Matemáticas
Grupos
GRUPOS
• CONCEPTOS BÁSICOS:
OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo contrario.
• GRUPOIDES:
DEFINICIÓN: Sea
un conjunto y
una operación binaria en
, (
). Entonces se dice que el par
es un GRUPOIDE
DEFINICIÓN: Sea
un grupoide, entonces se dice que
es ELEMENTO NEUTRO de
(elemento identidad) si se verifica que:
.
PROPOSICIÓN: Si existe elemento neutro , es único:
Demostración:
Sean
y
elementos neutros de
. Entonces:
DEFINICIÓN: Sea
un grupoide con elemento neutro. Entonces se dice que
tiene ELEMENTO INVERSO(elemento opuesto) si:
OBSERVACIÓN: En un grupoide con elemento neutro los elementos inversos, si existen, pueden no ser únicos.
EJEMPLO:
Grupoide
inverso de | inverso de |
inverso de | inverso de |
• SEMIGRUPOS:
DEFINICIÓN: Se dice que
es un SEMIGRUPO si
es un grupoide con la propiedad asociativa. Matematicamente:
PROPOSICIÓN: Sea
un semigrupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si existe, de cualquier elemento de
es único.
Demostración:
Sea
un semigrupo y
su elemento neutro. Entonces:
son inversos de
. Por tanto:
EJEMPLO: Sea
, y
(composición de funciones). Entonces:
es un semigrupo con elemento neutro
¿Qué elementos tienen inverso?
(Por el teorema de la biyección)
Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa.
• HOMOMORFISMOS:
DEFINICIÓN: Sean
y
dos grupoides. Entonces una aplicación entre
y
es un HOMOMORFISMO si se verifica que:
EJEMPLO:
¿Es homomorfismo?
Luego no es homomorfismo
DEFINICIÓN: Se dice que:
Un homomorfismo inyectivo es un monomorfismo
Un homomorfismo suprayectivo es un epimorfismo
Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo
Un homomorfismo de
en
es un endomorfismo
Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo
• GRUPOS:
DEFINICIÓN: Sea un semigrupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen elemento inverso. Entonces dicho semigrupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par
, donde
es una operación binaria en
que verifica :
DEFINICIÓN: Sea un grupo
, donde
es una operación binaria en
que verifica las condiciones anteriormente expuestas, y además es conmutativo, es decir:
Entonces se dice que dicho grupo es un GRUPO CONMUTATIVO o ABELIANO.
PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO
. Entonces se verifica que:
Demostración:
El elemento neutro es único(Por ser Grupoide)
el inverso de
es único.
Demostración:
Demostración:
es abeliano
Demostración:
• EJEMPLOS:
| Grupo Abeliano | | Grupo Abeliano |
| Semigrupo con elemento neutro | | Grupo Abeliano |
| Semigrupo sin elemento neutro | | Grupo Abeliano |
| Semigrupo con elemento neutro | | Grupo Abeliano |
| Semigrupo con elemento neutro | | Grupo Abeliano |
• EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS:
• GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea
y
y “
” la composición de aplicaciones. Entonces
es el grupo de las aplicaciones biyectivas de
. Veamos que se cumplen las tres propiedades:
¿
?
Sea
,
y
.
pertenece claramente a
, por ser biyectiva. Entonces:
Luego se verifica.
Sean
y
. Entonces:
Luego se verifica
(por el teorema de la biyección)
Luego se verifica.
• GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea
y
el conjunto de las permutaciones de
. Entonces
es grupo por ser un caso particular del anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas.
• GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al grupo de las permutaciones de n elementos es como el grupo simétrico de n elementos, representado por
, formado por elementos de la forma:
Donde
es un elemento de
(
), de tal manera que lo que hace cada elemento de
es asignar a cada elemento de
otro elemento de
, que es el que está en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un grupo.
EJEMPLO:
,
Evidentemente existe elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y además, el grupo no es abeliano.
También podemos verlo como el grupo de las isometrías del triángulo equilátero(giros sobre el centro y las alturas), o grupo diédrico de orden 6:
• GRUPO ADITIVO: Sea
. Consideramos el conjunto
y en el la operación “
”definida por:
Entonces el par
es un grupo abeliano, llamado grupo aditivo.
