GRUPOS

• CONCEPTOS BÁSICOS:

OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo contrario.

• GRUPOIDES:

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto y
una operación binaria en
, (
). Entonces se dice que el par
es un GRUPOIDE

DEFINICIÓN: Sea
un grupoide, entonces se dice que
es ELEMENTO NEUTRO de
(elemento identidad) si se verifica que:

.

PROPOSICIÓN: Si existe elemento neutro , es único:

Demostración:

Sean
y
elementos neutros de
. Entonces:

DEFINICIÓN: Sea
un grupoide con elemento neutro. Entonces se dice que
tiene ELEMENTO INVERSO(elemento opuesto) si:

OBSERVACIÓN: En un grupoide con elemento neutro los elementos inversos, si existen, pueden no ser únicos.

EJEMPLO:

Grupoide

inverso de	inverso de
inverso de	inverso de

• SEMIGRUPOS:

DEFINICIÓN: Se dice que
es un SEMIGRUPO si
es un grupoide con la propiedad asociativa. Matematicamente:

PROPOSICIÓN: Sea
un semigrupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si existe, de cualquier elemento de
es único.

Demostración:

Sea
un semigrupo y
su elemento neutro. Entonces:

son inversos de
. Por tanto:

EJEMPLO: Sea
, y
(composición de funciones). Entonces:

es un semigrupo con elemento neutro

¿Qué elementos tienen inverso?

(Por el teorema de la biyección)

Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa.

• HOMOMORFISMOS:

DEFINICIÓN: Sean
y
dos grupoides. Entonces una aplicación entre
y
es un HOMOMORFISMO si se verifica que:

EJEMPLO:

¿Es homomorfismo?

Luego no es homomorfismo

DEFINICIÓN: Se dice que:

Un homomorfismo inyectivo es un monomorfismo

Un homomorfismo suprayectivo es un epimorfismo

Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo

Un homomorfismo de
en
es un endomorfismo

Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo

• GRUPOS:

DEFINICIÓN: Sea un semigrupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen elemento inverso. Entonces dicho semigrupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par
, donde
es una operación binaria en
que verifica :

DEFINICIÓN: Sea un grupo
, donde
es una operación binaria en
que verifica las condiciones anteriormente expuestas, y además es conmutativo, es decir:

Entonces se dice que dicho grupo es un GRUPO CONMUTATIVO o ABELIANO.

PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO
. Entonces se verifica que:

Demostración:

El elemento neutro es único(Por ser Grupoide)

el inverso de
es único.

Demostración:

Demostración:

es abeliano

Demostración:

• EJEMPLOS:

	Grupo Abeliano		Grupo Abeliano
	Semigrupo con elemento neutro		Grupo Abeliano
	Semigrupo sin elemento neutro		Grupo Abeliano
	Semigrupo con elemento neutro		Grupo Abeliano
	Semigrupo con elemento neutro		Grupo Abeliano

• EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS:

• GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea
y
y “
” la composición de aplicaciones. Entonces
es el grupo de las aplicaciones biyectivas de
. Veamos que se cumplen las tres propiedades:

¿
?

Sea
,
y
.
pertenece claramente a
, por ser biyectiva. Entonces:

Luego se verifica.

Sean
y
. Entonces:

Luego se verifica

(por el teorema de la biyección)

Luego se verifica.

• GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea
y
el conjunto de las permutaciones de
. Entonces
es grupo por ser un caso particular del anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas.

• GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al grupo de las permutaciones de n elementos es como el grupo simétrico de n elementos, representado por
, formado por elementos de la forma:

Donde
es un elemento de
(
), de tal manera que lo que hace cada elemento de
es asignar a cada elemento de
otro elemento de
, que es el que está en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un grupo.

EJEMPLO:

,

Evidentemente existe elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y además, el grupo no es abeliano.

También podemos verlo como el grupo de las isometrías del triángulo equilátero(giros sobre el centro y las alturas), o grupo diédrico de orden 6:

• GRUPO ADITIVO: Sea
. Consideramos el conjunto
y en el la operación “
”definida por:

Entonces el par
es un grupo abeliano, llamado grupo aditivo.

Demostración:

Sea
y

Luego se verifica

Sean

Luego se verifica

Sean

Luego se verifica

Veamos si es conmutativo:

Sean

Luego se verifica.

Por tanto
es un grupo abeliano.

• GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea
y
primo. Consideramos el conjunto
y en él la operación “
”definida por:

Entonces el par
es un grupo abeliano, llamado grupo multiplicativo.

Demostración:

Sea
y

Luego se verifica

Sean

Luego se verifica

Sea

Entonces, por ser
primo, se verifica que:

Por tanto:

Luego se verifica

Veamos si es conmutativo:

Sean

Luego se verifica.

Por tanto
es un grupo abeliano.

• GRUPO DE MATRICES: Sean “
” y “
” la adición y el producto habitual entre matrices. Entonces:

•
es GA (Matrices reales de orden mxn) y

•
es GA (Matrices reales cuadradas con determinante no nulo). Se llama Grupo lineal de orden n.

•
es GA (Matrices reales cuadradas con determinante la unidad). Se llama Grupo especial lineal de orden n.

•
es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales). Se llama Grupo ortogonal de orden n.

•
es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales con determinante la unidad). Se llama Grupo ortogonal especial de orden n.

OBSERVACIÓN:

• SUBGRUPOS:

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se dice que
es un SUBGRUPO de
, y se escribe
si
es un grupo.

Por tanto, para ver si un subconjunto es subgrupo es necesario comprobar si :

¿ Es
operación en
?

¿ Es
asociativa en
?

¿ Es
conmutativa en
?

¿ Existe elemento neutro en
?

¿ Existe elemento inverso en
?

TEOREMA: Sea
un grupo,
,
. Entonces:

es grupo

Demostración:

Si
¿
?

por ser
grupoide

por ser
grupoide

Si
¿
?
¿
grupo?

Luego queda demostrado

OBSERVACIÓN: Si
es aditivo entonces

EJEMPLO:

TEOREMA(de Lagrange): Sea
un grupo finito y
. Entonces el orden de
divide al orden de
.

Este teorema se aplica al cálculo del número de subgrupos.

EJEMPLO: Veamos los subgrupos de
:

Subgrupo de orden 1:

Posibles subgrupos de orden 2:

Posibles subgrupos de orden 3:

Subgrupo de orden 6:

Estudiemos los posibles subgrupos de orden 3:

	No es subgrupo para
	No es subgrupo para
	No es subgrupo para
	No es subgrupo para

	No es subgrupo para
	No es subgrupo para
	No es subgrupo para

	Si es subgrupo para
	No es subgrupo para

	No es subgrupo para

Luego el único subgrupo de orden 3 es

TEOREMA: Sea
un grupo y
subgrupos de
. Entonces
.

Demostración:

Sea
¿

Luego la intersección de subgrupos es un subgrupos.

OBSERVACIÓN: La union de subgrupos, en general no es un subgrupo.

• SISTEMA GENERADOR:

IDEA INTUITIVA: Si
es un subconjunto de
, y no es subgrupo, ¿Qué hay que añadirle para que lo sea?.

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se define el SUBGRUPO GENERADO POR S, denotado por
como:

Podemos decir que
es el subgrupo “más pequeño” que contiene a

OBSERVACIÓN: Por el teorema anterior
, y

DEFINICIÓN: Si
es un grupo y
entonces se dice que
es un SISTEMA GENERADOR de
.

TEOREMA: Sea
un grupo y
. Entonces:

Entendiendo que:

EJEMPLO:

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se define el conjunto:

TEOREMA: Sea
un grupo abeliano y
. Entonces:

Demostración:

Donde la condición imprescindible es que
sea abeliano.

DEFINICIÓN: Sea
un GA y
. Entonces se dice que
es suma directa si

EJEMPLO:

Por el concepto de mcm

Luego:

• GRUPO COCIENTE:

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se establece una relación binaria tal que:

OBSERVACIÓN:

es una relación de equivalencia.

Demostración:

Si, por
.

Si

Si

A la relación anterior se le llama “Adjunción por la izquierda” y se suele escribir
9

De forma similar se define
. Se demuestra que es de equivalencia y se llama “Adjunción por la derecha”. Además, las clases de equivalencia son:

En general

Sea
. En tal caso

EJEMPLO:

EJEMPLO:

pues poseen elementos distintos

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se dice que
es NORMAL, INVARIANTE o DISTINGUIDO, y se representa por
si:

PROPOSICIÓN: Si
es abeliano, entonces todo subgrupo es normal.

