La integral de Riemann

 

 

CONCEPTO DE INTEGRAL

 

La geometría nos facilita ciertas fórmulas para calcular el área de determinadas figuras (círculo, triángulo, etc.). El problema se nos plantea cuando deseamos conocer el área definida por una función y = f(x), por ejemplo cuando alcanza zonas positivas y zonas negativas. Es decir, partiendo de un punto O y teniendo dos intervalo (a, O) y (O, b), el número que asignamos como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b].

 

Partición

 

Sea a < b. Recibe el nombre de partición del intervalo [a, b] toda colección finita de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b.

 

Ejemplo

 

Partición en cuatro subintervalos

 

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 = b

 

mi = mínimo de f en el intervalo i

Mi = máximo de f en el intervalo i

 

s = m1 · (t1 - t0) + m2 · (t2 - t1) + m3 · (t3 - t2) + m4 · (t4 - t3)

S = M1 · (t1 - t0) + M2 · (t2 - t1) + M3 · (t3 - t2) + M4 · (t4 - t3)

 

Generalizando: supongamos una función f acotada sobre [a, b] y P una partición de [a, b]:

 

• ð       mi = inf { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

• ð       Mi = sup { f(x) : ti-1 <= x <= ti }

 

Valor de una integral

 

• ð        La suma superior de f para P es U( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de Mi · ( ti - ti-1 )

• ð        La suma inferior de f para P es L( f, P ) = Sumatorio desde i = 1 hasta n de mi · ( ti - ti-1 )

 

Se cumple que:

 

L( f, P ) <= U( f, P )

 

Si aumentamos los puntos de la partición, es decir:

 

P = partición de n puntos || Q = partición de k puntos || k > n

L( f, P ) <= L( f, Q ) || U( f, P ) >= U( f, Q )

 

Al incrementar sucesivamente los puntos de la partición:

 

L1 <= L2 <= L3 <= L4 <= ... <= Ln <= A <= Un <= ... <= U4 <= U3 <= U2 <= U1

 

 

FUNCIONES INTEGRABLES

 

Definición

 

Una función f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si:

 

sup { L( f, P ) : P es una partición de [a, b] } = inf { U( f, P ) : P es una partición de [a, b] }

 

En este caso este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por:

 

[ b [ b

| f donde L( f, P ) <= | f <= U( f, P ) para todas las particiones de [a, b]

] a ] a

 

Teorema

 

Sea f una función acotada sobre [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para todo e > 0, existe una partición de P en [a, b] tal que:

 

U( f, P ) - L( f, P ) < e

 

Si una función es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Si f es continua en [a, b] salvo en un conjunto finito de puntos, y es además acotada en [a, b], entonces es integrable.

 

Propiedades

 

[ b [ b [ b

| ( m · f(x) + n · g(x) ) · dx = m · | f(x) · dx + n · | g(x) · dx

] a ] a ] a

[ b [ b

Si g(x) <= f(x) para todo el intervalo [a, b] entonces | g(x) · dx <= | f(x) · dx

] a ] a

 

[ b [ b [ b

| f(x) · dx = | f(x) · dx + | f(x) · dx

] a ] a ] a

 

 

INTEGRAL INDEFINIDA

 

Si f es una función integrable en [a, b], llamamos integral indefinida de f, a la función:

 

[ x

F(x) = | f · dx para todo x que pertenece a [a, b]

] a

 

Si f es una función acotada e integrable en [a, b], F(x) es continua en [a, b].

 

Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral

 

Si f es una función integrable en [a, b] y continua en un x0 perteneciente a [a, b], entonces la integral indefinida F es derivable en x0 y además F ' (x0) = f (x0). Este teorema nos permite calcular integrales indefinidas buscando la primitiva de la función bajo el signo integral (integrando), es decir, una función cuya derivada nos dé como resultado el integrando de la integral:

 

[

| f(x) · dx = F(x) + C => ( F(x) + C )' = f(x)

]

 

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral

 

Regla de Barrow

 

[ x

| f(x) · dx = F(x) - F(a)

] a

 

[ b

| f(x) · dx = F(b) - F(a)

] a

 

f(x) es una función integrable en el intervalo y que admite primitiva.

 

Ejemplo

 

Calcular la integral de (x^3 - 2)^2 · x^2 · dx :

 

[ [ [

| (x^3 - 2)^2 = | (x^6 + 4 - 4x^3) · x^2 · dx = | x^8 - 4x^5 + 4x^2 · dx

] ] ]

 

F(x) = x^9 / 9 - 4x^6 / 6 + 4x^3 / 3 + K

Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler, Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213 a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al cálculo integral.

Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.

Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

 

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

Así:

La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

 

 

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION

Primera propiedad

Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función

F(x) + C es otra primitiva de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)

 

Ejercicio: primitivas de una función

ð Encontrar tres primitivas de la función cos x.

