Límites y continuidad

 
LÍMITES

     El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

 
Definición de límite

     Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

 
Teorema de límite1:

Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

 
Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

 
Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

 
Teorema de límite4:

 
Teorema de límite5:

 
Teorema de límite6:

Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

 
Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

 
Teorema de límite8:

Teorema de estricción y límites de funciones trigonométricas

     El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites.

 
Teorema de estricción (TL9):

 
Demostración:

 
Teorema de límite10:

 
Teorema de límite11:

Límites unilaterales

     Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.

Límite unilateral por la derecha:

Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

 
Límite unilateral por la izquierda:

Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Límite bilateral:     

 
Teorema de límite12:

Límites infinitos

     Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

 
Crecimiento infinito:

 
Decrecimiento infinito:

 
Teorema de límite13:

 
Teorema de límite14:

 
Teorema de límite15:

 
Teorema de límite16:

 
Teorema de lìmite 17:

Límites en el infinito

 
Teorema de límite18:

 
Asíntota horizontal:

Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.

 
Teorema de límite19: