ÍNDICE

Concepto de límite

Propiedades de los límites

Definición de continuidad

Tipos de continuidad

Concepto de derivada

Tabla de derivadas

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Representación gráfica de funciones

Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 a qué valor se aproxima y :

x ! 2-	1'8	1'9	1'99	1'999
y !	3'24	3'61	3'9601	3'996001

x ! 2+	2'2	2'1	2'01	2'001
y !	4'84	4'41	4'0401	4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :

(límite lateral por la izquierda)

(límite lateral por la derecha)

Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es :

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto .

Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0 es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos se aproximan al valor de x0 .

Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x
x0 .

Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquier valor  por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/<.

Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0 " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x a x0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un  tal que /x-x0/< .

Por lo tanto se dice que una función f(x) tiene límite l cuando x tiende a x0 , si para cualquiera que sea el número  se puede encontrar otro número  tal que

para todo x que verifique

Utilizando la notación matemática :

Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese punto , incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite .

No obstante si f(x) está definida en x0 y f(x0) = l entonces se dice que la función es continua en x0 .

Ejemplo : Veamos que

Tomamos =0'1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0'1 ,

/f(x) - 6/<0'1 por lo tanto /2x-6/<0'1 , -0'1<2x-6<0'1 , 5'9<2x<6'1 , 2'95<x<3'05 ,

3-0'05<x<3+0'05 , /x-3/<0'05 luego debemos tomar  = 0'05

Podríamos tomar un  todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempre encontraríamos un  .

En general : /f(x) - 6/< por lo tanto /2x-6/< , -<2x-6< , 6-<2x<6+ ,

3-/2<x<3+/2 , /x-3/</2 luego debemos tomar  = /2 , en general  depende del valor de  que tomemos .

Límites infinitos en un punto (asíntota vertical): Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un  tal que f(x)>k cuando /x-x0/< .

Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un  tal que f(x)<-k cuando /x-x0/< .

Límites en el infinito (asíntota horizontal): Se dice que
si para cualquier  se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x>k .

Se dice que
si para cualquier  se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x<-k .

Límite infinito en el infinito : Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x>H .

Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)<-k para todo x>H .

Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x<-H .

Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)<-k para todo x<-H .

Propiedades de los límites :

El límite de una función en un punto si existe , es único y es igual a los límites laterales .

Si una función tiene limite distinto de cero en un punto entonces existe un entorno del punto en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que el límite .

lim f+g = lim f + lim g

lim f·g = lim f · lim g

lim k·f = k · lim f donde k es un nº real

limf/g = lim f / lim g siempre que lim g
0

lim f n = ( lim f )n donde n es un nº real

lim f g = ( lim f )g

lim g(f(x)) = g ( lim f(x) )

Cálculo de algunos límites : ( Indeterminaciones )

Al aplicar las propiedades de los límites podemos encontrar una de las siguientes indeterminaciones : 0/0 ,
/
,
-
, 0·
, 00 ,
0 ,

P(x) = P(x0) es decir en los polinómios se sustituye el punto .

P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0) si Q(x0) " 0

Cuando Q(x0) = 0 se puede distinguir dos casos :

• Que P(x0) " 0 . Tendremos que calcular los límites laterales , si existen y son iguales la función tendrá límite que será
  . En caso contrario no existirá límite .

• Que P(x0) = 0 por lo que tendremos una indeterminación del tipo 0/0 que se resuelve factorizando numerador y denominador y simplificando la función racional . En el caso de que haya raices debemos multiplicar numerador y denominador por el conjugado .

P(x)/Q(x) =
/
( indeterminación del tipo
/
) entonces se divide por la máxima potencia , tanto si las expresiones son racionales como si son radicales .

En el caso más simple que es el de las funciones racionales podemos obtener los siguientes casos :

• grado P(x)>gradoQ(x) lim = +/-
  

• grado P(x)=gradoQ(x) lim = an/bn

• grado P(x)<gradoQ(x) lim = 0

Puede ser de utilidad saber que se puede transformar la indeterminación 0/0 a

/
o al revés , sin más que tener presente que :

Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo
-
para eliminarla tendremos que distinguir dos casos :

• Si f es la diferencia de dos funciones racionales se efectua dicha operación para conseguir estar en uno de los dos casos anteriores .

• Si f es la diferencia de dos funciones con raices cuadradas multiplicaremos y dividiremos por el conjugado .

Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo
debemos tener en cuenta que :
=2'71828...

