LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

La diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la f(x) = x2se transforma, respectivamente, en una función lineal y en una familia de funciones polinomiales cúbicas, lo mismo que mediante las operaciones de diferenciación e integración: d x2 = 2x y " x2 dx = x3 + c. Esas dos

dx

transformaciones poseen la propiedad de linealidad, consistente en que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para cualesquiera constantes  y 

d [ f (x) + g(x)] =  f'(x) +  g'(x)

dx

y

" [ f(x) +  g(x)] dx =  " f (x) dx +  " g(x) dx,

siempre y cuando existan cada derivada e integral. Examinaremos un tipo especial de integral llamada transformada de Laplace, que posee la propiedad de linealidad y tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas de valor inicial lineales.

TRANSFORMADA LINEAL

Si f(x ,y) es una función de dos variables, una integral definida de f con respecto a una de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, " 2xy2 dx = 3y2. De igual forma, una integral definida como " K(s, t) f(t) dt transforma una función f en la variable t en una función F de la variable s. Estamos particularmente interesados en una transformación integral, donde el intervalo de integración es el intervalo no acotado [0,"). Si f(t) esta definida para t " 0, entonces la integral impropia " K(s, t) f(t) dt se define como un límite:

" K(s, t) f(t) dt = limb " K(s, t) f(t) dt.

b!"

Si existe el límite, se dice que la integral es convergente; si no existe el límite, la integral no existe, y se dice que es divergente. En general, el límite anterior se da sólo para ciertos valores de la variable s. La elección K(s, t) = e-st proporciona una transformación integral muy importante.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f una función definida para t " 0. Entonces la integral L {f(t) } = " e-st f(t) dt se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de s.

L es una transformación lineal. Para una suma de funciones se puede escribir

" e-st [f(t) + g(t)] dt =  " e-st f(t)dt +  " e-stg(t)dt.

siempre que las dos integrales converjan para s > c; por consiguiente,

L { f(t) + g (t)} =  L { f(t)} +  L {g(t)} = F(s) + G(s).

Por esta propiedad, se dice que L es una transformación lineal.

TEOREMA 1: Transformadas de algunas funciones básicas.

(a) L {1} = 1 (e) L {cos kt} = s _ s s2 + k2 (b)L {tn} = n , n = 1, 2, 3,... (f) L {senh kt} = k _ sn+1 s2 - k2 (c) L {eat} = 1 (g) L {cosh kt} = s _ s-a s2 - k2 L {sen kt} = k _ s2 + k2

Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}. No es necesario que converja la integral que define a la transformada de Laplace. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f sea continua por tramos en [0,") y que f sea de orden exponencial para t > T.

Una función es continua por tramos en [0,") si en cualquier intervalo 0 ­­" a " t " b hay, cuando mucho, un número infinito de puntos tk, k=1, 2,...., n (tk-1 < tk), en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk-1 < t < tk .

DEFINICIÓN DE FUNCION DE ORDEN EXPONENCIAL

Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0 y T > 0, tales que | f(t)| " Mect para todo t > T.

Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0,

|tn| " Mect o sea |tn | " M cuando t > T

|ect|

equivale a demostrar que límt!" tn/ect es infinito para n= 1,2,3,.... El resultado se obtiene con n aplicaciones la regla de L' Hôpital.

TEOREMA 2: Condiciones suficientes para la existencia.

Si f(t) es continua por tramos en el intervalo [0, ") y de orden exponencial c para t > T, entonces L {f(t)} existe para s > c.

Demostración. L {f(t)} = " e-st f(t) dt + " e-st f(t) dt = I1 + I2.

La integral I1 existe porque se puede expresar como suma de integrales sobre intervalos donde e-st f(t) dt es continua. Ahora:

|I2| " " |e-st f(t)| dt " M " e-st ect dt

= M " e-(s-c)t dt = -M e-(s-c)t/s-c | = M e-(s-c)T/s-c,

cuando s > c. Como " Me-(s-c)t dt converge, la integral " |e-st f(t)| dt converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto, a la vez, implica que I2 existe para s > c. La existencia de I1 e I2 implica que L {f(t)} = " e-st f(t) dt existe para s > c.

EJERCICIO 7 : LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

f(t)

% (2, 2)

1 t

SOLUCION:

TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADAS DE DERIVADAS

TRANSFORMADA INVERSA

Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función
(t) - Esto es L {
(t) } = F(s) - , decimos que
(t) es la transformada inversa de Laplace F(s) y escribimos
(t) = L-1 { F(s) }.

