5/3

Comprobación

X=0

3x2-5x=0

3+(0)2-(0)=0

0=0

ESQUEMAS DE SOLUCIÓN DE LA FORMA AX2-BX=0

ax2+bx=0

x(ax+b)=o

x1= 0 ax+b= 0

x1=0 x2= -b/a

SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

En temas anteriores se estudiaron los casos de producto de binomios: conjugados, elevados al cuadrado y con término común.

Todos ellos dan como resultado polinomios de segundo grado.

(x-d)(x+d)=x2-d2 Conjugados

(x-d)2=x2-2dx+d2 Binomio al cuadrado

(x+d)=x2+2dx+d2 Binomio al cuadrado

(x+d)(x+e)=x2+(d+e)x+de Término común

También se estudio el proceso inverso:

Expresar una ecuación de la forma x2+bx+c como el producto de 2 binomios; esta transformación recibe el nombre de factorización.

Un método para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado consiste en factorizarla. Por ej:

X2-3x+2=(x+2)(x-1)=0

(x-2)(x-1)=0 (x-2)(x-1)=0

x-2=0/(x-1) (x-1)=0/(x-2)

x-2=0 x-1=0

x1=2 x2=1

Una vez que la ecuación esta factorizada el problema de encontrar sus soluciones equivale a encontrar las soluciones (x-2) por (x-1) solo es cero si (x-2)=0 o (x-1)=0. Por lo tanto, las ecuaciones de segundo grado son las soluciones de esta ecuación. (x2-3x+2=0)

Resolver la siguiente ecuación por factorización

X2-x-2=0

X2-x-2=(x-2)(x+1)=0

(x-2)(x+1)=0 (x-2)(x+1)=0

(x-2)=0/(x+1) (x-1)=0/(x-2)

x=2+0 x=0-1

x1=2 x2=-1

Si la ecuación se factoriza como un binomio al cuadrado [a2+2ab+b2=(a+b)2] solo hay una solución. Por ej:

X2-12x+36=0 (x-6)2

"x2=x

"36=6

"(x-6)2="0

x-6=0

x=6

FÓRMULA GENERAL

Solución por medio de la fórmula general

La fórmula general de una ecuación de segundo grado con una incógnita es ax2+bx+c=0.

A continuación se resuelve dicha ecuación.

El término independiente se pasa al segundo miembro.

ax2+bx=-c

La igualdad se divide entre a.

X2+b/a(x)= -c/a

Si b/a (x) se expresa como 2(x)(b/2a) se observa que sumando (b/2a)2 se completa un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro:

X2+2x(b/2a)+(b/2a)2= -c/a+(b/2a)2

X2+2x(b/2a)+(b/2a)2= -c/a+b2/4a2

Se factoriza el primer miembro de la igualdad y se desarrollan las fracciones algebraicas en el segundo miembro.

(x+b/2a)2=b2-4ac/4a2

Se extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad.

"(x+b/2a=_+"b2-4ac/4a2 x+b/2a=_+ "b2-4ac/4a2

x= -b/2a_+"b2-4ac/4a2 x= -b/2a_+"b2-4ac/"4a2

x= -b/2a_+"b2-4ac/2a x= -b_+"b2-4ac/2a

TRIÁNGULOS

Elementos de un triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. En el se distinguen los siguientes elementos:

Vértices: A, B, C

Lados: a, b, c

La letra minúscula designa el lado opuesto del vértice con la letra mayúscula correspondiente.

Ángulos interiores:  =alfa, = beta y =gama.

Ángulos exteriores: 1, 2, 3.

Por sus lados, los triángulos se clasifican así:

Equilátero: Tiene 3 lados iguales.

Isósceles: Tiene 2 lados iguales.

Escaleno: Tiene 3 lados diferentes.

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican así:

Rectángulo: Un ángulo es recto.

Acutángulo: Tres ángulos interiores agudos.

Obtusángulo: Un ángulo interior obtuso.

Un triángulo es equilátero si sus tres lados son iguales.

CONGRUENCIA

Dos figuras son congruentes si al superponerse coinciden todos sus puntos. Los lados y ángulos que coinciden se llaman correspondientes; entonces dos figuras congruentes tienen la misma forma y tamaño.

Dos triángulos son congruentes si los tres lados y los tres ángulos correspondientes son congruentes.

Sin embargo, dados dos triángulos no es necesario conocer las medidas de los seis elementos de cada figura para determinar su congruencia; basta conocer los datos de tres elementos bien elegidos.

Estos elementos se definen en los siguientes criterios.

Dos triángulos son congruentes si:

Los tres lados correspondientes resultan congruentes.

Dos lados correspondientes y el ángulo que forma son congruentes.

Dos ángulos correspondientes y un lado común son congruentes.

Propiedades de los ángulos

En todos los triángulos, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos, de lo contrario, los lados menores no podrían unirse para formar un vértice.

En cualquier triángulo, la suma de los ángulos interiores es de 180º. Esto se demuestra a continuación:

Si el triángulo A, B, C se traza una línea paralela al lado AB que pase por el vértice C; y se forman los ángulos 1, 1.

El ángulo alfa es igual que el ángulo alfa prima 1, porque son alternos internos entre dos paralelas y una transversal.

El ángulo beta  es igual que el ángulo beta prima 1 pues también son alternos internos.

Los ángulos alfa prima 1, beta prima  y gama  suman 180º porque están sobre una línea recta; por las igualdades de los dos incisos anteriores, alfa  , beta  y gama  suman 180º.

C

1 1



 

A B

Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

Se localiza el punto medio del lado desigual A, B y se denomina R. Se traza el segmento que une el punto medio con R con el vértice opuesto.

El triángulo isósceles queda dividido en dos triángulos que son congruentes porque los tres lados correspondientes son congruentes. El lado AC es igual que BC por ser lados iguales de un triángulo isósceles; el lado CR es común a los dos triángulos y el lado AR es igual que BR porque R es el punto medio del segmento AB

Por el criterio de congruencia número uno los triángulos ARC y BRC son congruentes y por lo tanto sus tres ángulos son iguales. Entonces en particular sus ángulos   son iguales.