Resolución:

ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

Segunda propiedad

Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

Demostración:

Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar

a C.

Tercera propiedad

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.

Demostración:

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C.

Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x);

si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x).

Restando miembro a miembro, F'(x) - G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

 

 

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».

Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

donde C representa una constante llamada constante de integración.

 

Ejercicio: cálculo de primitivas

Resolución:

ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

Resolución:

Por consiguiente,

Resolución:

INTEGRALES INMEDIATAS

De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

 

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas

Resolución:

ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.

Resolución:

 

Resolución:

ð Por la propiedad del producto de potencias de la misma base,

Por tanto,

Resolución:

ð Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.

ð Comprobar la veracidad del vigésimo caso de integral inmediata.

Resolución:

ð Hay que probar la certeza de la igualdad

Basta demostrar que la derivada de la función

cociente,

Así,

Se concluye que

Por consiguiente,

 

 

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( I )

Integración por descomposición

Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:

ð Primera propiedad de las integrales

La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones.

Esto es,

Demostración:

Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x) + g(x) y F(x) - G(x) es una primitiva de

f(x) - g(x), ya que:

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)

Por tanto,

Análogamente,

ð Segunda propiedad de las integrales

La integral del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Es decir,

Demostración:

Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k · F(x) es una primitiva de

k · f(x). Por tanto,

Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición

Resolución:

son integrales inmediatas pertenecientes al segundo caso.

En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1.

Así,

Por consiguiente,

Resolución:

= - cos x - 3 In |cos x| + C

Resolución:

ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:

ð Así,

Resolución:

(Obsérvese que ahora la variable es t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la más utilizada sea la x.)

ð Aplicando la propiedad distributiva del producto:

ð Entonces,

Resolución:

ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

ð Por tanto,

 

 

Resolución:

Integración por cambio de variable (o sustitución)

Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.

Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x → u(x) → u(x)m , la regla de la cadena

Por tanto,

Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

 

Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable

Resolución:

 

Resolución:

ð Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se

por la constante (en este caso 2) que falta.

Resolución:

 

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 3:

Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 6:

 

Resolución:

Por tanto,

 

La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función

u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).

Por consiguiente,

 

 

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II )

Ejercicio: cálculo de integrales mediante cambio de variable

Resolución:

ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.

ð Se multiplica y se divide por 3:

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por - 1.

 

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 2:

Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que

La derivada de - cos x es sen x. Por la regla de la cadena, la derivada de - cos u es

u' · sen u. Análogamente, la derivada de sen u es u' · cos u.

Así se tienen

 

Ejercicio: cálculo de integrales

Resolución:

La primera de ellas significa sen (x · x · x), mientras que la segunda es (sen x) · (sen x) · (sen x).

ð Se saca el factor 5 de la integral.

ð Se multiplica y se divide por 3.

ð Como en casos anteriores es sencillo demostrar que:

 

Ejercicio: cálculo de integrales

Resolución:

ð Se saca de la integral la constante 13.

ð Se multiplica y se divide por 50:

 

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 3.

 

Resolución:

ð Se extrae la constante 3 de la integral.

Por la derivada de un cociente,

Si u es una función de x, derivando por la regla de la cadena la función sec u, se obtiene u' · sec u · tg u. Análogamente, la derivada de la función - cosec u es u' · cosec u · cotg u. Por tanto,

Ejercicio: cálculo de integrales

Resolución:

ðSe multiplica y se divide por 2:

 

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 2:

 

Resolución:

 

ð De los casos 14, 15 y 16 de integrales inmediatas se deducen, de forma similar a como se ha hecho en los casos anteriores, las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

 

Ejercicio: cálculo de integrales

Resolución:

Así, se ve claro que el cambio que se ha de efectuar es:

Resolución:

ð Se multiplica y se divide por 3:

Resolución:

ð Esta integral, aparentemente, no pertenece a ninguno de los tres casos, aunque tiene cierto parecido a una integral del primer caso.

 

La técnica utilizada para resolver esta integral es de uso frecuente en el cálculo de integrales de cualquiera de estos tres modelos que se están estudiando.

Resolución:

ð Siguiendo los pasos del anterior ejercicio:

ð Esta integral pertenece al segundo de los dos casos. El cambio que se

Resolución:

lugar a una integral del tercer caso:

Por tanto, es necesario multiplicar y dividir por 3.

ð De los casos 17, 18, 19, y 20 de integrales inmediatas se obtienen las siguientes integrales inmediatas por cambio de variable:

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( III )

Ejercicio: cálculo de integrales

Resolución:

ð Esta integral pertenece al tercero de los casos. Basta escribir 6x2 - 1 de forma adecuada: 6x2 - 1 = (
x)2 - 1

 

Resolución:

ð Escribiendo 25 x2 en la forma (5x)2, el cambio a efectuar es u = 5x; u' = 5.