TEOREMA(Caracterización de subgrupos normales): Sea
un grupo y
. Entonces:

Demostración :

Véase apéndice.

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Se representa por
al conjunto cociente
ó
. Si definimos:

Entonces se tiene que
es un grupo llamado GRUPO COCIENTE.

Demostración:

Veamos que
es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero ¿Depende del representante?

Sean:

(
) (
)

(
) (
)

Luego no depende del representante. Por tanto es operación interna.

Veamos ahora que
posee elemento neutro

Por tanto posee elemento neutro.

Estudiamos ahora si es asociativa:

Luego es asociativo.

Verificamos ahora que posee elemento inverso:

???

Luego tiene elemento inverso.

Por tanto queda demostrado que
es grupo

EJEMPLO:

Por ser
abeliano se verifica que

Luego

• HOMOMORFISMO DE GRUPOS:

DEFINICIÓN: Sean
y
grupos. Entonces se dice que la aplicación
es un homomorfismo de grupos si se verifica que:

OBSERVACIÓN:

Se introducen los conceptos de auto, epi, homomorfismo, etc..

Se dice que dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, y se escribe

PROPOSICIÓN:

Demostración:

Sea

Luego

Demostración:

Sea

Como el inverso es único , resulta que

Luego efectivamente

DEFINICIÓN: Sea
un homomorfismo de grupos. Entonces se define:

El núcleo de
como el conjunto

La imagen de
como el conjunto

TEOREMA: Sea
un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:

Demostración:

Evidentemente
, ya que

Luego es subgrupo. Veamos si es normal.

Luego es subgrupo normal. Queda demostrado

es monomorfismo si y solo si

Demostración:

Como
es monomorfismo resulta que
es inyectivo.

Sea

por ser
inyectivo

Luego

¿ Es
monomorfismo ?
¿ Es
inyectivo?
¿
?

Sean

Demostración:

Evidentemente
, ya que

Luego queda demostrado

es epimorfismo si y solo si

Demostración:

Como
es epimorfismo resulta que
es suprayectiva

Por tanto

Como la condición de pertenecer a
se verifica
resulta que

Por tanto
, luego
es suprayectiva y por tanto epimorfismo

TEOREMA(Isomorfía): Sean
y
dos grupos, y sea
un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:

Sabemos que
. Veamos, pues, el grupo cociente:

¿Cuáles son las clases?

Demostración:

Veamos que :
es aplicación, homomorfismo y es suprayectiva.

Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante:

Sea

Luego no depende del representante

Veamos ahora que es homomorfismo:

Luego es homomorfismo

Veamos ahora que es inyectivo:

Pero

Luego es inyectivo

Veamos ahora que es suprayectivo

Por definición de imagen:

Luego es suprayectivo.

Por tanto existe un homomorfismo biyectivo entre ambos grupos, y son isomorfos.

PROPOSICIÓN: Al igual que hicimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente un homomorfismo:

EJEMPLO:

Demostrar que
. Para ello vamos a convertir a
en el nucleo de un isomorfismo.

Definimos:

Veamos que
es homomorfismo:

Luego es homomorfismo

Evidentemente
, ya que

Veamos quien es la imagen:

Luego
, y por tanto son isomorfos, según el Teorema de Isomorfía

OBSERVACION:

Si
es suprayectivo(epimorfismo), entonces

Si
es inyectivo(monomorfismo), entonces

Si
es biyectivo(isomorfismo), entonces

EJEMPLO:

Veamos que
es un homomorfismo:

Luego es homomorfismo

Veamos si es inyectivo:

Luego
no es inyectiva

Evidentemente es suprayectiva, pues

Por tanto se verifica que:

EJEMPLO:

Veamos que
es un homomorfismo:

Luego es homomorfismo

Veamos si es inyectivo:

Luego
no es inyectiva

Evidentemente es suprayectiva, pues

Por tanto se verifica que:

• GRUPOS CICLICOS:

DEFINICIÓN: Sea
un grupo. Entonces se dice que
es cíclico si:

Es decir, si:

Grupo multiplicativo

Grupo aditivo

EJEMPLO:

Veamos ahora un caso de un grupo no ciclico:

Buscamos

Si
resulta que como

Luego
no es ciclico.

PROPOSICIÓN: Todo grupo cíclico es abeliano.

