EJERCICIO 1

Los saludos

Lo representaremos mediante un polígono, cada vértice representa una persona.

- Primero un polígono de 5 vértices.

- Ahora sacaremos una fórmula que lo confirme:

Desde cada vértice solo podemos sacar 2 diagonales porque las otras dos contiguas forman los lados y sobre él vértice mismo no es posible trazar ninguna línea. Es decir podemos unir 5 - 3 diagonales.

Sabemos que el total de diagonales es igual a la suma de consecutivos comenzando en 2 y que el último nº a sumar es el total de vértices (5) menos 2 ! 5 - 2. Luego la suma de extremos es igual a (5 - 2) + 2 = 5 por tantas sumas como parejas de extremos ()

Entonces si multiplicamos la suma de extremos por tantas diagonales como podemos unir (5 - 3) la fórmula final sería

Si resolvemos la fórmula: = 10/ 2 = 5 diagonales podemos trazar.

• Hemos comprobado que sí da el mismo resultado, pero para verificarlo lo haremos con el siguiente polígono de 6 lados, es decir ¿cuántos saludos se darían 6 personas?

= = 18 / 2 = 9 saludos se darán

Si lo representamos gráficamente y contamos las diagonales vemos que el resultado es cierto.

• Ahora resolvemos nuestro problema con 20 personas:

= = 340/ 2 = 170 saludos se darán 20 personas

Aplicamos a n la misma fórmula:

Si miramos el ejercicio b) sabemos que n representa a los vértices o lo que es lo mismo a las personas, y todo ello es igual a los saludos intercambiados que es nuestras incógnita. Sin embargo ahora la incógnita es n y tenemos el total de saludos que son 1225, si lo aplicamos obtenemos una ecuación:

Si la resolvemos despejaremos la incógnita y tendremos el resultado:

(2n - 6) 2n = 2450

(2n) 2n = 2450 + 6

22n = 2456

4n = 2456

n = = 614 personas se intercambiaran 1225 saludos.

EJERCICICO 2

CASTILLO DE CARTAS

• Cada caseta esta compuesta por 3 cartas, y cada piso por una caseta más que el anterior, por tanto, podemos emplear la suma de extremos y enunciar una fórmula sencilla:

1·3 + 2·3 + 3·3 + -------------- + 10·3

• 2·3+(10-1)·3

• 1·3+10·3

Si sumamos todas las operaciones que son la mitad del total de sumandos 10/5 = 5 y restamos 10 cartas -que viene de que no ponemos cartas en la base de la torre porque se apoya directamente en el suelo, y es la más mayor compuesta por 10 casetas con 10 bases cada una- obtenemos el resultado.

Por tanto la fórmula a aplicar para hallar la solución teniendo en cuenta la que ya sabemos de la suma de números consecutivos (x - 1) · x/2; es la siguiente:

(1·3 + x·3) · x/2 - x

(1·3 + 10x·3) · 10/2 - 10 = 33·5 - 10 = 165 - 10 = 155 cartas necesitamos

Aplicamos la fórmula del ejercicio anterior.

(1·3 + x·3) · x/2 - x

(1·3 + 62·3) · 62/2 - 62 = (190) · 31 - 62 = 5890 - 62 = 5828 cartas necesitamos

• EJERCICIO 3

Los azulejos del ayuntamiento

• Si contemplamos el dibujo en diagonal y contamos los azulejos del dibujo, comprobamos que hay por cada fila de 4 negros, 3 blancos. Si sumamos el cuadrado de los cuadrados negros + el cuadrado de los azulejos blancos, el resultado es 25.

42 + 32 = 16 + 9 = 25

- Si nos entretenemos a contar los azulejos del dibujo, vemos que efectivamente el resultado es 25 azulejos totales.

• ¿Y si tiene 149 azulejos de anchura, qué total tendrá?

