LOS CUADRADOS DE FERMAT

Generalidades.-Propiedades de los cuadrados.-Condición suficiente para que un número par sea suma de

Cuadrados.-Demostración.

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El presente trabajo tiene como objeto principal , conocer la relación entre los deno- minados “cuadrados de Fermat” , y otro cuadrado conocido [ (N+1)/1] ² .

( x + y ) ² (x - y ) ²

------------ -----------

2 ² 2 ²

en el que, N = x . y

Pierre de Fermat fundamentó su estudio de “factorización” en los cuadrados arriba

citados . Sea N , el número a factorizar , se trata de encontrar un cuadrado al que restado N ,esta diferen-

cia sea otro cuadrado. Después ,los factores vendrían determinados por ,

a + b = x a - b = y

El resumen de nuestro estudio se encuentra contenido en las siguientes :

Propiedades de los cuadrados de Fermat

1ª.- Dado un número N, entero , positivo , impar ,no múltiplo de 3 ni de 5 ,ya que esta condición se apre-

cia a simple vista , cuyos factores son “ x ” e “ y ” , la diferencia entre la mitad de ese número más

uno, elevado al cuadrado , y el primer cuadrado de Fermat , es congruente “cero” , módulo 144.

( N + 1 ) ² ( x + y ) ²

-------------- " ------------- " 0 ( módulo 144 )

2 ² 2 ²

2ª.-Relativo a dicho mismo número , la diferencia entre la mitad de ese número menos uno , elevado al

cuadrado , y el segundo cuadrado de Fermat , es congruente “ cero “ , módulo 144.

( N " 1) ² ( x " 1 ) ²

-------------- " -------------- " 0 ( módulo 144 )

2 ² 2 ²

3ª.-La condición suficiente para que un número N , par , positivo, sea suma de dos cuadrados , es que el

producto de las bases de dichos cuadrados , elevadas al cuadrado , más la unidad , sea congruente en

dicho valor de N , módulo 192.

……………………………………………

En nuestra demostración partimos de N, como hemos dicho, entero, positivo, com-

puesto , no múltiplo de 3 ni de 5, impar :

N = x . y

( N + 1) ² ( x + y ) ²

------------ - ------------ , y después del correspondiente desarrollo , llegamos a ,

4 4

( N + 1 ) ² ( x + y ) ² (x + 1) ( x- 1 ) ( y + 1 ) ( y - 1 )

------------- - ------------- = ----------------------------------------

4 4 4

En un principio hemos de precisar que “N” puede estar encuadrado en uno de estos tres Grupos :

Grupo nº 1 :

N ð + ó - 3 ( módulo 8 )

Grupo nº 2 :

N ð + ó - 1 ( módulo 8 ) x ð + ó - 1 ( mod.8 ) y ð + ó - 1 ( mod.8 )

Grupo nº 3 :

N ð + ó - 1 ( módulo 8 ) x ð + ó - 3 ( mod. 8 ) y ð + ó - 3 ( mod.8 )

Habíamos dejado nuestro estudio en :

(y + 1) ( y - 1) ( x + 1 ) ( x-1) ( N + 1 ) ² ( x + y ) ²

-------------------------------------- = ------------ - --------------

4 4 4

Si “N” pertenece al 3º Grupo :

Si (x+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (x-1) , o viceversa .

Si (y+1) no es múltiplo de 4 ,lo será (y-1) , o viceversa .

(y + 1)( y - 1) ( x +1 ) ( x- 1 ) 4c .4 d . 2 e . 2 f

------------------------------------ = -------------------- " 0 ( módulo 16 )

4 4

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Si “ N ” pertenece al 1º Grupo :

Si ( x + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( x - 1 ), o viceversa.

Si ( y + 1 ) no es múltiplo de 8,lo será ( y - 1 ), o viceversa.

(y - 1) ( y + 1) ( x - 1) ( x + 1 ) 8c. 2 d . 4 e . e f

--------------------------------------- = -------------------- " 0 ( módulo 32 )

4 4

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Si “ N ” pertenece al 2º Grupo :

( y + 1 ) (y - 1) ( x + 1) ( x - 1 ) 8 c . 2 d .8 e . 2 f

---------------------------------------- = ---------------------- " 0 ( módulo 64 )

4 4

Por otra parte como ni “x” ni “y” son múltiplos de tres :

Si (x+1) " 0 ( módulo 3 ), implica que (x-1) sea incongruente cero ( módulo 3 )

Si (y+1) " 0 ( módulo 3 ), implica que (y-1) sea incongruente cero ( módulo 3 )

o viceversa en ambas.

Conclusión :

(x + 1) ( x - 1) ( y + 1) ( y - 1)

a).- Si N , es del Grupo 3…………------------------------------------- " 0 ( módulo 144 )

4

(x +1 ) ( x -1 ) ( y + 1 ) ( y - 1 )

b).- Si N , es del Grupo 1………..-------------------------------------- " 0 ( módulo 288 )

4

(x + 1 ) (x - 1 ) (y + 1 ) ( y - 1)

c).- Si N , es del Grupo 2…………-------------------------------------- " 0 ( módulo 576 )

4

con esto queda demostrado el primer Teorema.

Siguiendo el mismo procedimiento podemos demostrar la segunda pro-

piedad , relativa a ( x " y ) ² / 4 .

En cuanto a la demostración del tercera propiedad , es una consecuencia

del anterior .

( y + 1) ( y - 1) ( x + 1 ( x - 1) ( N + 1) ² ( x + y ) ²

------------------------------------- = ------------- " ------------- = 144 a

4 4 4

( N + 1 ) ² - ( x + y ) ² = 576 a ; ( x . y ) ² - 576 a + 1 = x ² + y ²

Esto sería válido para todo N´ , par positivo, compuesto, en el que ninguno de

sus factores sea múltiplo de 3.

Al objeto de generalizarlo para todo valor de N , par , quedaría :

( x . y ) ² - 192 a + 1 = x ² + y ² = N ´

( x . y ) ² + 1 " ( x ² + y ² ) ( módulo 192 a )

BIBLIOGRAFIA

Ivars Peterson.- El Turista matemático .-Alianza Editorial .- (pag.29 )

Blas Torrecillas Jover.- Fermat,el mago de los números.- Editorial Nivola ( pag. 33 )

D.E.Knuth.-The Art of Computer Programming,Vol,2. (Addison-Wesley,1981 )

N.Koblitz.-A course in Number Theory and Cryptography (Springer,1987)

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