Propagación en líneas de transmisión: líneas de Lecher

objetivos

En la presente práctica estudiaremos las líneas de transmisión, en particular, líneas de Lecher. Realizaremos medidas en diferentes casos particulares:

. Línea de transmisión acabada en una impedancia cualquiera.

. Línea de transmisión acabada en cortocircuito.

. Línea de transmisión acabada en circuito abierto.

. Línea de transmisión en un medio dieléctrico.

2. Introducción

Las líneas de transmisión, como su propio nombre indica, es una manera de transmitir campos electromagnéticos. Dicha transmisión depende de la geometría de las líneas. En el estudio de las líneas de transmisión no trabajamos con campos electromagnéticos, sinó con tensiones e intensidades. Las líneas de Lecher es un caso particular de líneas de transmisión. Ésta consta de dos hilos paralelos de radio `r' separados una distancia `d' envueltos en un medio constante , .

3.Base teórica

Un parámetro característico de las las líneas de transmisión es la impedancia de característica Z0. Ésta impedancia depende de la relación entre la autoinducción y la capacidad de las líneas de la forma:

Estos factores dependen íntimamente de la geometría del problema. Vamos a verlo más detalladamente.

En primer lugar calcularemos la autoinducción de la línea de transmisión:

; Donde  es el flujo del campo magnético a través de una superficie, en

éste caso, el espacio que separa las dos líneas. I es la intensidad que

circula por las líneas.

Para calcular el flujo:

;

El campo magnético podemos obtenerlo a través de la ley de Ampere:

Si escojemos un camino paralelo al campo B eliminaremos el carácter vectorial. Como en ese camino, B es constante podrá salir fuera de la integral.

;

Introduciendo éste resultado en la ecuación del flujo:

= ; Como sólo nos interesa la autoconducción por

unidad de longitud:

;

Para calcular la capacidad (también por unidad de longitud):

; Donde Q es la carga y V1-V2 es la diferencia de potencial entre los dos

hilos.

; Para hallar el campo eléctrico aplico la ley de Gauss:

;

Si escojemos una superficie cilíndrica de longitud `h' de manera que envuelva un hilo:

; Donde  es la densidad de carga lineal.

;

Introducimos ésto en la ecuación principal:

Por lo tanto la capacidad será:

Podemos ver que la capacidad y la autoinducción dependen de la geometría de la línea, por lo tanto:

también me depende de la geometría.

Hay que resaltar que la velocidad de propagación de la línea de transmisión es:

Fijémosnos que dependen de L y ©, pero en éste producto se cancela la parte que depende de la geometría y nos queda:

;

un término que sólo depende del medio. Esto quiere decir que la propagación de las líneas de transmisión no depende del tipo de línea que sea sinó sólo del medio.

En nuestro caso, el dieléctrico que usaremos será el aire en dos casos y en otro un material desconocido.

Trabajaremos con tres casos particulares dependiendo de la impedancia que halla al final de la línea:

Caso ZR=Z0:

La línea es cerrada por una impedancia igual a la impedancia característica.

Podemos decir que el coeficiente de reflexión es:

r =0, ya que no hay onda reflejada porque toda la onda es absorvida por la impedancia. No hay máximos ni mínimos y desaparecen los vientres y nodos.

Caso ZR=0:

Cortocircuito. El coeficiente de reflexión es: r =-1, es decir, hay reflexión total con cambio de signo para la tensión. A la carga hay un nodo (V(0)=0), por lo tanto hay un máximo de intensidad. Este nodo de tensión se puede entender como resultado de que en el punto donde hay el cortocircuito, el campo total es es la suma vectorial de dos campos eléctricos (el incidente y el reflejado, los dos con igual amplitud), que en todo instante estan desfasados .

Caso ZR=

Circuito abierto. El coeficiente de reflexión es: r =1, es decir, reflexión total sin desfasamiento. A la carga hay un nodo de intensidad (I(0)=0) y un máximo de tensión.

Montage experimental

Se dispone de un generador de frecuencia f = 145MHz, que se alimenta de una

tensión continua de V = 12 V como máximo mediante una fuente de alimentación.

La potencia de salida puede ser baja (palanca LO) o alta (palanca HI). Se dispone también de tres líneas de Lecher, las cuales dosde ellas tienen la misma geometría transversal. Hay dos líneas delgadas ( r = 1,5 m y d =16mm) y una gorda ( r = 3mm y d = 16mm). Cualquiera de ella se puede conectar a la salida del generador mediante un medidor de potencia directa y reflejada.

Realizamos medidas de la tensión y la intensidad, buscando sus máximos y mínimos. Para la medición de la tensión utilizamos un galvanómetro con rectificador y antena. Éste mide la intensidad de la corriente inducida por el campo eléctrico producido por la línea. De esta manera obtenemos de manera semicuantitativa la amplitud del campo eléctric ( digo semi porque no hay una relación directa, sino sólo proporcional). Para la medición del campo magnético utilizamos un alambre con bombilla de filamento. Para determinar la posición de los máximos desplazamos el dispositivo a lo largo de la línea, de esta manera obtendremos luz en los máximos. Como sabemos, el campo eléctrico está vinculado con la tensión, y el campo magnético con la intensidad, por lo tanto, en los máximos de la tensión tendremos mínimos de intensidad, y al revés.

