Apuntes

de

Líneas

y

Ángulos

a trazar

en

DIEDRICO

Para ejercicios de la serie D

(SINTESIS)

INDICE

0.- Ángulo de dos rectas r y s que se cruzan (no se cortan) en el espacio.

1.- Ángulo que forma una recta r con un plano P.

2.- Ángulo diedro que forman dos planos P y Q.

3.- Recta que pasa por un punto A y forma un ángulo â con otra recta s.

4.- Recta que pasa por un punto A y forma un ángulo â con plano P

5.- Recta que pasa por un punto A forma un ángulo â con un plano P y un ángulo b con un plano Q.

6.- Recta que pasa por un punto A, forma un ángulo â con un plano P y un ángulo b con una recta

7.- Recta que pasa por un punto A, forma un ángulo â y b con dos recta s y t, respectivamente.

8.- Plano que pasa por un punto A y forma un ángulo â con una recta r

9.- Plano que pasa por un punto A y forma un ángulo â con un plano P

10.- Plano que pasa por un punto A y forma ángulos aº y bº con dos rectas r y s, respectivamente.

11.- Plano que pasa por un punto A y forma un ángulo aº con una recta r y un ángulo bº con un plano Q.

12.- Plano que pasa por un punto A y forma ángulos aº y bº con dos planos P y Q, respectivamente.

13.- Plano que pasa por un punto A y forma ángulos aº con el plano horizontal PH y bº con el plano vertical PV, respectivamente. Aplicación: a = 45º; b = 75º.

13.1- Método clásico.

13.2- Método actual.

14.- Plano que pasa por una recta r y forma un ángulo aº con un plano Q.

15.- Plano que pasa por una recta r y forme un ángulo aº con la recta s.

Anexo:

Línea de máxima pendiente de un plano Q, y que pasa por un punto A, respecto de otro plano P, formando un ángulo aº con una recta

0.- Ángulo de dos rectas r y s que se cruzan (no se cortan) en el espacio.

Se traza una perpendicular común a ellas, y por el punto de intersección de una de ellas (s), se traza una paralela r' a r. El ángulo entre dos rectas r'^s = aº, es la solución.

1.- Ángulo que forma una recta r con un plano P.

Por un punto cualquiera B, de la recta, se traza una perpendicular BO. Por el punto A intersección de la recta r con el plano P se traza la recta AO, horizontal del plano P. El ángulo solución es el que forman AO con r (=â).

2.- Ángulo diedro que forman dos planos P y Q.

Se determina la recta r intersección de los planos P y Q (con la función: eje de referencia) (dos planos) y por un punto cualquiera de esta recta (eje) r se trazan:

- en el plano P una perpendicular s a dicho eje r

- en el plano Q una perpendicular t a dicho eje r

El ángulo â que forman estas rectas s y t, es la solución buscada

3.- Recta r que pasa por un punto A y forma un ángulo â con otra recta s.

Las rectas solución r son las generatrices de un cono de revolución de vértice A, eje paralelo a la recta s y semiángulo cónico = â. Para ello:

Se traza por A una recta s'paralela a s como eje del cono solución, y otra r que forme un ángulo â con ella, como generatriz de un cono. Por la recta r, y un punto cualquiera del eje, trazamos un plano auxiliar y en este plano se construye el cono solución (croquis en 2D: eje = línea constructiva y generatriz = línea). La generatriz del cono es cualquiera. (longitud no definida)

4.- Recta que pasa por un punto A y forma un ángulo â con plano P

Las rectas solución son las generatrices de un cono de eje trazado por A normal al plano P, y semiángulo cónico = 90-â. Para ello:

Se traza por A una línea perpendicular al plano, punto final en plano P; será el eje del cono.

Por A recta r hasta plano P que forme 90-a con el eje del cono.

Por este eje del cono y punto final de r en P, se traza plano auxiliar, en el que se construye el cono solución.

5.- Recta que pasa por un punto A forma un ángulo â con un plano P y un ángulo b con un plano Q.

Por el punto dado A se traza un plano S perpendicular a la recta intersección de los planos P y Q, dados. Por A se trazan ejes perpendiculares a los planos P y Q respectivamente y rectas que formen ángulos 90º-a y 90º-b con estos ejes, respectivamente. Estas rectas nos generan dos conos cuyas generatrices comunes son la solución.

Observación: Los conos se consideran con las generatrices g iguales, para lo cual, si es necesario, se traza un plano paralelo a P ó Q, donde sea necesario. Ver croquis de solución.

5.1-Otro método más rápido: Por el centro de coordenadas trazamos una recta OA'=r, por el extremo A', se trazan normales a los planos P(PH) y Q(PV) respectivamente, se unen los extremos de estas rectas, en cada plano, con el origen O, y se dan valores a los ángulos OA'^P(PH) = aº y OA'^Q(PV) = bº. que nos definen la recta OA'. Si queremos que pase por A basta trazar una recta paralela por A. y tendremos la recta solución.

Observación: Hay cuatro posibles soluciones (simétricas dos a dos), por lo que es necesario ver en que cuadrante nos conviene posicionar la recta.

6.- Recta que pasa por un punto A, forma un ángulo â con un plano P y un ángulo b con una recta t.

Igual que el caso anterior, cambiando simplemente la recta por un plano perpendicular a ella.

7.- Recta que pasa por un punto A, forma un ángulo â y b con dos recta s y t, respectivamente.

Como en los casos anteriores, cambiando las rectas por planos es decir: trazando simplemente un plano S perpendicular a la recta s y un plano T perpendicular a recta t respectivamente.

8.- Plano que pasa por un punto A y forma un ángulo â con una recta r.

Por A trazamos una recta paralela a la recta r (que hará de eje) y un plano perpendicular a ella como plano base. Una recta por A que forme con la recta r un ángulo aº nos define el cono de semiángulo cónico aº. Los planos buscados serán tangentes a este cono.

9.- Plano que pasa por un punto A y forma un ángulo â con un plano P

Por A trazamos una recta (que hará de eje) perpendicular al plano P. Una recta por A que forme con ella un ángulo 90º-aº nos define el cono de semiángulo cónico 90-a. Los planos tangentes a este cono serán los planos solución buscados.

10.- Plano que pasa por un punto A y forma ángulos aº y bº con dos rectas r y s, respectivamente.

Se trazan dos planos P y Q perpendiculares a las rectas r y s respectivamente. Si las rectas r y s no se cortan se trazan paralelas a ellas r' y s' por un punto A' y desde A' se traza una perpendicular al eje de corte de lo planos P y Q respectivamente. Se mide el ángulo A'O^r' = aº y A'O^s' = bº, y por el extremo A' de A'O se traza un plano PS perpendicular ala recta A'O que es el plano solución. El plano definitivo será paralelo trazado por A.

11.- Plano que pasa por un punto A y forma un ángulo aº con una recta r y un ángulo bº con un plano Q.

Estamos en el caso anterior, simplemente cambiando la recta r por un plano P perpendicular la recta r.

12.- Plano que pasa por un punto A y forma ángulos aº y bº con dos planos P y Q, respectivamente.

Por un punto A' se traza una perpendicular al eje de corte de lo planos P y Q respectivamente. Se mide el ángulo A'O^r' = aº y A'O^s' = bº, y por el extremo A' de OA' se traza un plano PS perpendicular a OA' que es el plano solución. El plano definitivo será uno paralelo trazado por A.

13.- Plano que pasa por un punto A y forma ángulos a(=45º) con el plano horizontal PH y b(=75º) con el plano vertical PV, respectivamente.

13.1- Método clásico: En el plano vertical PV (o de perfil) se traza una semicircunferencia cualquiera y una recta tangente a ella que forme aº(=45º) con el plano horizontal PH. Esta recta corta al eje vertical en un punto V1 vértice del cono de semiabertura = (90-a)º y generatriz V1A. Se traza la circunferencia base del cono, en el plano horizontal PH.

En el plano horizontal PH, se traza la misma semicircunferencia, y una recta tangente a ella que forme bº (=75º) con el plano vertical PV. Esta recta corta al eje horizontal en V2, vértice del cono de semiabertura = (90-b)º y generatriz V2B. Se traza la circunferencia base del cono en el plano vertical PV.

Uniendo V1 con V2, y trazando las tangentes desde V1 a base del cono de vértice V2 y desde V2 tangente al cono de vértice V1 tenemos dos de los cuatro planos solución. Paralelo a estos planos por A tenemos dos soluciones. Ver figura siguiente.

13.2-Método actual: Por el centro de coordenadas trazamos una recta OA'=r,por el extremo A',se trazan normales a los planos PV y PH respectivamente, se unen los extremos de estas rectas, en cada plano, con el origen O, y se dan valores a los ángulos OA'^PH = aº y OA'^PV = bº. que nos definen la recta OA'. Por el extremo A' trazamos un plano perpendicular a OA' y tenemos la posición del plano pedido. Si queremos que pase por A' basta trazar un plano que cumpla la función: plano por un punto normal a la curva OA', y tendremos el plano solución.

Observación: Hay cuatro posibles soluciones (simétricas dos a dos), por lo que es necesario ver en que cuadrante nos conviene posicionar la recta.

14.- Plano que pasa por una recta r y forma un ángulo aº con un plano Q.

Por un punto A de la recta r trazamos una recta perpendicular AO hasta el plano Q. Por A trazamos otra recta que forme con la AO un ángulo de 90-aº; y en el plano Q con centro en O, trazamos la circunferencia base del cono, de radio OC (C punto de encuentro de recta que forma 90-aº con la perpendicular AO). Prolongamos la recta r hasta el plano Q y desde el punto de encuentro V se trazan las tangentes t y t' a la base del cono. Los planos definidos por las tangentes t, t' y el punto A (vértice del cono) nos definen los dos planos P y P' soluciones.

15.- Plano que pasa por una recta r y forme un ángulo aº con la recta s.

Por un punto cualquiera de la recta r, trazamos una recta s' = AO paralela a s hasta el punto O. Por O trazamos un plano Q perpendicular a la recta OA, y estamos en el caso explicado en el apartado anterior.

Anexo:

Línea de máxima pendiente de un plano Q, y que pasa por un punto A, respecto de otro plano P, formando un ángulo aº con una recta e.

La línea g de máxima pendiente de un plano Q, respecto de otro plano P, y que pase por un punto A formando un ángulo aº con otra recta e, viene definida por la generatriz g del cono de semiángulo aº..

Plano P tangente a un cono dado apoyado en el plano Q, que forme un ángulo aº con dicho plano Q.

Por un punto cualquiera A se traza una horizontal hasta la generatriz mas baja del cono, y una recta por A tangente al cono. A estas dos rectas se les impone el ángulo aº, y se une A con V (vértice del cono) y se hacen perpendiculares a VA. El plano formado por la tangente al cono y el vértice V nos dan el plano solución.

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