I) Indicaciones generales

Este trabajo práctico propone una serie de ejercicios e indicaciones para que se realicen de manera grupal, esto es, grupos de 2 ó 3 alumnos. Se proponen ejercicios tanto de operatoria como de representación gráfica. Cada grupo debe resolverlos y luego presentar un informe individual.

Si quieres verificar los resultados obtenidos con la calculadora gráfica o algún software matemático, lo puedes hacer, y presentarlo, pero debes realizar también los gráficos con lápiz, indicando en los mismos los datos hallados.

Tamaño de hoja: A4

Márgenes simétricos

Márgenes: Superior: 2.5 cm

Inferior: 3.0 cm

Interior: 2.0 cm

Exterior: 1.5 cm

Se debe presentar los enunciados de los ejercicios antes de la realización de cada uno de ellos.

Este trabajo práctico se debe presentar el 11 de agosto de 2004 (sin excepción)

Días de consulta: jueves 15 de julio ( 8 hs. hasta 9:30 hs.)

jueves 5 de agosto (8 hs. hasta 9:30 hs.)

También puedes consultar al mail de la cátedra

II) Bibliografía para consultar

Apuntes de cátedra

Cuadernillo de ingreso 2004

Matemática con MATEMÁTICA - Brutti-Brutti-Benitez (CALCULO I: Capítulo III y Capítulo IV)

Larson, R. - Hosteller, R.- “Cálculo” (Vol.1 y Vol.2). McGraw Hill. 1996

III) Ejercicios Propuestos

Límites

E1: Calcular a)
=; b)
; c)
; d)

e)
; f)
; f)

E2: Dadas las gráficas de y = f(x) completar la tabla indicada, calculando los límites indicados en cada columna.

Figura I Figura II Figura III

Figura	x a+	x a-	x a	x + "	x - "	f(a)
I
II
III

Continuidad

E3: Dada la función:

Graficarla;

Dar Df y Rango

Estudiar la continuidad de la misma. Clasificar las discontinuidades. Justificar.

Calcular: f(-7) ; f(-3) ; f(1) ; f(5)

E4: Dada la función: f(x) =
; a) Representar gráficamente f(x) ; b) Dar Df y Rango ; c) Estudiar la continuidad de la misma. Clasificar las discontinuidades. Justificar; d) Calcular: f(0) ; f(2); e) calcular:
y

Conceptos preliminares para la graficación de funciones

I) Dominios

E5: Determinar el dominio de las siguientes funciones empleando intervalos cuando sea posible:

a) f(x) =
; b) f(x) =
; c)
; d) f(x) =
; e) f(x) =

II) Polinomios

E6: Determina los valores de k " ! de modo que al dividir (x4 - k3x + 3 - k) por(x - 3) resulte 44 como resto.

E7: Determina los valores de a, b " ! de modo que a a x4 + b x3 - 12 x2 + 21 x - 5 sea divisible por 2 x2 + 3 x - 1.

E8: Sabiendo que x1 = 1/2 y x2 = -1/ 2 son raíces de 4x4 + x3 .- x2 + 5 x - 4. Encuentra las otras raíces.

E9: Determina las raíces racionales de:

a) 5 x3 - 3 x2 - 55 x + 33 = 0

b) x4 + 2 x3 + 11 x2 - 2 x - 3 = 0

E10: Determina los valores de k " ! para que el polinomio 2 k2 x3 + 3 k x2 - 2 sea divisible por (x - 1) y tiene sólo raíces reales.

E11: Sea P(x) = x4 + b x3 - 13 x2 - 14 x + 24. a) Determina b " !, de modo que x = -2 sea raíz de P(x).

b) Determina las raíces restantes.

E12: ¿Para que valores de a y b el polinomio 3 x2 + bx - b2 - a, es divisible por (x + 2), pero al dividirlo por (x - 1) da resto 1?.

III) Exponenciales y Logaritmos

Para resolver los problemas de expresiones exponenciales y logarítmicas sin dificultades, lo recomendable es que aprendas a utilizar e interpretar las diferentes propiedades que se utilizan para llegar a la solución. Recuerdalas siempre.

E13: Definición de logaritmos: Completa: y =
! ………………con a > 0 y a " 1

E14: Propiedades de los logarítmicos:

Completa: a)
……!.................. ; b)
……!..................

c)
……!.................. ; d)
..................

e)
.................. ; f)
..................

