POTENCIAL ELÉCTRICO

Como la fuerza electrostática dada por la ley de Coulomb es conservativa, es posible discutir de manera conveniente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía potencial eléctrica.

Esta idea permite definir una cantidad escalar llamada pontencial eléctrico. Debido a que el potencial es una función escalar de la posición, ofrece una manera más sencialla de discribir los fenómenos electrostáticos que la que presenta el Campo Eléctrico.

ENERGÍA POTENCIAL Y POTENCIAL ELÉCTRICO

Cuando una carga de prueba positiva q0 se mueve entre los puntos A y B en un campo electrostático E, el cambio de la energía potencial está dada por

La diferencia de potencial V entre los puntos A y B en un campo electrostático E se define como el cambio de energía potencial dividido por la carga de prueba q0 :

Donde el potencial eléctrico V es un escalar y tiene unidades de J/C, definido como un voltio (V).

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo eléctrico uniforme E está dado por

Donde d es el desplazamiento en la dirección paralela a E.

Potencial debido a varias distribuciones de carga

Anillo uniformemente cargado de radio a

A lo largo del eje del anillo a una distancia x de su centro

Disco uniformemente cargado de radio a

A lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro

Esfera aislante uniformemente cargada de radio R y carga total Q

Esfera conductora aislada de carga total Q y radio R

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Superficies equipotenciales son las superficies sobre las cuales el potencial eléctrico permanece constante. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas del campo eléctrico.

El potencial debido a una cargba puntual q a una distancia r de la carga está dado por

El potencial debido a un grupo de cargas puntuales se obtiene sumando los potenciales debidos a cada carga individualmente. Siendo V un escalar, la suma es una simple operación algebraica.

La energía potencial de un par de cargas puntuales separadas una distancia r12 está dada por

Ésta representa el trabajo requirido para traer las cargas desde una separación infinita hasta una separación r12 . La energía potencial de una distribución de cargas puntuales se obtiene sumando los términos obtenidos por la ecuación

para cada par de partículas.

El potencial eléctrico debido a una distribución continua de carga está dado por

Si el potencial eléctrico es conocido como una función de las coordenadas x,y,z, las componentes del campo eléctrico pueden ser obtenidas al sacar la derivada negativa del potencial con respecto a las coordenadas. Por ejemplo, la componente x del campo eléctrico estád dada por

Todos los puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electrostático están al mismo potencial. Además, el potencial es constante en cualquier lugar dentro del conductor e igual a su valor en la superficie.

CAPACITANCIA Y CONDENSADORES

Vamos a ver las propiedades de los condensadores, dispositvos que almacenan carga. Básicamente un condensador consta de dos conductores que poseen cargas iguales pero de signo opuesto .

La capacitancia dada en un dispositivo depende de su geometría y del material que serpara a los conductores, llamado dieléctrico. Un dieléctrico es un material aislante que tiene porpiedades eléctricas distintivas, los cuales pueden comprenderse mejor considerando las propiedades de los átomos.

DEFINICIÓN DE CAPACITANCIA

Un condensador consta de dos conductrores con cargas iguales y opuestas separadas una distancia muy pequeña comparada con sus dimensiones, con una diferencia de pontencial V entre ellos. La capacitancia C de cualquier condensador, se define como la razón de la magnitud de la carga Q en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial V:

La unidad SI de la capacitancia es el coulomb por voltio, o faradio (F), y 1 F = 1 C/V

La capacitancia depende del arreglo geométrico de los conductores. Las fórmulas siguientes se aplican cuando los conductores cargados estan separados por vacio:

Esfera cargada aislada de radio R

Condensador de placas paralelos de área A y separación de placas d

Condensador cilíndrico de longitud l y radios interior y exterior a y b, respectivamente

Condensador esférico con radios interior y exterior a y b, respectivamente

Si dos o más condensadores se conectan en paralelo, la diferencia de potencial a través de cada uno de ellos debe ser la misma. La capacitancia equivalente de una combinación en paralelo está dada por

Si dos o más condensadores están conectados en serie, la carga en cada uno de ellos es la misma, y la capacitancia equivalente de la combinación en serie y la capacitancia equivalente de la combinación en serie está dada por

Se requiere trabajo para cargar un condensador, ya que el proceso de carga consiste en transferir carga desde un conductor que está a un potencial menor hasta otro conductor que está a un potencial mayor. El trabajo realizado al cargar un condensador hasta una carga Q es igual a la energía potencial electrostática U almacenada en el condensador, donde

Cuando un material dieléctrico se introduce entre las placas de un condensador, la capacitancia generalmente aumenta por un factor adimensional  llamado llamado contante dieléctrica. Esto es,

Donde C0 es la capacitancia en ausencia de dieléctrico. El aumento en la capacitancia se debe a la disminución del campo eléctrico en presencia del dieléctrico, lo cual corresponde a la disminución en la diferencia de potencial entre las placas —suponiendo que la batería de carga se elimina del circuito antes de introducir el dieléctrico—. La disminución de E proviene de un campo eléctrico interno producido por la alineación de los dipolos en el dieléctrico. Este campo interno producido por los dipolos se opone al campo original aplicado, lo cual conduce a una reducción en el campo eléctrico neto.

Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igulaes y opuestas separadas por una distancia 2·a. El momento dipolar eléctrico  de esta configuración tiene una magnitud

El momento de una fuerza que actúa sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme E está dada por

La energía potencial de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme E está dada por

LEY DE GAUSS

Es un procedimiento alternativo para calcular campos eléctricos. Se basa en el hecho de que la fuerza electrostática fundamental entre dos cargas puntuales es una ley inversa del cuadrado.

La ley de Gauss es más conveniente que la de Coulomb para cálculos de campos eléctricos de distribuciones de carga altamente simétricos; además sirve como guia para comprender problemas más complicados.

FLUJO ELÉCTRICO

Flujo eléctrico es la medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. Si el campo eléctrico es uniforme y hace un ángulo  con la normal a la superficie, el flujo eléctrico a través de la superficie es:

En general, el flujo eléctrico a través de una superficie se define por la expresión

LA LEY DE GAUSS

La ley de Gauss dice que el flujo eléctrico neto c, a través de cualquier superficie gaussiana es igual a la carga neta encerrada en la superficie dividida por "0 :

Utilizando la ley de Gauss, uno puede calcular el campo eléctrico debido a varias distribuciones de carga simétricas.

Campos eléctricos típicos calculados utilizando la ley de Gauss

Esfera aislante de radio R densidad de carga uniforme y carga total Q

Con r > R

Con r < R

Cascarón esférico delgado de radio R y carga total Q

Con r > R

Con r < R

Líneas de carga de longitud infinita y carga por unidad de longitud 

Afuera de la línea de carga

Plano infinito no conductor cargado con carga por unidad de área 

En todo punto fuera del plano

Superficie conductora cargada con carga por unidad de área 

Precisamente fuera del conductor

Adentro del conductor

CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO

Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades:

El campo eléctrico es cero en cualquier punto del interior del conductor.

Cualquier exceso de carga sobre un conductor aislado se localiza enteramente sobre su superficie.

El campo eléctrico precisamente afuera del conductro es perpendicular a su superficie y tiene una magnitud de /0 , donde  es la carga por unidad de área en el punto.

En un conductor de forma irregular, la carga tiende a acumularse donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño, es decir, donde

LÉCTRICOS

PROPIEDADES DE LAS CARGAS ELÉCTRICAS

Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que las cargas de signos contrarios se atraen, cargas del mismo signo se repelen.

La carga eléctrica siempre se conserva.

La carga está cuantizada, es decir, existen paquetes discretos que son múltiplos enteros de la carga del electrón. Q = N · e

La fuerza entre las cargas varía inversamente al cuadrado de la distancia que las separa.

Los conductores son materiales en los cuales las cargas se mueven con facilidad.

Aislantes son los materiales que no transportan la carga con facilidad.

LEY DE COULOMB

La ley de Culomb establece que la fuerza electrostática entre partículas estacionarias cargadas separadas una distancia r tiene una magnitud dada por:

donde la constante k tiene un valor de

k = 8,9875 · 109 N · m2/C2

La unidad de carga más pequeña conocida en la naturaleza es la carga de un electrón o un protón. La magnitud de esta carga e esta dada por

|e| = 1,60219 · 10-19 C

propiedades:

La fuerza es inversamente proporcional al enverso del cuadrado de la distancia de separación r entre las dos partículas, medido a lo largo de una línea recta que las une.

La fuerza es proporcional al producto de las cargas q1 y q2 de las dos partículas.

La fuerza es atractiva si las cargas son de signos opuestos, y repulsiva si las cargas son del mismo signo.

DEFINICIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO

El campo eléctrico E en algún punto en el espacio está definido como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una pequeña carga de prueba colocada en ese punto, dividida por la magnitud de carga de prueba q0:

El campo eléctrico debido a una carga puntual q a una distancia r de la carga está dada por:

donde es el vector unitario dirigido desde la carga hacia el punto en cuestión. El campo eléctrico siempre está dirigido radealmente hacia fuera desde una carga positiva y directamente hacia una carga negativa.

El campo eléctrico debido a un grupo de cargas puede obtenerse utilizando el principio de superposición. Es decir, el campo eléctrico total es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos de todas las cargas en ese punto:

En forma semejante, el campo eléctrico debido a una distribución de carga continua en un upunto está dado por:

donde dq es la carga sobre un elemento de la distribución de carga y r es la distancia desde el elemento al punto en cuestión.

Si una carga Q esta uniformemente distribuida en un volumen V , la carga por unidad de volumen  esta definida (Densidad de carga volumétrica)

donde  tiene unidades de C/m3

Si una carga Q está uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la densidad de carga superficial  está definidad por

donde  tiene unidades de C/m2

Finalmente, si una carga Q está uniformemente distribuida a lo largo de una línea de longitud L la densidad de carga lineal se define como:

donde  tiene unidades de C/m

Si la carga no está uniformemente distribuida sobre un volumen, superficie o línea, se tendrían que expresar las densidades de carga como:

donde dQ es la cantidad de carga en un elemento pequeño de volumen, superficie o longitud.

LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO

Las líneas de campo eléctrico se usan para describir el campo eléctrico en alguna región del espacio. El vector de campo eléctrico E siempre es tangente a la línea de campo encualquier punto. Además, el número de líneas por unidad de área a través de una superficie perpendicular a las líneas es proporcional a la magnitud de E en esa región.

Reglas para el trazo de líneas de campo eléctrico

Las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en las cargas negativas o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga.

El número de líneas que partan de la carga positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

Dos líneas de campo no pueden cruzarse.

MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

Una partícula cargada de masa m y carga q que se mueve en un campo eléctrico E tiene una aceleración a dada por:

si E es uniforme se puede ver que la aceleración es una constante del movimiento. Si la carga es positiva la aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si la carga es negativa, la dirección de la aceleración será opuesta a la del campo eléctrico.

Ecuaciones cinemáticas de una dimensión y de dos dimensiones