Unidad 7. El lenguaje algebraico

VARIABLES.

POLINOMIOS CON UNA INDETERMINADA. OPERACIONES CON POLINOMIOS.

IGUALDADES NOTABLES.

ECUACIONES DE GRADO UNO Y DOS.

SISTEMAS DE ECUACIONES.

VARIABLES:

Para la resolución de problemas de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lenguaje matemático que llamaremos lenguaje algebraico. Este lenguaje utiliza letras, números y símbolos matemáticos. Con ello, conseguiremos simplificar el problema y podremos resolverlo más cómodamente.

Definición: una variable es una magnitud sobre la cual queremos información. Ésta puede ir cambando de valor, según el caso.

El uso más frecuente de variables consiste en sustituir una expresión por dicha variable, para trabajar más cómodamente. Normalmente se usan como variables las últimas letras del abecedario; pueden usarse varias variables simultáneamente.

POLINOMIOS CON UNA INDETERMINADA:

Definición: un polinomio es una expresión algebraica compuesta por cuatro o más monomios.

Un monomio consta de grado, valor numérico y puede ser completo o estar reducido.

• Se llama grado de un polinomio al mayor exponente de la variable del polinomio. Ej: p(x)=3x2 -5x4-2x+3

• Un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes, es decir, del mismo grado. Ej: p(x)=-3x3+7x2-7x+3.

• Un monomio es completo cuando estén todos los exponentes seguidos y tenga términos de todos los grados a partir del que me den grado del polinomio.

Ej: x2-2 no es completo, x2-3x+2 sí es completo.

• El valor numérico de un polinomio es el valor que sale al sustituir la variable por un número. Ej: calcula el valor numérico del siguiente polinomio considerando x=2:

OPERACIONES CON POLINOMIOS:

• Adición:

• Sustracción (los mismos pol. que el caso anterior): para restar dos polinomios debamos sumarlos cambiando el signo de cada monomio del segundo polinomio:

• Producto: (en esta ocasión, q(x)=-x2+8

• División: vamos a dividir los siguientes polinomios:

El resultado lo expresaremos así: como ya sabemos, en una división normal y corriente se cumple que , es decir, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Esto puede extrapolarse al caso de los polinomios, pero vamos a hacer una modificación: expresaremos el resultado de la división así:

Como ,

Así, el resultado de la división anterior será

Para aquellas divisiones cuyo cociente sea de la forma , donde podemos emplear un método llamado “División por Ruffini”. Así pues,

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:

Factorizar un polinomio significa hallar el factor común. Con un ejemplo se verá todo muy claro:

En ocasiones, factorizar un polinomio no es sencillo. Para algunos vale el siguiente método: factorizar

1º. Convertimos el polinomio en una ecuación:

2º. Hallamos la ecuación. Para resolver una ecuación de segundo grado como esta es necesario aplicar la fórmula , que está explicada más detenidamente en el apartado de ecuaciones, dos postulados más adelante. Así,

+

-

4/4 = 1

3º. Con las dos soluciones halladas, las colocamos de la siguiente forma: (x+ )(x+ ).

. Ya está factorizado.

IGUALDADES NOTABLES:

Existen unas igualdades notables, llamadas Binomio de Newton en honor a su descubridor, que consisten en un binomio elevado a un exponente real. Veamos algunas de ellas:

-

-

-

-

Etcétera. Si en un determinado momento no nos acordamos, es muy sencillo deshacer

este problema: hacemos la multiplicación y listo.

Suma por diferencia: . Para demostrarlo basta con realizar la multiplicación.

Ej: determina el área de un rectángulo de lados (a + 2) ý (a-2):

Ej: determina el área de un rectángulo de lados (4mn+7qp) ý (4mn-7qp):

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

Para resolver ecuaciones de primer grado, basta con despejar la incógnita pasando todas las x a un miembro y todas las expresiones que no sean algebraicas se pasan al miemro contrario. Enunciemos lar reglas de despeje:

• Para pasar incógnitas o números de un lado a otro de la ecuación, debemos cambiarlo de signo:

• Asimismo, para pasar incógnitas o números que están dividiendo en un miembro, los pasamos multiplicando; y viceversa:

• Cuando en una ecuación nos aparecen fracciones algebraicas, debemos eliminarlas. Para ello tenemos que igualar sus denominadores y, una vez igualados, eliminarlos: veamos un ejemplo:

1º. Igualar los denominadores:

2º. Eliminar los denominadores:

3º. Hallar el valor numérico de la incógnita:

• Así, la solución se expresa de la forma x=a, donde a y es el valor numérico de x. Este valor numérico cumplirá la igualdad que impone la ecuación; para comprobarlo basta sustituir la incógnita por su valor numérico:

Si x=1,

Así, se demuestra la veracidad del valor de la incógnita.

Ejemplo: resuelve la siguiente ecuación:

7.4.2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

Las ecuaciones de segundo grado se resuelven de manera bastante distinta que las de primer grado. Pasos a seguir para resolver ecuaciones de tipo ax2+bx+c=0

Calcular el valor de la incógnita de la ecuación 9x2-12x+4=25.