5. Medidas

Realizaremos medidas en tres líneas de Lecher diferentes:

Línea de transmisión acabada eun impedancia cualquiera:

a.1) Línea delgada:

Calculamos la impedancia característica de la línea con la fórmula antes dicha:

donde d=16mm y r =1,5mm. Como el dieléctrico es el aire, podemos calcular dicha impedancia: Z = 2284,05 Ohms.

La posición de los máximos de la tensión los hallamos a partir del galvanómetro y su posición con una regla situada en la base de las líneas. Del resultado de las medidas hemos creado una gráfica:

Tensión en función de la posición:

Donde se puede apreciar el comportamiento sinosoidal de la amplitud de la tensión en función de la posición. Para la medida de la intensidad utilizamos un instrumento que sólo nos proporcionaba unas medidas cualitativas, es decir, podíamos situar, más o menos, la posición de los máximos y los mínimos pero con un error bastante significativo. Recordemos que la medida de la tensión también resulta a ser un tanto cualitativa ya que no nos importa el valor exacto que marcaba el galvanómetro sinó la variación de dichos valores.

Otro factor importante es la relación de ondas estacionarias  la cual se define como el cociente entre el máximo y el mínimo de tensión.

 = 82/52= 1,577.

La teoría de líneas de transmisión explica una propiedad importante, la adaptación de impedancias, eso es, cuando la potencia que pueda emitir el generador sea la máxima absorvida por la carga. Esto se puede lograr situando una carga de impedancia igual a la impedancia característica.

Z = Z

Si observamos la gráfica podemos deducir que la línea no estaba adaptada, ya que el comportamiento de una línea adaptada no es sinosoidal.

Para poder realizar lo cometido, podemos hacerlo de dos formas diferentes:

La primera es ensayando cargas de prueba al final de la línea. Si la tensión y la intensidad es constante a lo largo de la línea significa que está adaptado, ya que la carga absorbe toda la potencia y no existe onda reflejada por lo que no hay ondas estacionarias. Como sabemos de antemano el valor de la impedancia característica, sabremos el valor de la carga poner para adaptar la línea.

La segunda manera en mediante la carta de Smith. Disponiamos de un programa "ADVANCED AUTOMATED SMITH CHART" el cual permitía visualizar sobre un diagramade Smith el punto figurativo de una impedancia en una cierta posición de la línea de transmisión, permitiendo determinar el valor de la impedancia en la carga a partir de la medida directa de la relación de ondas estacionarias y de la posición de los máximos y mínimos. Los resultados obtenidos por éste método han sido:

arte real: 196,9

parte imaginaria: 5,8

relación de ondas estacionarias: 1,4

coeficiente de reflexión (módulo): 0,182

argumento del coeficiente de reflexión: 175,5

a.2) Línea gruesa:

Calculamos la impedancia carcaterística de la línea.

Donde d=16mm y r =3mm, lo que resulta:

Z = 200,877 Ohms

La posición de los máximos y mínimos de la tensión y de la impedancia los hallamos de igual manera que en la línea delgada. A partir de los datos obtenidos podemos realizar una gráfica:

Amplitud de la tensión en función de la posición:

Podemos fijarnos que también tiene un comportamiento sinosoidal. Esto se debe a que parte de la onda incidente se refleja, produciéndose ondas estacionarias.

Para la intensidad tenemos lo mismo, una sinosoide, pero desfasada /2.

b) Línea de transmisión acabada en circuito abierto:

b.1) Línea delgada:

En esta parte de la práctica alimentaremos el generador de frecuencias con una tensión de 10V y ajustaremos la salida a bajo nivel de potencia (LO).

La manera de hacer un circuito abierto es colocando una impedancia infinita al final de la línea. Eso se consigue dejando abierto el circuito.

Como no hay impedancia que disipe la potencia, toda la onda es reflejada, produciéndose una superposición de ondas incidentes y reflejadas obteniendo ondas estacionarias. En éste apartado medimos sólo la posición de los mínimos de tensión e intensidad. Lo importante de esta medida es la comprobación que en los puntos donde había un máximo de tensión, se encontraba un mínimo de intensidad, y en los mínimos de tensión había un máximo de intensidad. Este hecho se debe a que la tensión y la intensidad tienen una cuadratura espacial conocida, es decir, existe un desfase espacial de  /2. La longitud de onda de la línea la podemos encontrar con esta expresión:

 /2 = X - X

La posición de los mínimos son:

X1=44cm

X2=141cm

X=97cm

Por lo que obtenemos:  = 194 cm.

Otro fenómeno a observar es el máximo de tensión en el extremo de la línea, esto se produce porque es un circuito abierto y por ende, en el extremo debe haber la mayor diferencia de tensión.

El coeficiente de reflexión será: r =1.

