INTEGRALES DOBLES

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,

F(x,y)= 1, o

F(x,y)= y,

Cuando se trate de calcular el área,

o el momento del área respecto al eje x.

La notación

"A" F(x, y)dA (1)

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,

A=xy=yx (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden

A1, A2…….An (3)

sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en

z= F(x, y)

El término

F(xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.

La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas:

"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)

Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.

Vamos a explicar ahora el significado de la notación

"A" F(x,y) dy dx

El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);

para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.

Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

(7)

Considerando x como constante se hace la integración respecta a y.

Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo

z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.

dV=A(x)dx,

Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincide con

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

(8)

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

(9)

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

(10)

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES

Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será

dm= (x, y)dydx=  (x, y)=dA (11)

en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular

a) la masa

M=""  (x, y)dA; (12)

b) el primer momento de la masa respecto al eje x

Mx="" y (x, y)dA (13a)

c) su primer momento respecto al eje y,

My="" x(x, y)dA (13b)

de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

(14)

y el momento de inercia respecto al eje y es

(15)

Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

(16)

Esta ultima formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y)

En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.

Observación 1.- Cuando una partícula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular  o velocidad lineal v= r, su energía cinética es

½mv²=½mr²².

Si un sistema de partículas de masa m1,m2,…,mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular , siendo r1,r2,…,rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es

(17)

donde

(18)

es le momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk.

Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de que esta animado esto

(19)

y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilíneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotación de igual modo que la masa de un automóvil podría consumir trabajo para iniciar o detener su movimiento.

Si en lugar de un sistema discreto de partículas, como en las ecuaciones 17, 18, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se hallan a distancia r± del eje donde  0 cuando tienden a cero la máxima dimensión del m. El momento de inercia de la mas total respecto al eje en cuestión se define por

(20)

Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano xy.

Además de su importancia en relación con la energía cinética de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempeña un papel decisivo en la teoría de la flexión de vigas cargadas, cuyo “coeficiente de rigidez” viene dado por EI, siendo E el modulo de Young, e I, el momento de inercia de una sección recta de la viga respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. Cuanto mayor sea I, tanto mejor resistirá la viga a la flexión. Este hecho se utiliza en las vigas de perfil en I con cuyas alas superior e inferior están a distancias relativamente grandes del centro, y proporcionan, por tanto, mayores valores de r2 en la ecuación 20, contribuyendo así a incrementar el momento de inercia respecto al que sería si toda la masa se hallase distribuida uniformemente; por ejemplo, en una viga de de perfil cuadrado.

Observación 2.- Los momentos son también importantes en estadística. El primer momento se utiliza en el calculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculo de varianza (²) o de la desviación típica ().

Los momentos tercero y cuarto también se Emplean en relación con ciertas magnitudes estadísticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis y el momento de t-ésimo se define por

En esta expresión; rk recorre todos los valores de la variable estadistica en consideración por ejemplo: rk puede representar altura en centímetro o peso en decagramos, etc. Mientras que mk Es el número de individuos de todo el grupo cuya “medida” es igual a rk. Una tabla de valores mk en función de rk constituye una “distribución de frecuencias”, de la Mt es el t-ésimo momento. La medida r se define por

(21)

donde M1 es el primer momento, y m="mk, el número total de individuos de la “población” considerada. La varianza 2 depende del segundo momento respecto a la media, y se define por

(22a)

donde  es la llamada desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica miden la forma en que los valores de r tienden a agruparse en torno a r (pequeños valores de ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones algebraicas en (22ª), la varianza se puede escribir también así

(22b)

Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y en el caso de la fórmula

(23)

que expresa el área en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b , y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x) deducido de la ecuación de la curva, antes de integrar, puesto que y significa la ordenada del punto (x, y) sobre la curva y=f(x). Pero en el caso de las integrales dobles 12 a 13 no hay que reemplazar por una función de x antes de integrar, porque el punto (x, y) es, en general, un punto del elemento dA=dydx y x e y son variables independientes. Las ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la región A intervienen solo en los límites de integración. Así:

1.- En el caso de integrales simples tales como

(24)

no se integra respecto a y, sino que se sustituye y por su valor en función de x antes de realizar la integración.

2.- En el caso de integrales dobles, tales como

(25)

hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar la integración. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de A se utilizan para los límites de integración y solo se deberán sustituir después de efectuar la integración.

COORDENADAS POLARES

Consideremos la región A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1(), r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector

R: 0 " r " a,  "  " 

Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

(26)

(27)

según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; por consiguiente

que después de efectuar operaciones se reduce a 27.

Imaginemos reiterado este proceso con reticulos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es contínua y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida a A:

(28)

Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

(29)

Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en términos generales.

X=f(u, v), y=g(u, v) (30)

Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante otra región G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g, la siguiente ecuación constituye la formula para el pase de las coordenadas xy a las coordenadas uv en una integral doble:

(31)

donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente determinante

En el caso de coordenadas polares se tiene:

x=r cos , y=r sen 

y

Por consiguiente, la ecuación 31 se adopta la forma:

" " (x, y) dx dy = " " (cos  + sen ) r dr d (32)

que corresponde a la 29

El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles

A=" " dx dy= " " r dr d (33)

con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede dividir en porciones de área

dAxy= dx dy (34)

Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que también puede dividirse en porciones de áreas

dAr=r dr d (35)

Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero observese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un calculo elemental que se ve que

dAxy=dx dy= d(r cos )d(r sen) " r dr d = dAr