ð Se multiplica y se divide por 5.

 

Resolución:

ð Transformando adecuadamente 4 - x2, esta integral es del cuarto tipo:

Se estudia aquí esta integral por resolverse mediante un cambio de variable y por su frecuente uso en el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales definidas, que se estudiarán más adelante.

se hace uso del cambio de variable, x = a · sen t.

Diferenciando, dx = a · cos t dt.

Así,

 

Por trigonometría se sabe que:

En consecuencia,

Recordando que sen 2 t = 2 sen t · cos t,

Se llega, finalmente, a la siguiente igualdad:

 

Ejercicio: cálculo de integrales

Resolución:

ð Cambio de variable:

x = 3 sen t

dx = 3 cos t dt

ð Se deshace el cambio:

Resolución:

ð En este caso se aplicará directamente el resultado al que se llegó:

 

INTEGRAL DEFINIDA

El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.

Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

 

Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.

 

Calculando estas áreas se obtiene:

Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.

 

Área por defecto:

Área por exceso:

 

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

 

Además,

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.

 

Partición de un intervalo [a, b]

Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de

[a, b] es:

Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,

a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

 

ð Ejemplo de partición

Función escalonada

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en

R, f:[a,b] ð→ R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

ð Ejemplos de funciones escalonadas

1. La función f: [-3, 4] ð→ R definida por:

La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante.

Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte

La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que es menor o igual que el número del que se parte.

Así,

E [3,105] = 3

E [5] = 5

E [-3,001] = -4

E [-1,5401] = -2

E [7,32] = 7

E [-1,52] = -2

De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en los extremos.

 

INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION ESCALONADA

Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b} una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x ð (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b] al número

m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)

 

Este número se simboliza por:

A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

 

Propiedades de la integral definida de una función escalonada

ð La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida.

Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función

ð Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada, coinciden, entonces

ð Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la integral cambia de signo:

 

Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas

Resolución:

ð Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4}

Resolución:

ð Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

ð Por definición,

 

 

INTEGRAL DE RIEMANN

Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo

[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y M.

Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) ð f(x) para cualquier x ð [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) ð h(x) si x ð [a, b]. De todo ello resultaba que:

En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) ð f(x) ð h(x) cuando x ð [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla

para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) ð f(x) ð h(x) si

x ð [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.

 

significado de la integral definida de una función

ð Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe su
por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

ð Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función quedaría por debajo del eje de abscisas.

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que

el área de la región que determina una función negativa es:

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función escalonada es negativa.

 

ð Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].

Se ve claramente que:

 

La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se omite por escapar de los objetivos de este libro.

 

Teorema

Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es

Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua.

Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].

 

 

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe

A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:

Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con la variable x de la función f.

En estas condiciones, si t0 ð [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es continua, la función G es una primitiva de la función f.

El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.

Regla de Barrow

Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x ð (a, b), entonces

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.

Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.

Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

 

Ejercicio: cálculo de áreas

ð Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas

x = 1 y x = 2.

 

Resolución:

Dos propiedades fundamentales de la integral definida

Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el cálculo de integrales definidas:

1. Si K es un número real cualquiera,

 

 APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse

Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces

representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

 

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:

ð Se trazan las curvas.

ð Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.

ð Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

ð Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.

Para calcular su área se procede así:

Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de C.

(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:

 

Ejercicio: cálculo de áreas

ð Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x.

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

2. Puntos de corte de las dos curvas:

3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta

y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere calcular, es evidente que

S = A - B

El área también se podría haber calculado así:

 

ð Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 y

g(x) = x2 - 2x.

 

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

ð Máximos y mínimos de f(x):

ð Máximos de mínimos de g(x):

2. Puntos de corte de f(x) y g(x):

Puntos (0, 0) y (4,8)

3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.

Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:

 

ð Calcular el área del círculo de radio r .

Resolución:

ð Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:

ð Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema, se calculará el área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y =
pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se deduce que el área del círculo es:

ð Para resolver esta integral se hace el cambio de variable

x = r sen t dx = r · cos t

Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:

 

Volúmenes de sólidos

ð Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por último, que el sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b unidades de longitud del punto O.

ð Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es claro que V(a) = 0 y V(b) = V.

ð Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) · h.

Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x + h) se consideró que ambas eran iguales.

Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h

Dividiendo entre h,

En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teorema fundamental del cálculo,

Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido.

 

Ejercicio: cálculo de volúmenes

ð Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.

Resolución:

ð Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de una de las bases.

 

ð Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por tanto, A(x) = ðr 2.

ð

Volúmenes de cuerpos de revolución

Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.

Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:

Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:

Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

ð Calcular el volumen de una esfera de radio r.

Resolución:

ð Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de coordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera.

ð La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:

y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2

 

ð El volumen de la esfera es entonces:

 

ð Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.

Resolución:

ð Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices (0, 0),

(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r .

ð La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es

 

ð El volumen del cono es entonces: