ÍNDICE

DEFINICIÓN DE LÓGICA..................................................................................1

LA NATURALEZA DEL ARGUMENTO...............................................................1

ENUNCIADOS SIMPLES Y COMPUESTOS...........................................................1

TABLAS DE VERDAD........................................................................................3

CONJUNTOS, NOTACIÓN CONJUNTOS............................................................4

BIBLIOGRAFÍA................................................................................................5

DEFINICIÓN DE LÓGICA Y CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE LÓGICA

El estudio de la lógica es el estudio de los métodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos).

El estudio de la lógica, especialmente la lógica simbólica como el estudio de cualquier ciencia exacta incrementara la capacidad de razonamiento.

El razonamiento es la clase especial de pensamiento llamada interferencia, en la que se sacan conclusiones partiendo de premisas.

Lo lógico no se interesa en el proceso real de razonamiento. A el le importa la corrección del proceso completado. Su pregunta siempre es: ¿se sigue la conclusión de las premisas usadas o supuestas? Si las premisas son un fundamento adecuado para aceptar la conclusión, si afirmar que las premisas son verdaderas garantiza afirmar la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De otra manera es incorrecto. Los métodos y técnicas del lógico se interesa en todo razonamiento, sin atender al contenido del mismo, sino solo desde este punto de vista especial.

LA NATURALEZA DEL ARGUMENTO

Las proposiciones son o verdaderas o falsas, y en esto difieren de las preguntas, ordenes y exclamaciones. Los gramáticos clasifican formulaciones lingüísticas de las proposiciones, preguntas, ordenes y exclamaciones, en oraciones declarativas, interrogativas, imperativas y exclamatorias, respectivamente.

Puede hacerse el mismo enunciado utilizando palabras diferentes, y la misma oración puede ser dicha en contextos diferentes para hacer enunciados diferentes.

Un argumento puede definirse como un grupo cualquiera de proposiciones o enunciados de los cuales se afirma que hay uno que se sigue de los demás, considerando estos como la verdad de aquel.

Todo argumento tiene una estructura, en cuyo análisis usualmente se emplean los términos “premisa” y “conclusión”. La conclusión de un argumento es la proposición afirmada basándose en las otras proposiciones del argumento y estas otras proposiciones que se afirman como fundamento o razones para la aceptación de la conclusión son las “premisas” de este argumento.

ENUNCIADOS SIMPLES Y COMPUESTOS

Un enunciado simple es uno que no tiene otro enunciado como parte componente, mientras que todo enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente.

El enunciado “Las rosas son rojas y las violetas son azules” es una conjunción, un enunciado compuesto que se forma insertando la palabra “y” entre los dos enunciados. Introducimos el punto “.” Como un símbolo especial para combinar enunciados conjuntivamente. Usándolo, la conjunción precedente se escribe “Las rosas son rojas. Las violetas son azules”. Si p y q son dos enunciados cualesquiera su conjunción se escribe p.q.

Como las conjunciones son enunciados compuestos función de verdad nuestro símbolo es un conectivo de función de verdad. Dados dos enunciados p y q hay solamente cuatro conjuntos de valores de verdad para ellos, y en cada caso el valor de verdad de su conjunción p.q esta determinado de manera única. Los cuatro casos posibles pueden exhibirse como a continuación:

En el caso p es verdadero y q es verdadero, p.q es verdadero;

En el caso p es verdadero y q es falso, p.q es falso;

En el caso p es falso y q es verdadero, p.q es falso;

En el caso p es falso y q es falso, p.q es falso.

Al representar los valores de verdad verdadero y falso con las letras “T” y “F” respectivamente, la manera en que el valor de verdad de una conjunción queda determinado por los valores de verdad de sus conyuntos se muestra de manera más concisa por medio de una tabla de verdad, como sigue:

P Q P.Q

T T T

T F F

F T F

F F F

En el ensuciado “No es el caso que el plomo sea mas pesado que el oro” también es compuesto siendo la negación (o el contrario) de su enunciado compuesto único “el plomo es mas pesado que el oro”. Introducimos el símbolo “ “, llamado una tilde, para simbolizar la negación. Mas generalmente si p es cualquier enunciado su negación se escribe p. Como la negación de un enunciado falso es un enunciado verdadero, podemos tomar la siguiente tabla de verdad como definición del símbolo tilde:

P P

T F

F T

Cuando dos enunciados se combinan disyuntivamente insertando la palabra “o” entre ellos, el enunciado compuesto que resalta es una disyunción ( o alteración) y los dos enunciados así combinados se llaman disyuntos (o alternativos). La palabra “o” tiene dos sentidos diferentes, uno de los cuales es la clara intención en el enunciado “Se perderá derecho a recompensas en caso de enfermedad o desempleo”. Aquí la intención es obviamente cancelar el derecho a premios no solo para las personas enfermas y las personas desempleadas. En este sentido de la palabra “o” se denomina débil o inclusivo.