Demostración:
Sea
y
Luego se verifica
Sean
Luego se verifica
Sean
Luego se verifica
Veamos si es conmutativo:
Sean
Luego se verifica.
Por tanto
es un grupo abeliano.
• GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea
y
primo. Consideramos el conjunto
y en él la operación “
”definida por:
Entonces el par
es un grupo abeliano, llamado grupo multiplicativo.
Demostración:
Sea
y
Luego se verifica
Sean
Luego se verifica
Sea
Entonces, por ser
primo, se verifica que:
Por tanto:
Luego se verifica
Veamos si es conmutativo:
Sean
Luego se verifica.
Por tanto
es un grupo abeliano.
• GRUPO DE MATRICES: Sean “
” y “
” la adición y el producto habitual entre matrices. Entonces:
•
es GA (Matrices reales de orden mxn) y
•
es GA (Matrices reales cuadradas con determinante no nulo). Se llama Grupo lineal de orden n.
•
es GA (Matrices reales cuadradas con determinante la unidad). Se llama Grupo especial lineal de orden n.
•
es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales). Se llama Grupo ortogonal de orden n.
•
es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales con determinante la unidad). Se llama Grupo ortogonal especial de orden n.
OBSERVACIÓN:
• SUBGRUPOS:
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se dice que
es un SUBGRUPO de
, y se escribe
si
es un grupo.
Por tanto, para ver si un subconjunto es subgrupo es necesario comprobar si :
¿ Es
operación en
?
¿ Es
asociativa en
?
¿ Es
conmutativa en
?
¿ Existe elemento neutro en
?
¿ Existe elemento inverso en
?
TEOREMA: Sea
un grupo,
,
. Entonces:
es grupo
Demostración:
Si
¿
?
por ser
grupoide
por ser
grupoide
Si
¿
?
¿
grupo?
Luego queda demostrado
OBSERVACIÓN: Si
es aditivo entonces
EJEMPLO:
TEOREMA(de Lagrange): Sea
un grupo finito y
. Entonces el orden de
divide al orden de
.
Este teorema se aplica al cálculo del número de subgrupos.
EJEMPLO: Veamos los subgrupos de
:
Subgrupo de orden 1:
Posibles subgrupos de orden 2:
Posibles subgrupos de orden 3:
Subgrupo de orden 6:
Estudiemos los posibles subgrupos de orden 3:
| |
| No es subgrupo para |
| No es subgrupo para |
| No es subgrupo para |
| No es subgrupo para |
| |
| No es subgrupo para |
| No es subgrupo para |
| No es subgrupo para |
| |
| Si es subgrupo para |
| No es subgrupo para |
| |
| No es subgrupo para |
Luego el único subgrupo de orden 3 es
TEOREMA: Sea
un grupo y
subgrupos de
. Entonces
.
Demostración:
Sea
¿
Luego la intersección de subgrupos es un subgrupos.
OBSERVACIÓN: La union de subgrupos, en general no es un subgrupo.
• SISTEMA GENERADOR:
IDEA INTUITIVA: Si
es un subconjunto de
, y no es subgrupo, ¿Qué hay que añadirle para que lo sea?.
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se define el SUBGRUPO GENERADO POR S, denotado por
como:
Podemos decir que
es el subgrupo “más pequeño” que contiene a
OBSERVACIÓN: Por el teorema anterior
, y
DEFINICIÓN: Si
es un grupo y
entonces se dice que
es un SISTEMA GENERADOR de
.
TEOREMA: Sea
un grupo y
. Entonces:
Entendiendo que:
EJEMPLO:
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se define el conjunto:
TEOREMA: Sea
un grupo abeliano y
. Entonces:
Demostración:
Donde la condición imprescindible es que
sea abeliano.
DEFINICIÓN: Sea
un GA y
. Entonces se dice que
es suma directa si
EJEMPLO:
Por el concepto de mcm
Luego:
• GRUPO COCIENTE:
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se establece una relación binaria tal que:
OBSERVACIÓN:
es una relación de equivalencia.
Demostración:
Si, por
.