Podemos entretenernos a contar los azulejos diagonales, pero teniendo en cuenta la deducción anterior, buscaremos una fórmula.

a = anchura n = azulejos negros b = azulejos blancos

N = total de azulejos

a = n + b ! sabemos que la suma de los 2 tipos de azulejos es igual a la anchura total

b = n - 1 ! siempre hay un azulejo mas negro por cada fila de blancos

N = n2 + b2 ! El total de azulejos es igual al cuadrado de 1 fila de negros + 1 fila de blancos

• Ahora despejaremos incógnitas:

(n - 1) = b ; a = (n - 1) + n ! si tomamos el primer ejemplo resuelto:

7 = (n - 1) + n

7 + 1 = (n) + n

8 = 2n

8/2= n ; n = 4 azulejos negros, por tanto 4-1= 3, son los azulejos blancos.

Resolvemos:

Si ! N = n2 + b2

N = 42 + 32

N = 25

- Para comprobar que la fórmula es válida, probamos con menos azulejos de modo que podamos contar para comprobar, la anchura es 3:

3 = (n - 1) + n

3 + 1 = 2n

4 = 2n ; n = 4/2 = 2 azulejos negros y 2-1=1 blancos

N = n2 + b2

N = 22 + 12

N = 4 + 1

N = 5 azulejos totales ; si los contamos vemos que es cierto, por tanto la fórmula es válida.

- Por fin aplicamos la fórmula para el caso que se nos pregunta en el problema: anchura de 149 azulejos.

149 = (n - 1) + n

149 + 1 = n + n

150 = 2n

n = 150/2 = 75 azulejos negros y 75 - 4 = 74 azulejos blancos

N = n2 + b2

N = 752 + 742

N = 5476 + 5625 = 11.101 azulejos totales

* Una fórmula más sencilla y también válida sería:

Si N= anchura

(N + 1 / 2)2 + (N - 1 /2)2

EJERCICIO 4

LA TORRE

-Una torre de 6 metros de altura:

Para averiguar cuantos cubos necesitamos, sumaremos la altura de la torre (6) a la formula X+1.X y la dividimos entre 2 y luego lo multiplicamos por 4 paredes que tiene la torre:

6+[(5+1).5/2].4=6+30/2.4=6+15.4=6+60=66 cubos necesitamos

-Una torre de 12 cubos de altura:

12+[(11+1).11/2].4=12+132/2.11=12+66.11=12+264=276 cubos necesitamos

-Una torre de altura N

Si N es la altura, llamaremos M al número máximo de altura que tienen las 4 paredes que sujetaran la torreta, por tanto, aplicando las condiciones anteriores saber la suma de los números consecutivos M+1.M/2 y multiplicando por el número de paredes queda la siguiente formula:

N+ [(M+1).M/2].4 esta es la altura de una torre N

Otra forma posible de obtener el resultado:

Fórmula: n+2n(n-1) ! n= número de cubos en altura

a)n+2n(n-1)=6+12(6-1)=6+60=66 cubos

b)n+2n(n-1)=12+24.11=276 cubos

c)n+2n(n-1)

Mi fórmula también válida es:

N · [(N - 1) + 1] ·

EJERCICIO CUADRICULA

En esta cuadrícula de 8x8 tienes que averiguar cuántas

cuadrículas de todos los tamaños hay; las vas

buscando a ojo: 8

Cuadrículas de 8x8 : hay 1  : 1 al cuadrado

Cuadrículas de 7x7 : hay 4  : 2 al cuadrado

Cuadrículas de 6x6 : hay 9  : 3 al cuadrado

Cuadrículas de 5x5 : hay 16 : 4 al cuadrado

Cuadrículas de 4x4 : hay 25 : 5 al cuadrado 8

Cuadrículas de 3x3 : hay 36 : 6 al cuadrado

Cuadrículas de 2x2 : hay 49 : 7 al cuadrado

Cuadrículas de 1x1 : hay 64 : 8 al cuadrado

Asi puedes aplicar la formula que te da al principio

de suma de numeros consecutivos  al cuadrado:

1 al cuadrado+2 al cuadrado+....+N al cuadrado es

igual a N(N+1}(2N+1}divido entre 6:

= 1224 / 6 = 204

El resultado sale 204 cuadrículas se pueden formar.

El resultado de cada suma de extremos es 33

Si trazamos diagonales entre los vértices y las contamos, obtenemos un resultado de 9; luego para un polígono de 5 vértices, obtenemos 5 diagonales !

N = 6 ! d = 5 ; es decir, si hubiera 6 personas, se darían 5 saludos.

Que si lo descomponemos en números consecutivos es igual a 2 + 3