Es otro el sentido de “o” que se intenta dar en el menú de un restaurante escribiendo “té o café”, queriendo decir que por el precio estipulado el cliente puede tomar café o té pero no ambos. En este segundo sentido de “o” es llamado fuerte o exclusivo.

Si p y q son dos enunciados cualesquiera, su disyunción débil o inclusiva se escribe pvq. El símbolo “v”, denominado una cuña (o una ve), es un conectivo de función de verdad y se define por la tabla de verdad siguiente:

P Q PVQ

T T T

T F T

F T T

F F F

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad es el resultado de aplicar un procedimiento que utilizamos para calcular todos los posibles valores de verdad de un enunciado compuesto.

Para determinar la validez o invalidez de una forma argumental debemos examinar todas las instancias de sustitución posibles de ella para ver si algunas tienen premisa verdaderas y conclusiones falsas. Podemos obtener todas las instancias de sustitución posibles cuyas premisas y conclusiones tienen diferentes valores de verdad para los enunciados sustituyendo las diferentes variables senténciales en la forma argumental que se prueba. Estas pueden disponerse de la manera más conveniente en una tabla de verdad, con una columna inicial o guía para cada variable sentencial que aparece en la forma argumental. Así, para probar la validez de la manera del silogismo disyuntivo

PVQ

P

Q

Construimos la siguiente tabla de verdad:

P Q PVQ P

T T T F

T F T F

F T T T

F F F T

Cada renglón de esta tabla representa una clase completa de instancias de sustitución. Las T y las F en las dos columnas iniciales representan los valores de verdad de enunciados que pueden sustituirse por las variables p y q en la forma argumental. Estos valores determinan los valores de verdad en las otras columnas, en la tercera de las cuales esta encabezada por la primera “premisa” de la forma argumental y la cuarta por la segunda “premisa”. El encabezado de la segunda columna es la conclusión de la forma argumental. Un examen de esta tabla de verdad revela que cualesquiera que sean los enunciados sustituidos por las variables p y q, el argumento resultante no puede tener premisas verdaderas y una conclusión falsa, pues el tercer renglón representa el único caso posible en que ambas premisas son verdaderas y ahí la conclusión también es verdadera.

CONJUNTOS, NOTACIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos pueden ser de cualquier clase (números, puntos, rectas, etc.), en la medida en que sepamos que objetos están en un conjunto dado y cuales no. Si S es un conjunto y P es un objeto en el, escribimos P E S, y decimos que P pertenece a S, o que P es un elemento de S.

Si S1 y S2 son dos conjuntos, su unión, denotada por S1 U S2 consta de todos los objetos que están por lo menos en uno de los dos conjuntos. La intersección de S1 y S2 denotada por S1 S2 consta de todos los objetos que están en ambos conjuntos.

Puede darse que dos conjuntos S1 y S2 no tengan ningún elemento en común. En tal caso decimos que su intersección es vacía y usamos el termino conjunto vacío para denominar al conjunto sin elementos.

Con mucha frecuencia no ocuparemos de conjuntos que estén especificados por alguna propiedad, o propiedades de sus elementos. Por ejemplo, podemos hablar del conjunto de todos los enteros pares, o del conjunto de todos los números racionales entre 0 y 1. Empleamos el símbolo especial

{ x : x = 2n, y n es un entero }

para representar el conjunto de todos los enteros pares. En esta notación, la letra x denota un elemento genérico del conjunto, y las propiedades que determinan la pertenencia al conjunto esta enumeradas después de los dos puntos.

El símbolo

{ x : x E (0,1) y x es racional }

representa a los números racionales en el intervalo abierto (0,1). Si un conjunto tiene solo unos pocos elementos, podemos especificarlo enumerando sus miembros entre llaves. Así, el símbolo { -2,0,1 } denota el conjunto cuyos elementos son los números -2, 0, y 1. Un conjunto puede ser especificado por cualquier numero de propiedades, y podemos usar una gran variedad de notaciones para determinar estas propiedades. Si un conjunto de objetos tiene las propiedades A, B y C, podemos denotar este conjunto por { P : P tiene las propiedades A, B y C}.

BIBLIOGRAFÍA

LÓGICA SIMBÓLICA

IRVING M. COPI

ED. CECSA

15 REIMPRESIÓN

MÉXICO, 1997

CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA

PROTTER / MORREY

ED. ADDISON-WESLEY

TERCERA EDICIÓN

MÉXICO, 1986

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

UPIICSA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

DEFINICIÓN DE LÓGICA Y CONJUNTOS

PRIMERA TAREA

ROBERTO LÓPEZ DUARTE

SERIE: 1AM7

IVETH GARCÍA CHAO

BOLETA: PE05010820

FECHA: 05 /08/04