Leyes de Kepler

El estudio del universo interesó a las personas desde la más remota antigüedad, desde los egipcios. Fue posteriormente, en Grecia, cuando se crearon modelos para explicar los resultados obtenidos de las observaciones. Éstos se pueden resumir en dos grandes grupos: modelos geocéntricos y modelos heliocéntricos. Fue Copérnico el que impulsó la teoría heliocéntrica y algo más tarde, Johannes Kepler (1571-1630), basándose en los datos de su maestro Brahe, enunció tres leyes que llevan su nombre y que resumen las regularidades del movimiento de los planetas. Estas tres leyes fueron precisamente las que abrieron el camino para que Newton descubriera la Ley de Gravitación Universal y son válidas para cualquier sistema de partículas en órbitas sometidas a fuerzas newtonianas.

Antes de enunciarlas, tenemos que recordar el concepto de momento angular y su principio de conservación, ya que en este hecho se basan las dos primeras leyes.

El momento angular (L) de una partícula de masa en un movimiento circular uniforme de radio r y con velocidad v, es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión:

L = r x P = r x mV

Dado que L es un véctor, consta de:

• Módulo: L=rmvcosα

• Dirección: perpendicular a r y V

• Sentido: el que viene dado por la regla del tornillo (ver dibujo)

SI en vez de una partícula, tenemos un sistema de n partículas, el cálculo de L para todo el sistema, queda reducido a la expresión:

L = L1 + L2 + … + Ln = ∑ Li

El Teorema de conservación del momento angular nos muestra que si la partícula o el sistema de partículas está aislado, L se conserva (en módulo, dirección y sentido).

dL/dt = d/dt (r x mv)= dr/dt x mV + r x d(mV)/dt = V x mV + r x m dV/dt = r x ma = r x F = M

Si la partícula o el sistema de partículas no recibe la acción de ninguna fuerza, o las que actúan se anulan, o si el campo de fuerzas es central (está en la misma recta que une al cuerpo con el origen del campo y por tanto r y F tienen la misma dirección, siendo cos α = 0), entonces M = 0, por lo que: dL/dt = 0, lo que indica que L debe ser constante. De ello se derivan las siguientes consecuencias:

• Si F es central, L = cte, y la trayectoria de la partícula está contenida en un plano perpendicular a la dirección de L. En este plano estará también contenido el centro de fuerzas. Este es el enunciado de la primera ley de Kepler:

“Los planetas, en su movimiento alrededor del Sol, describen trayectorias planas, cerradas, de forma elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol”.

• 
  Ley de las áreas. Segunda ley de Kepler: supongamos que la partícula experimenta un desplazamiento elemental dr bajo la acción de una fuerza central. Su vector posición (radio vector) barre un área dS. De la figura podemos ver que:

dS/dt = 1/2 | r x dr |

El área barrida por unidad de tiempo será:

dS/dt = 1/2 | r x dr | /dt = 1/2 | r x V |

siendo V la velocidad de la partícula.

Por otra parte, L = r x P ; nos queda:

dS/dt = 1/2 | L| / m. Como la fuerza es central, L = cte, y por tanto dS/dt = cte

En el movimiento bajo fuerzas centrales, el área barrida por unidad de tiempo (velocidad areolar) permanece constante. Es el enunciado de la segunda ley de Kepler:

“El radio vector, que une al planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, la velocidad areolar es constante”.

• Ley de los períodos. Tercera ley de Kepler: es la ley que sirvió como base para la Ley de Gravitación Universal de Newton y muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo que emplean los planetas en recorrerlas.

“Los cuadrados del período de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (r):

T2 = k r3

Donde K es una constante igual para todos los planetas que sólo depende de la masa del Sol”.

La demostración de la tercera ley de Kepler tuvo que esperar hasta la discusión por Newton de este problema en los Principios, donde se enuncia la Ley de Gravitación Universal. Un análisis muy simple es posible si se consideran las órbitas planetarias como círculos alrededor del sol.