Habiendo obtenido la longitud de onda, podemos determinar la velocidad de propagación de la onda. Ésta vendrá dada por:

v = f.

donde f =145 MHz y  = 194cm

v = 281300000 m/s

b.2) Línea gruesa:

Seguimos alimentado al generdaor de frecuencias con 10 V. Realizamos lo mismo que en el anterior apartado; la medida de la posición de los mínimos de la tensión y la comprobación de la cuadratura espacial entre la tensión y la intensidad.

Los valores obtenidos de los mínimos de tensión son:

X1 = 20cm

X2 = 137cm

X = 97 cm

Por lo que obtenemos:  = 194 cm.

Para calcular la velocidad de propagación:

v = .f

donde  = 194cm y f =145MHz, por lo que obtenemos:

v = 281300000 m/s

Éste resultado es exactamente igual que el anterior. Esto era desperar ya que, aunque en un principio pueda parecer que la velocidad depende de la geometría del problema, en el fondo sólo depende del medio, y como el medio es el mismo para ambos casos, la velocidad ha de ser idéntica.

c.) Línea de transmisión acabada en cortocircuito:

c.1) Línea delgada:

Para realizar un cortocircuito sólo es necesario colocar una carga de impedancia cero. Como no hay impedancia al final de la línea, la potencia no se disipa y la onda incidente es reflejada, por lo que se producirá una superposición de ondas incidentes y reflejadas produciendo ondas estacionarias. Observando con atención, nos fijamos que los máximos de la tensión y de la intensidad se han intercambiado con respecto la línea acabada en circuito abierto. Esto se debe a que en el extremo de la línea la tensión es cero ya que en teoría el objeto del cortocircuito no ofrece resistencia alguna.

También sigue habiendo una cuadratura espacial entre la tensión y la intensidad.

c.2) Línea gruesa:

En este caso podemos observar el mismo fenómeno que en la línea delgada. Los máximos de tensión y de intensidad se intercambian con respecto la línea acabada en circuito abierto.

d.) Línea de transmisión en soporte de plástico:

En este experimento sólo tenemos una línea de transmisión de geometría igual que la línea delgada. El medio que la rodea es un medio diferente que el aire y desconocido para nosotros. Como ya hemos visto, la longitud de onda depende de la posición de los máximos (o de los mínimos), pero éstos dependen del medio que rodea la línea de transmisión, por lo que la longitud de onda será diferente en éste caso.

Los resultados de la medida de la posición de los mínimos de tensión son:

X = 35cm

X = 117cm

X = 194cm

X = 82cm

X = 77cm

Realizando el promedio de éstas dos sóluciones (para minimizar el error) obtenemos:

X = 79,5cm

Por lo que la nueva longitud de onda es:

 = X.2 = 149 cm

Dicha longitud es diferente (como cabía esperar) del resultado obtenido anteriormente.

Como la longitud de onda es menor y la frecuencia es la misma, la velocidad de propagación debe ser menor que en la línea abierta. Vamos a comprbarlo:

v = f. = 145(MHz).149(cm) = 216050000 m/s

Fijémosnos que ésta velocidad es menor que la anterior.

Sabiendo solamente la posición de los mínimos de la tensión ya hemos deducido la velocidad de propagación de la onda y la longitud de onda. Otro valor importante a determinar es la permitividad del medio. Para calcularlo hay que tener en cuenta que la frecuencia es la misma en el caso de la línea con dieléctrico aire y con dieléctrico desconocido.

v = f.  ; v = f.  ;

Teniendo en cuenta que la velocidad es:

v = (.) ;

(.)/  = (.)/  ; (.). (.)/  = (.)/  ;

Suponiendo que el medio no es magnético:

 = (/ ) = 1'4887

La impedancia característica de la línea es:

= 232'808 Ohms

Sabemos de teoría, que uno de los motivos de la atenuación de las líneas es el medio. En este caso, el medio puede presentar una atenuación de la tensión. Para comprobar esto, medimos con el galvanómetro, la tensión en diferentes puntos de la línea. El resultado fue que cerca del generador la tensión era constante y mientras más nos hacercábamos al final de la línea comenzaba a mostrarse un comportamiento sinosoidal. Éste resultado nos sorprendió, ya que suponíamos que simplemente los máximos de tensión iban a disminuir al hacecarnos al final de la línea. La explicación del resultado es el siguiente:

Supongamos una línea indefinida. Al no haber onda reflejada, no hay comportamiento sinosoidal (no hay ondas estacionarias). En nuestro caso tenemos una línea finita, pero con atenuación, lo que quiere decir que la onda reflejada tiene una amplitud muy baja. Si nos situamos cerca del final de la línea, la amplitud de dicha onda aún no está lo suficientemente atenuada para poder decir que no hay onda reflejada, por lo que existe una pequeña zona donde hay superposición de ondas incidentes y reflejadas. Al acercarnos al generador, la amplitud de la onda reflejada es casi nula, por lo que sólo hay ondas incidentes y por ende, no hay ondas estacionarias. Esto explica que la medida de la tensión cerca del generador sea casi constante y cerca del final de la línea comience un comportamiento sinosoidal.