LAS TORRES DE HANÓI

Las Torres de Hanói es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el matemático francés Éduard Lucas.

Consiste en tres varillas verticales y un número indeterminado de discos que determinarán la complejidad de la solución. No hay dos discos iguales, están colocados de mayor a menor en la primera varilla ascendentemente, y no se puede colocar ningún disco mayor sobre uno menor a él en ningún momento.

OBJETIVO

El juego consiste en pasar todos los discos a la tercera varilla colocados de mayor a menor ascendentemente.

Descubrir la explicación matemática para todos los aspectos posibles del juego, y las relaciones entre ellas:

-         número de movimientos totales

-         número de movimientos de cada pieza

-         secuencia de piezas que se mueven

-         apariencia de las torres en un movimiento dado

-         número de "tiempos" que espera cada pieza entre cada uno de sus movimientos (es constante)

Demostrar que el juego se basa en potencias de 2.

LAS REGLAS

Sólo se puede mover un disco cada vez.

Un disco de mayor tamaño no puede descansar sobre uno más pequeño que él mismo.

Sólo puedes desplazar el disco que se encuentre arriba en cada varilla.

LA FÓRMULA

La fórmula para encontrar el número de movimientos necesarios para transferir n discos del poste A al poste C es: 2^n - 1.

A partir de esta fórmula puede verse que si a los sacerdotes les tomaba tan sólo un segundo hacer un movimiento, en total gastarían 2^64 - 1 segundos, es decir, 590,000,000,000 años.

LEYENDA

En un templo de Benarés, se encontraba una cúpula que señalaba el centro del mundo. Allí estaba una bandeja sobre la cual existían tres agujas de diamante. En una mañana lluviosa, un rey mandó a poner 64 discos de oro, siendo ordenados por tamaño: el mayor en la base de la bandeja y el menor arriba de todos los discos.

Después de la colocación, los sacerdotes del templo intentaron mover los discos entre las agujas, según las leyes que se les habían entregado: "El sacerdote de turno no debe mover más de un disco a la vez, y no puede situar un disco de mayor diámetro encima de otro de menor diámetro".

Hoy no existe tal templo, pero el juego aún perduró en el tiempo...

Otra leyenda cuenta que Dios al crear el mundo, colocó tres varillas de diamante con 64 discos en la primera. También creó un monasterio con monjes, los cuales tienen la tarea de resolver esta Torre de Hanói divina. El día que estos monjes consigan terminar el juego, el mundo acabará.

No obstante, este leyenda resultó ser un invento publicitario del creador del juego, el matemático Éduard Lucas. En aquella época, era muy común encontrar matemáticos ganándose la vida de forma itinerante con juegos de su invención, de la misma forma que los juglares hacían con su música. No obstante, la falacia resultó ser tan efectista y tan bonita, que ha perdurado hasta nuestros días. Además, invita a realizarse la pregunta: "si la leyenda fuera cierta, ¿cuándo será el fin del mundo?"

El mínimo número de movimientos que se necesita para resolver este problema es de 264-1. Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en poco menos de 584942417355,07203247082699137494 años (585 mil millones de años rodeando). Como comparación para ver la magnitud de esta cifra, la Tierra tiene como 5 mil millones de años, y el Universo entre 15 y 20 mil millones de años de antigüedad, sólo una pequeña fracción de esa cifra.