E15: Calcular, justificando los cálculos realizados:

a)
= ; b)
; c)
; d) 25

E16: Hallar el logaritmo de los siguientes números, utilizando calculadora:

a) log 9,8907 = ; b) ln 718,41 = ; c) log 5879,2 = ; d) ln 0,00050858 =

E17: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 (x - 1) = 32 x ; b) 5 (x + 1) = 750 ; c) ln (x3 - 6.x2 + 11x - 5) = 0 ;d) log
= 0 ; e)

E18: Reducir a logaritmo único:

a) log S =
[log p + log (p - a) + log (p - b) + log (p - c)] ; b) log X =
[log (a + b) + log (a - b) - 1]

Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.

E19: El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación: P(t) =
. A) ¿Cuántas abejas habían inicialmente?. B)¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180?. C) ¿Cuál será la población de las abejas cuando t ! ".

IV) Trigonometría

E20: Calcular las funciones trigonométricas que faltan de a sabiendo que:

a) sen a = 2/3 si 90° " a " 180° ; b) cos a = 1/4 si 270° " a " 360° ; c) tg a = -2 si a " III cuadrante°

Nota: utilizar relaciones trigonométricas, NO calculando el ángulo.

E21: En los siguientes casos calcular x, y representarlo en el plano (utilizar calculadora):

a) cotg x = 0,57735 ; b) sen x = 0,0364 ; c) tg x = 0,8699 ; d) cos x = -0,68236 ; e) sec x = 22

f) cosec x = -3,5

Nota: si hay más de un resultado justifica

E22: Calcula utilizando calculadora:

a) cos 72° 05´ 15" ; b) tg 3° 19´ 25" ; c) cotg 29° 19´ ; d) tg 90° ; e) sen 15°

E23: Calcular x:

a) x = sen 30° +2.cos 45°.tg 150° ; b) x = (sen2 120° - cos3 60°) / (tg 30°.cotg 135°)

E24: Determinar el valor de x siendo 0 " x " :

a) sen x = cos 210°.sen (-45°); b) sec x = tg 145° 18´ . cosec (-19°); c) tg x = sen 145° 15´ . tg 209° / cos 18°

d) cos x = sen 910°.cos (-1000°) / tg 335°

E25: Aplicando relaciones trigonométricas, demostrar las siguientes identidades:

a)
; b)

c)
; d) cosec  ( sec  - 1) - cotg  ( 1 - cos ) = tg  - sen 

E26: Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos:

a)  = 1 rad ; b)  =  rad ; c)  =
rad ; d)  = 7. rad e) 2,1853  rad

f) 5./3

E27: Expresar en radianes los siguientes ángulos:

a)  = 225° ; b)  = 495° ; c)  = 120° 30´ 06" ; d)  = 75° 18´

E28: Dibujar en cada caso el ángulo correspondiente:

a) Un ángulo agudo cuyo seno sea 3/4. ; b) Un ángulo obtuso cuyo coseno sea -1/2.

c) Un ángulo cualquiera cuya tangente sea 1,5. ; d) Un ángulo cualquiera cuyo coseno sea 3/2.

e) Un ángulo obtuso cuya secante sea -1,5. ; f) Los ángulos comprendidos entre 0 y 2.p, cuyo coseno sea 2/3.

E29: Indicar el signo de x sin efectuar ninguna operación: x =

Graficación aproximada de funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Funciones Polinómicas

E30: Graficar la siguiente función f(x) = -2 (x - 1)2 (x + 3) (x - 4). Dar ceros e intersección con el eje de ordenadas. Determinar Df y Rf.

E31: Graficar la siguiente función f(x) = (x2 + 5x - 9) x2. Dar ceros e intersección con el eje de ordenadas. Determinar Df y Rf.

Función Racional Fraccionaria

E32: Dada la función:
Indicar: a) ceros ; b) intersección con el eje y ; c) asíntota vertical, horizontal u oblicua (si las tiene) . Justificar en cada uno de los casos. d) Dar Df y Rf ; e) Graficarla.

E33: Dada la función:
Indicar: a) ceros ; b) intersección con el eje y ; c) asíntota vertical, horizontal u oblicua (si las tiene) . Justificar en cada uno de los casos. d) Dar Df y Rf ; e) Graficarla.