Demostración:

Sea
un grupo cíclico multiplicativo. Por tanto
, es decir:

Sean

Entonces:

PROPOSICIÓN: Todo subgrupo de un grupo cíclico es normal

OBSERVACIÓN: Para ser cíclico ha de ser abeliano.

TEOREMA: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Demostración:

Sea
un grupo cíclico y

¿
es cíclico?

Sea
, y sea
el ínfimo de
, que siempre existe por el axioma del supremo.

Veamos que

Basta utilizar que
es el menor subgrupo que contiene a
.

Si
, y como
resulta que

Sea

Aquí distinguimos tres casos:

como:

y:

ocurre que

Luego
, y por tanto

En este caso basta comprobar si
, ya que por ser
un

subgrupo ser verifica que:

con lo que volveriamos al caso 1

Sabemos que:
, lo que nos lleva al caso 1

DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se define el orden de
como el orden del subgrupo que genera, y se escribe

PROPOSICIÓN: Sea
un grupo finito. Entonces si
, el orden de
es el menor entero positivo
tal que
. Además, en ese caso se verifica que:

ya que:

Con lo que volveríamos a empezar.

PROPIEDADES:

Sea
un grupo finito de orden
. Entonces

Sea
un grupo y
con
. Entonces si
y
se verifica que

Sea
un grupo finito, con
y
primo. Entonces
es cíclico

(Teorema pequeño de Fermat) En
se verifica que

Demostración:

Sea

Por otro lado:

TEOREMA(De clasificación): Sea
un grupo cíclico. Entonces:

Si
tiene orden infinito entonces

Si
tiene orden finito entonces

Demostración:

Sabemos que

Definimos un isomorfismo tal que:

Veamos que es homomorfismo:

Luego es homomorfismo.

Veamos ahora si es suprayectivo:

Como
es cíclico

Luego es suprayectivo

Veamos ahora si es inyectivo:

¿
es inyectivo?

Supongamos que existe
. Eso implica que
es un grupo finito de
elementos, lo que es imposible

Supongamos que existe
, lo que es imposible, como ya hemos visto, por ser
infinito.

Por tanto
, y
es inyectivo.

Luego efectivamente
es un isomorfismo y

Si
, entonces

Definimos entonces un isomorfismo:

que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto

COROLARIO: Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.

TEOREMA: Sea
un grupo y
,
. Entonces, si
,
, se tiene que:

Demostración:

Sea
un grupo,
,
,
,
,
,
,
,
. Entonces:

Por tanto

Y como
,
, resulta que
, luego
, que es lo que queriamos demostrar.

OBSERVACIÓN: Si
es un grupo cíclico finito, el teorema anterior nos da una formula para calcular en orden de cualquier elemento de

EJEMPLO:

COROLARIO(Caracterización de los generadores de un grupo cíclico): Sea
un grupo cíclico,
. Entonces:

Si
entonces los generadores de
son
, donde
y

Si
entonces los generadores de
son
y

TEOREMA(Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico): Sea
un grupo cíclico,
, y
. Entonces los subgrupos de
son:

, donde
y

Además, solo existe un subgrupo por cada orden.

PROPOSICIÓN: Sea
un homomorfismo de grupos y
cíclico,
. Entonces para conocer
basta con conocer
.

Demostración:

Si
,
. Por tanto

TEOREMA: Sean
,
dos grupos cíclicos,
,
. Entonces todos los posibles isomorfismos entre
y
son todos los posibles homomorfismos entre
y
tales que llevan un generador de
en otro de
.

De ahora en adelante, y siempre que no haya lugar a confusión, representaremos los grupos por el conjunto en el que están construidos

Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el Teorema de Bezout:

Si
y
entonces

Veamos un ejemplo: El inverso de
en
Se trata de hallar
tal que
. Pero
Luego

Vease página 4

Si el grupo fuera aditivo, entonces

Si el grupo fuera aditivo, entonces el conjunto sería

Si
es aditivo entonces sería

Véase página 4

Son el mismo por ser

Lo que hacemos al crear
es fracturar
en subconjuntos(Clases de equivalencia) y tratarlos como elementos, de tal manera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma imagen, podemos considerar cada subconjunto como un elemento del conjunto
(De hecho, lo son), existiendo entonces un isomorfismo entre ambos conjunto (
e
)

Demostración análoga para grupos aditivos

De ahora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos
como

Por definición de

´Por el Teorema de Lagrange

Tengase en cuenta que el grupo es aditivo