La indeterminación del tipo 0·
se reduce al tipo 0/0 ó
/
utilizando la igualdad P·Q =

Las indeterminaciones del tipo 00 ,
0 y
se pueden resolver utilizando la propiedad : ab = eb·lna con lo que se reducirá a una de las indeterminaciones ya estudiadas .

Definición de continuidad : se dice que una función es continua en un punto x0 si :

Existe f(x0)

Existe

Son iguales

En forma matemática :

Una función se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos .

Tipos de discontinuidades :

Discontinuidad evitable : Existe
pero :

• No existe f(x0)

• Existe f(x0) pero f(x0) "
  

Discontinuidad inevitable : No existe
:

• los límites laterales existen pero no son iguales : (1ª especie)

• salto finito

• salto infinito

• alguno de los límites laterales no existe (2ª especie)

Tasa de variación media (cociente incremental): la tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un determinada intervalo .

La tasa de variación media viene a responder a la pregunta : ¿ cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la x?

y

f(x)

x

La tasa de variación media puede ser positiva , negativa o nula , dependiendo de la función y del intervalo .

Tasa de variación instantanea (en un punto x0) : es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos de la variable independiente se hacen cada vez más pequeños .

Concepto de derivada en un punto x0 : Se llama derivada de la función f en el punto x = x0 al siguiente límite :

= f ' (x0)

Es decir , la derivada es la tasa de variación instantanea .

Si el límite existe se dice que la función es derivable en ese punto .

Por ejemplo vamos a calcular la derivada de y = x2 + 8 en el punto x0 = 2 :

Interpretación geométrica de la derivada : la derivada es la pendiente m de la recta tangente en ese punto .Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a ese punto será :

Derivadas laterales : deben de existir y ser iguales para que exista la derivada

Derivadas sucesivas : si una función es derivable en cada punto de un intervalo se puede definir una nueva función asignando a cada punto x0 de ese intervalo la derivada

f '(x0) en dicho punto . Esta función se llama función derivada de f = f '(x) en un intervalo .

Si la función derivada de f es derivable en todos los puntos de un intervalo , su derivada se llama derivada segunda f ''(x0) =

En general podemos obtener la derivada enésima .

Teorema : Si una función admite derivada finita en un punto x0 , entonces es continua en ese punto . DERIVABLE ! CONTINUA

Lo contrario no tiene por qué ser cierto . Por ejemplo la función valor absoluto es continua en el punto 0 pero no es derivable

Operaciones con derivadas : se pueden deducir a partir de la definición de límite y derivada .

(f+g) ' = f ' + g '

(f·g) ' = f '·g + f·g '

(k·f)' = k·f '

[g(f(x))]' = g'(f(x))·f '(x)

Derivadas de las funciones elementales :

y	y'	y	y'
k	0
x	1
xn	nxn-1	un	nun-1u'
ax	axlna	au	au·lna·u'
ex	ex	eu	eu·u'
uv	v·uv-1·u'+uv·lnu·v'
logax		logau
lnx		lnu
senx	cosx	senu	cosu·u'
cosx	-senx	cosu	-senu·u'
tgx		tgu
cotgx		cotgu
secx		secu
cosecx		cosecu
arc senx		arc senu
arc cosx		arc cosu
arc tgx		arc tgu
arc cotgx		arc cotgu
arc secx		arc secu
arc cosecx		arc cosecu

Crecimiento y decrecimiento de una función :

• Una función se dice que es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y ,es decir:

creciente x0-h < x0 < x0+h ! f(x0-h)
f(x0)
f(x0+h)

Al sustituir esto en la definición de derivada observamos que tanto para la derecha como para la izquierda :

Una función es creciente en un punto si la derivada es mayor o igual que cero .

• Una función se dice que es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y ,es decir:

decreciente x0-h < x0 < x0+h ! f(x0-h)
f(x0)
f(x0+h)

Al sustituir esto en la definición de derivada observamos que tanto para la derecha como para la izquierda :

Una función es decreciente en un punto si la derivada es menor o igual que cero .

Si en las anteriores fórmulas cambiamos el mayor(menor) o igual que ... por mayor(menor) entonces obtenemos la definición de estríctamente creciente y decreciente .

Importante :

creciente ! la derivada en ese punto es positiva o igual que 0 . El contrario no es cierto ya que puede ocurrir que la derivada valga 0 y no sea creciente .

decreciente ! la derivada en ese punto es negativa o igual que 0 . El contrario no es cierto ya que puede ocurrir que la derivada valga 0 y no sea decreciente .

Podría ocurrir que la derivada fuera 0 y no fuese creciente ni decreciente .

