Matemáticas

Lógica

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Trabajo de Investigación

Unidad #1

¿ Qué es lógica ?

Es la ciencia de las proposiciones y las demostraciones que se basan en un razonamiento para llegar a una conclusión, ya sea verdadera o falsa.

Elementos:

Negación

Este operador lógico cambia el valor de verdad de las proposiciones de verdadero a falso o viceversa. Se simboliza por ¬ y se lee ¨´NO¨´.

Conjunción

Este operador lógico se relaciona con dos proposiciones para formar una tercera proposición que es la conjunción de las dos primeras. Se representa por el símbolo ^ que se lee ´´´I¨´´. En español la ´´I´´ de propsición se hace generalmente con la conjunción copulativa Y, pero a veces se hace con otras. Por ejemplo ¨´´pero´´

Disyunción

Este operador lógico relaciona 2 proposiciones para formar una tercera proposición que es la disyunción de las dos primeras. Se representa con el símbolo ¨V´´ que se lee ´´o´´.

La palabra o permite una doble interpretación en español.

Enunciación Hipotética

Este operador lógico tiene una gran importancia por medio del condicional simple también conocido como ´´explicación lógica´´ se puede construir una nueva proposición llamada antecedente o hipótesis y de otra llamada consecuente o tésis. La simbología es ´´ ´´ que se lee ´´entonces´´.

Bicondicional

Es un operador lógico que relaciona dos proposiciones y se simboliza por ´´ ´´ y se lee ´´si y solo si´´.

Disyunción Exclusiva

La disyunción exclusiva sirve para determinar una conclusión, pero no las dos a la vez. Se simboliza ´´ v´´ y se lee ´´o´´ pero no ambas.

Proposición

¿Qué es una proposición?

Proposición.- Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (V o F).

Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Ejemplo

Hoy es lunes (falso). Si es proposición ya que se puede verificar.
El árbol es grande. Como no se puede concluir si es verdadero o falso, no es una proposición.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo:

p, q, r, a, b, etc.

Clases de proposiciones

Hay dos clases de proposiciones:

Proposiciones simples y compuestas, también llamadas atómicas y moleculares respectivamente.

a. Proposiciones Simples.- También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo:

El cielo es azul. (verdadero)

Nomenclatura: p

b. Proposiciones Compuestas.- También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplo:

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.

Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.

Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto.

Conectivos (Operadores) Lógicos.-

Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).

Conectivos Lógicos:

	Conectivo	Prop. Compuesta
NOT	¬	Negación
AND	^	Conjunción
OR	v	Disyunción inclusiva
OR exclusivo	v	Disyunción exclusiva
		Condicional
		Bicondicional

Tablas de verdad de los Conectivos Lógicos

A. Negación.-

Ejemplo:

p.- Juan conversa

-p.- Juan no conversa

B. Conjunción.-

Ejemplo:

P: La casa está sucia.

Q: La empleada la limpia mañana

P Q: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana

C. Disyunción.-

D. Disyunción exclusiva.-

Ejemplo:

P: Pedro juega básquet

Q: María juega fútbol

PvQ: Pedro juega básquet o María juega fútbol.

E. Condicional.-

Ejemplo:

P:Si me saco la loteria

Q: Te regalaré un carro

P Q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.

F. Bicondicional.-

Ejemplo

P: Simón Bolivar vive

Q: Montalvo está muerto

P Q: Simón Bolivar vive si y solo si Montalvo está muerto.

Traducción de proposiciones compuestas de lenguaje común a lenguaje formal.-

Para realizar este proceso seguimos los siguientes pasos:

Identificar las proposiciones simples.

Dar nombre a cada proposición simple.

Identificar los conectivos utilizados.

De los conectivos identificar el principal.

Traducir al lenguaje formal.

Ejemplo:

Berta es atractiva o Claudia es atractiva, pero no ambas.

p: Berta es atractiva

q: Claudia es atractiva

Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo.

p: Estudio

q: Trabajo

r: Tomo mis vacaciones

Condicional.-

Antecedente Consecuente

Cond. Suficiente Cond. Necesaria

Para leer un condicional se puede usar la siguiente forma de parafrasear:

Si p entonces q.
Si p, q
P implica q
P solo si q
P es suficiente para q
Q si p
Q para que p
Q es necesario para p

Para reconocer la forma del condicional (parafraseo), en el caso que no sea “p es suficiente para q”, realizamos la siguiente pregunta:

¿Qué es suficiente para ... ? y como respuesta obtenemos el antecedente del condicional.

¿Qué es necesario para ... ? y como respuesta obtenemos el consecuente del condicional. Ejemplo:

Pienso luego existo

¿Qué es suficiente para que piense?

¿Qué es necesario para que exista?

P: Pienso

Q: Existo

Recíproca, inversa y contra recíproca de una condicional

Proposición directa p
q (Si p, entonces q.)

Recíproca q
p (Si q, entonces p.)

Inversa (contraria) ¬p
¬q (Si no p, entonces no q.)

Contra recíproca ¬q
¬p (Si no q, entonces no p.)

Ejemplo:

Pienso entonces existo

P: Pienso

Q: Existo

Original: P -Q:

Inverso: P-Q: No pienso entonces no existo.

Recíproca: Q-P: Existo puesto que pienso.

Contrarecíproca: q -p: No existo puesto que no pienso.

Formas Proposicionales

Existen 3 formas proposicionales:

Tautológicas
Contradicciones
Falacias

Tautológicas.- Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.

Contradicciones.- Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.

Falacias o Indeterminada.- Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.

Condición Suficiente.-

H es condición suficiente para C.

Ejemplo:

Si llueve hoy entonces me mojo

H C

Condición Necesaria.-

C es condición necesaria para H, si la enunciación hipotética A-B es verdadera se dice que A es una condición suficiente para B. Bajo las mismas condiciones , se dice que B es una condición necesaria para A. Esquemáticamente:

A-B Dónde

A: Condición suficiente para B

B: Condición necesaria para A

Propiedades del Álgebra de proposiciones.

a. Conmutativa.-