Introducción

Las leyes de kepler han tenido un significado especial en el estudio de los astros, ya que permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empíricamente por Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas, para lo cual se sirvió de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe (1546-1601). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727), fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de Gravitación Universal.

Las leyes de kepler

Primera ley

 Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos

Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:

• Semieje mayor a

• Semieje menor b

• Semidistancia focal c

• La relación entre los semiejes es a2=b2+c2

• La excentricidad se define como el cociente ð=c/a

• r1 es la distancia más cercana al foco (cuando ð=0) y r2 es la distancia más alejada del foco (cuando ð=ð). Vemos en la figura que r2+r1=2a, y que r2-r1=2c

1. Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.

Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los movimientos aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran tamaño orbitando alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas, asteroides, etc.., pero si se tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos celestes habría que enunciar esta primera ley kepleriana de la siguiente manera:

Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas (a la máxima distancia de un planeta al Sol se denomina afelio y la mínima perihelio). La Tierra, por ejemplo, en su mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su máxima lejanía no supera los 152 millones de km.

Segunda ley 

El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Esto indicará que los planetas más cercanos al sol se desplazan más rápidamente, o sea, tardan menos tiempo en dar una vuelta completa a la elipse.

Sea F la fuerza central de atracción gravitacional hacia un objeto de masa M sufrida por un objeto de masa m que revoluciona a su alrededor. Sean sus dos componentes cartesianas a lo largo de los ejes x e y: Fx, Fy. Por tratarse de una fuerza central, existe la proporcionalidad Fx/x = Fy/y. Y se tendría:

premultiplicando por y y por x, respectivamente, y restando ambas expresiones, se cumpliría

y siendo Fx/x = Fy/y, será x.Fy - y.Fx = 0, por lo que:

Y se tiene, tomando coordenadas polares:

Esto quiere decir, en definitiva, que el área recorrida por el radio vector en cada unidad de tiempo es constante.

Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (la velocidad del astro sería constante si la órbita fuera un círculo perfecto). Por ejemplo, la Tierra viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio.

Tercera ley 

El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.

La tercera ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución depende de la distancia al Sol.

Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de los planetas es despreciable en comparación al Sol. Si se quisiera calcular el período de revolución de astros de otro sistema planetario, se debería aplicar otra expresión comúnmente denominada tercera ley de Kepler generalizada.

Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera ley clásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a la del Sol.

Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.

Suponiendo un movimiento aproximadamente circular, la velocidad circular de un objeto que se desplaza alrededor del sol seria:

y la aceleración centrífuga vendría dada por:

siendo T el periodo de traslación. Para que se equilibre con la fuerza de la gravitación, ha de ser:

Si en lugar de considerar el movimiento circular, lo suponemos elíptico, la expresión anterior sería la misma, solo que r representaría al semieje mayor de la elipse.

Supongamos, entonces, dos objetos de masas m1 y m2, que se mueven orbitando en trayectoria elíptica alrededor del sol, de masa M. Se tendrían:

por lo que, igualando y ordenando:

Esta es ya la tercera ley de Kepler de forma general, y si hacemos la aproximación de que la masa del objeto que orbita es despreciable en comparación con la del Sol, se obtiene exactamente la expresión deducida por Kepler:

Curso :Tercero medio