1º. Igualamos la ecuación a cero:

2º. Observamos el valor de a, b y c:

3º. Aplicamos la siguiente fórmula:

, cuya resolución nos dará dos valores para la incógnita, uno determinado por la solución en suma y otro, en resta. También es importante saber que la expresión se puede denotar por ð, letra “delta” mayúscula en griegoð

Así,

Es de destacar que en estas ecuaciones , ya que si , la ecuación sería de grado uno. Además, . Si a la hora de hallar la raíz cuadrada nos sale un número tal que pertenezca al subconjunto de los números negativos, , la ecuación no tendrá una solución real, sino imaginaria. Esto es así porque no existe un número real tal que elevado al cuadrado nos de un número negativo. Por ello, las ecuaciones de este tipo tienen soluciones complejas.

Ejemplo: halla el valor de la incógnita de la siguiente ecuación:

Veamos si los valores dado por las incógnitas es cierto:

Para : Para

Efectivamente, se demuestra que el valor de las incógnitas que viene dada por la fórmula de resolución es cierto.

SISTEMAS DE ECUCIONES:

Un sistema de ecuaciones es aquél que consta de más de una ecuación, y ambas tienen la misma solución. Hay sistemas de ecuaciones de dos, tres, diez, un millón… de incógnitas, que pueden constar de dos, tres, mil, diez mil… ecuaciones.

Nosotros nos centramos en los sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones, y no más de tres incógnitas. Para resolver un sistema de ecuaciones existen tres métodos fundamentales:

MÉTODO DE REDUCCIÓN:

Consiste en hallar el valor de las incógnitas eliminando una de ellas mediante transformaciones en una de las ecuaciones.

Y resolvemos: Ahora falta hallar y; para ello igualamos las x:

7x = 21 -7y = -14

A la hora de resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción, debemos tener en cuenta que se trata de eliminar o bien las x o bien las y. Por ello, sumaremos o restaremos según convenga. En el caso anterior, por ejemplo, para hallar la x hemos sumado los sistemas y para hallar la y los hemos restado.

MÉTODO DE IGUALACIÓN:

Consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones e igualarla.

Igualación en x:

Teniendo la x despejada en ambas ecuaciones del sistema de ecuaciones, igualamos los resultados y resolvemos la ecuación resultante:

Ahora hacemos lo mismo con la y:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Ahora consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra:

Sustitución en x: Sustitución en y:

Ahora hazlo tú

Llama a y b a dos números cualesquiera y expresa los siguientes enunciados:

La suma de a y el triple de b.

La suma del doble de a menos la mitad de b.

El cuadrado de la suma de a y b.

La suma de los cuadrados de a y b.

El cubo de la diferencia de a y b.

Expresa con las incógnitas que quieras las siguientes expresiones:

La suma de dos números es trece.

La diferencia de don números es cuatro.

La suma de los cuadrados de dos números es mayor o igual que cuarenta.

La diferencia de dos números es menor que cien.

El triple de la edad de Juan.

La octava parte de la edad de Juan más la edad de Nacho.

El cuádruple de la edad de Juan más el quíntuplo menos cinco.

Que un número es mayor que ocho.

Resuelva el valor de la incógnita de la siguiente expresión: el tercio de un número más el doble del número más ocho es igual al cuadrado de ese número menos dos más la suma del número y su cuadrado.

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Calcula:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Resuelve por Ruffini y expresa en forma :

a)

b)

c)

Siendo , calcula:

q(x)+p(x)-r(x)

q(x)-r(x)

3q(x)

q(x)-r(x)

p(x):r(x), expresado en

Factoriza los siguientes polinomios:

a)

b)

c)

d)

Calcula a y b para que sea exacta la división:

Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios. (Es aconsejable reducirlos primero):

a)

b)

c)

d)

Calcula el valor de n para que el polinomio sea divisible entre

Opera y simplifica:

Determina el área de un cuadrado cuyo lado mide centímetros.

Determina el volumen de un cubo cuya arista es a+5.

Si al cuadrado de (x+9) le resto el cubo de (x+4), ¿qué resultado ofrecerá?

¿Cuánto medirá la superficie de una circunferencia cuyo radio es metros? Utilice .

Resuelva las siguientes ecuaciones:

La cuarta parte de un número es igual a siete. ¿De qué nº hablamos?

Los tres cuatros de un nº es dieciocho. ¿Nº?

La mitad de un número más el cuadrado de sus suma es igual a 20. ¿Nº?

Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método que prefieras:

a)

b)

c)

d)

En una granja hay gallinas y conejos. El número de cabezas es 282 y el de patas, 654. calcula cuántas gallinas y cuántos conejos hay.

Las dos cifras de un número suman doce. Si se invierte el orden de este, se obtiene otro número mayor en dieciocho unidades. Calcula dicho número.

La nota media de matemáticas de la clase de 4ºA es de 5,4 y en la de 4ºB de 6,4. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo si en total son 50 alumnos con una media de 5,88?