E34: Graficar en forma aproximada: f(x) =
. Indicar: a) ceros ; b) intersección con el eje y ; c) asíntota vertical, horizontal u oblicua (si las tiene) . Justificar en cada uno de los casos. d) Dar Df y R.

Función Irracional

E35: Dada la función y =

a) Graficar aproximadamente la función subradical: dar i) ceros ; ii) intersección con el eje y ; iii) Df y Rf.

b) Graficar aproximadamente la función dada: dar i) ceros ; ii) intersección con el eje y ; iii) Df y Rf.

FUNCIONES TRASCENDENTES

Funciones Exponenciales

E36: A) En un mismo sistema de ejes coordenados ortogonales grafica las siguientes funciones: (realiza una tabla de valores para cada una de las gráficas)

a) y = 2x ; b) y = 3x ; c) y = 4x

B) da Df y Rf de cada una de las funciones graficadas

C) Observa las bases de cada una de las funciones exponenciales y las gráficas trazadas, ¿qué conclusiones extraes?.

E37: A) Idem ejercicio anterior:

a) y = (1/2)x ; b) y = (1/3)x ; c) y = (1/4)x

B) da Df y Rf de cada una de las funciones graficadas

C) Observa las bases de cada una de las funciones exponenciales y las gráficas trazadas, ¿qué conclusiones extraes?.

E38: A) Grafica en un mismo sistema de ejes coordenados: a) y = ex ; y = ex + 1 y = ex - 2. ¿qué conclusiones extraes?.

B) da Df y Rf de cada una de las funciones graficadas

E39: A) Grafica en un mismo sistema de ejes coordenados: a) y = e-x ; y = e - x + 1 y = e - x - 2. ¿qué conclusiones extraes?.

B) da Df y Rf de cada una de las funciones graficadas

E40: a) Grafica
; b) da Df y Rf. ; c) calcula
;

Funciones Logarítmicas

E41: A) Grafica: f(x) = log x ; B) Da Df y Rf.

E42: A) Grafica: f(x) = ln x ; B) Da Df y Rf.

E43: Grafica y = x + 1

E44: Grafica: y = ln (x + 1) ; da Df y Rf

E45: Grafica: y = x - x2

E46: Grafica: y = ln ( x - x2) ; da Df y Rf

E47: Grafica: y = ln | x - x2 | ; da Df y Rf

Funciones Trigonométricas

E48: a) Graficar la función sinusoidal cuya amplitud es de 2 unidades y cuya frecuencia angular es 1/2.

b) Escribir la expresión correspondiente de la función.

E49: Dada la función y1 = 5 cos
; a) graficarla; b) dar Período , frecuencia angular (pulsación) y amplitud

E50: Dada la función y2 = 2 cos 2 x; a) graficarla; b) dar Período , frecuencia angular (pulsación) y amplitud

E51: Dada la función y3 = - cos x; a) graficarla; b) dar Período , frecuencia angular (pulsación) y amplitud

E52: Dada la función y4 = | y1 | ; a) graficarla

E53: Dada la función:
; a)graficarla; b) dar Intersecciones con los ejes, Asíntotas, período, amplitud (existe o no), Dominio de la función y Rango

E54: La acción de bombeo del corazón consiste en la fase sistólica (o sístole) en la que la sangre pasa del ventrículo izquierdo hacia la aorta, y la fase diastólica (o diástole) durante el cual se relaja el músculo cardíaco. Para modelar un ciclo completo de este proceso se usa la función que se indica:

Para un individuo en particular, la fase sistólica dura ¼ segundos y corresponde a la intensidad máxima de flujo de 8 lt / min, Obtenga a y b.

GRÁFICO EN COORDENADAS POLARES

E55: a) Representar en coordenadas polares: r ( sen  - 2 cos  ) = 6 ; b) Encontrar su representación en coordenadas cartesianas.

GRÁFICO EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS

E56: Trace la representación de la curva C que tiene las ecuaciones paramétricas indicadas:

con 0 " t " 2

Nota: para realizar este ejercicio, ver Ecuaciones Paramétricas del apunte de cátedra.

b

c

d

e

a

b

a

b

a

y = a sen b t

Flujo [lt / min]

Tiempo [seg]

diástole

sístole

sístole

diástole