TEOREMA 1: Algunas transformadas inversas

(a) 1 = L-1 1 (e) cos kt = L-1 s _ s s2 + k2 (b) tn = L-1 n , n = 1, 2, 3,... (f) senh kt = L-1 k _ sn+1 s2 - k2 (c) eat = L-1 1 (g) cosh kt = L-1 s _ s-a s2 - k2 (d) sen kt = L-1 k _ s2 + k2

Cuando evaluamos transformadas inversas, con frecuencia sucede que una función de s bajo consideración no corresponde exactamente a la forma de una transformada de Laplace F(s) como aparece en una tabla. Quizá sea necesario reparar la función de s multiplicando y dividiendo por una constante apropiada.

L-1 es una transformada lineal. La transformada inversa de Laplace también es lineal; esto se, para constantes  y .

L-1 { F(s) + G(s)} =  L-1 { F(s)} +  L-1 {G(s)}.

Donde F y G son las transformadas de ciertas funciones f y g.

FRACCIONES PARCIALES

Las fracciones parciales desempeñan un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace. Esta descomposición en fracciones se efectúa con rapidez con un comando sólo en ciertos sistemas algebraicos computacionales.

TEOREMA 2: Transformada de una derivada

Si , ',…., (n-1) son continuas en [0,"), son de orden exponencial y si (n) (t) es continua por tramos en [0, "), entonces L { (n) (t) }= sn F(s) - s(n-1) (0) - s(n-2) '(0)-…- (n-1)(0). Donde F(s) = L { (t) }.

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

En el resultado general del teorema 2 se ve que L { dny/dtn } sólo depende de Y(s) = L{ y(t) } y de las n-1 derivadas de y(t) evaluadas en t=0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación diferencial no es más que una combinación lineal de los términos y, y', y'',….y(n):

an dny + an-1 dn-1 y +… + a0y= g(t),

dtn dtn-1

y(0) = y0, y'(0)= y1,… , y(n-1) (0) = yn-1,

donde las ai, i=0, … , n, y y0, y1, …, yn-1 son constantes. Según la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace:

an L dny + an-1 L dn-1 y + … + a0 L {y}= L { g(t) }

dtn dtn-1

De acuerdo con el teorema 4 esta ecuación se transforma en

an [snY(s) - sn-1 y(0)- … - y(n-1) (0)]

+ an-1 [sn-1 Y(s) - sn-2 y(0) - … - y(n-2) (0)]+ … + a0 Y(s) = G(s),

donde L{y(t)}= Y(s) y L {g(t)}= G(s). Es decir, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general anterior para determinar Y(s), primero obtendremos P(s)Y(s) = Q(s) + G(s), y después escribiremos

Y(s) = Q(s) + G(s)

P(s) P(s)

Donde P(s)= ansn + an-1 sn-1 + … a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n-1, formado por los diversos productos de los coeficientes ai, i=1,…,n ; también las condiciones iniciales prescritas, y0, y1,…yn-1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t). Por último la solución y(t) del problema original de valor inicial es y(t) = L-1 {Y (s)}, en el que la transformación inversa se hace término a término.

En el siguiente diagrama se resume el procedimiento:

Aplicar la transformada de Laplace L

Aplicar la transformación inversa L-1

TEOREMA 3: Comportamiento de F(s) cuando s "

Demostración

Dado que
(t) es continua por tramos en 0 " t " T, necesariamente es acotada en el intervalo; esto es, |
(t)| " M2et para t > T. Si M representa el máximo {M1, M2} y c indica el máximo de {0, }, entonces

øL {
(t) } ø" " e-st |
(t) |dt " M " e-st . ect dt = -M e-(s-e)t = M

s-c s-c

para s > c. Cuando s!", se tiene que | L {
(t)}| ! 0, de modo que L{
(t)}!0.

EJERCICIO 7: LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

L-1 1 - 1 + 1_

S2 S S-2

SOLUCION:

Determinar la y(t) desconocida que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales

La ecuación diferencial transformada es una ecuación algebraica en Y(s).

Solución y(t) del problema original de valor inicial.

Resolver la ecuación transformada para determinar Y(s)

Si
es continua por tramos en [0, ") y de orden exponencial para t > T, entonces lim L {
(t)} = 0.s

s! "