Por otro lado :

estríctamente creciente ! la derivada en ese punto es positiva . El contrario si es cierto , es decir , si la derivada es positiva seguro que es estríctamente creciente .

estríctamente decreciente ! la derivada en ese punto es negativa . El contrario si es cierto , es decir , si la derivada es negativa seguro que es estríctamente decreciente .

En resumen :

>0 estríctamente creciente

<0 estríctamente decreciente

=0 No se sabe

¿ Qué hacer en el caso de que la derivada sea cero ?

Podemos dar valores próximos al punto y ver lo que hace la función .

Máximos y mínimos de una función

Se dice que una función tiene un máximo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno del punto tal que se verifíca que : f(x0-h)<f(x0)>f(x0+h) . Es decir a la izquierda es creciente y a la derecha decreciente .

Se dice que una función tiene un mínimo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno del punto tal que se verifíca que : f(x0-h)>f(x0)<f(x0+h) . Es decir a la izquierda decreciente y a la derecha creciente .

La condición necesaria para que haya un máximo o un mínimo es que la derivada de la función en ese punto valga 0 . Esto es lógico pues si no sería estríctamente creciente o estríctamente decreciente .

En el caso del máximo si a la izquierda es creciente ( derivada primera positiva ) y a la derecha decreciente ( derivada primera negativa ) entonces :

f ''(x0) =

Por la izquierda h<0 y f '(x0-h) >0 luego f ''(x0)<0

Por la derecha h>0 y f '(x0+h) <0 luego f ''(x0)<0

Por lo tanto cuando hay un máximo f ''(x0)<0

Si hacemos lo mismo para el mínimo obtendremos que la f ''(x0)>0

En resumen :

>0 Mínimo

<0 Máximo

=0 No se sabe

Pero ¿ que ocurre si f ''(x0)=0 ?

Puede que sea máximo , mínimo o ninguno de las dos .

Debemos de dar valores a la derecha y a la izquierda del punto y ver que hace la función , o podemos dar valores a la derecha y a la izauierda del punto para ver que hace la derivada de la función .

Concavidad y convexidad :

Se dice que una función ese cóncava en un punto cuando la función derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir :

Una función se dice que es cóncava cuando al aumentar la x aumenta la y' ,es decir:

x0-h < x0 < x0+h ! f '(x0-h)
f '(x0)
f '(x0+h)

Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda que :

Por lo tanto si la función es cóncava la derivada segunda es mayor o igual que cero .

Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

Una función se dice que es convexa cuando al aumentar la x disminuye la y' ,es decir:

x0-h < x0 < x0+h ! f '(x0-h)
f '(x0)
f '(x0+h)

Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda que :

Por lo tanto si la función es convexa la derivada segunda es menor o igual que cero

Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

Como ocurría con el crecimiento y decrecimiento , si la derivada segunda es positiva seguro que es cóncava , si es negativa seguro que es convexa pero si es 0 no se puede afirmar en principio nada .

>0 Cóncava

<0 Convexa

=0 No se sabe

¿ Qué hacer si la derivada segunda es 0 ? Pues debemos de estudiar en los alrededores del punto a ver que es lo que hace la derivada primera .

Punto de inflexión :

Se dice que tenemos un punto de inflexión cuando la función pasa de cóncava a convexa o al revés .

La condición necesaria para que haya un punto de inflexión es que la derivada segunda sea 0 . Esto es lógico pues si no sería cóncava o convexa .

Supongamos que por la izquierda es cóncava y por la derecha es convexa , entonces :

f '''(x0) =

Por la izquierda h<0 y f ''(x0-h) >0 luego f '''(x0)<0

Por la derecha h>0 y f ''(x0+h) <0 luego f '''(x0)<0

Por lo tanto f '''(x0)<0

Si por la izquierda es convexa y por la derecha cóncava :

Por la izquierda h<0 y f ''(x0-h) <0 luego f '''(x0)>0

Por la derecha h>0 y f ''(x0+h) >0 luego f '''(x0)>0

Por lo tanto f '''(x0)>0

En resumen si f '''(x0)
0 hay un punto de inflexión ya que pasará de cóncava a convexa o al revés .

En resumen :

f '''(x0)
0 Punto de inflexión

f '''(x0)= 0 No se sabe

Pero ¿ que ocurre si f '''(x0)=0 ? Puede que sea punto de inflexión o no .

Para averiguarlo debemos ver como varía la derivada segunda en los alrededores del punto .

Representación gráfica de funciones :

Dominio

Puntos de corte con los ejes

Simetrías

Asíntotas

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

LÍMITES , CONTINUIDAD Y DERIVADAS