Si
Si
A la relación anterior se le llama “Adjunción por la izquierda” y se suele escribir
9
De forma similar se define
. Se demuestra que es de equivalencia y se llama “Adjunción por la derecha”. Además, las clases de equivalencia son:
En general
Sea
. En tal caso
EJEMPLO:
EJEMPLO:
pues poseen elementos distintos
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se dice que
es NORMAL, INVARIANTE o DISTINGUIDO, y se representa por
si:
PROPOSICIÓN: Si
es abeliano, entonces todo subgrupo es normal.
TEOREMA(Caracterización de subgrupos normales): Sea
un grupo y
. Entonces:
Demostración :
Véase apéndice.
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Se representa por
al conjunto cociente
ó
. Si definimos:
Entonces se tiene que
es un grupo llamado GRUPO COCIENTE.
Demostración:
Veamos que
es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero ¿Depende del representante?
Sean:
(
) (
)
(
) (
)
Luego no depende del representante. Por tanto es operación interna.
Veamos ahora que
posee elemento neutro
Por tanto posee elemento neutro.
Estudiamos ahora si es asociativa:
Luego es asociativo.
Verificamos ahora que posee elemento inverso:
???
Luego tiene elemento inverso.
Por tanto queda demostrado que
es grupo
EJEMPLO:
Por ser
abeliano se verifica que
Luego
• HOMOMORFISMO DE GRUPOS:
DEFINICIÓN: Sean
y
grupos. Entonces se dice que la aplicación
es un homomorfismo de grupos si se verifica que:
OBSERVACIÓN:
Se introducen los conceptos de auto, epi, homomorfismo, etc..
Se dice que dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, y se escribe
PROPOSICIÓN:
Demostración:
Sea
Luego
Demostración:
Sea
Como el inverso es único , resulta que
Luego efectivamente
DEFINICIÓN: Sea
un homomorfismo de grupos. Entonces se define:
El núcleo de
como el conjunto
La imagen de
como el conjunto
TEOREMA: Sea
un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:
Demostración:
Evidentemente
, ya que
Luego es subgrupo. Veamos si es normal.
Luego es subgrupo normal. Queda demostrado
es monomorfismo si y solo si
Demostración:
Como
es monomorfismo resulta que
es inyectivo.
Sea
por ser
inyectivo
Luego
¿ Es
monomorfismo ?
¿ Es
inyectivo?
¿
?
Sean
Demostración:
Evidentemente
, ya que
Luego queda demostrado
es epimorfismo si y solo si
Demostración:
Como
es epimorfismo resulta que
es suprayectiva
Por tanto
Como la condición de pertenecer a
se verifica
resulta que
Por tanto
, luego
es suprayectiva y por tanto epimorfismo
TEOREMA(Isomorfía): Sean
y
dos grupos, y sea
un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:
Sabemos que
. Veamos, pues, el grupo cociente:
¿Cuáles son las clases?
Demostración:
Veamos que :
es aplicación, homomorfismo y es suprayectiva.
Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante:
Sea
Luego no depende del representante
Veamos ahora que es homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Veamos ahora que es inyectivo:
Pero
Luego es inyectivo
Veamos ahora que es suprayectivo
Por definición de imagen:
Luego es suprayectivo.
Por tanto existe un homomorfismo biyectivo entre ambos grupos, y son isomorfos.
PROPOSICIÓN: Al igual que hicimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente un homomorfismo:
EJEMPLO:
Demostrar que
. Para ello vamos a convertir a
en el nucleo de un isomorfismo.
Definimos:
Veamos que
es homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Evidentemente
, ya que
Veamos quien es la imagen:
Luego
, y por tanto son isomorfos, según el Teorema de Isomorfía
OBSERVACION:
Si
es suprayectivo(epimorfismo), entonces
Si
es inyectivo(monomorfismo), entonces
Si
es biyectivo(isomorfismo), entonces
EJEMPLO:
Veamos que
es un homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Veamos si es inyectivo:
Luego
no es inyectiva
Evidentemente es suprayectiva, pues
Por tanto se verifica que:
EJEMPLO:
Veamos que
es un homomorfismo:
Luego es homomorfismo
Veamos si es inyectivo:
Luego
no es inyectiva
Evidentemente es suprayectiva, pues
Por tanto se verifica que:
• GRUPOS CICLICOS:
DEFINICIÓN: Sea
un grupo. Entonces se dice que
es cíclico si:
Es decir, si:
Grupo multiplicativo
Grupo aditivo
EJEMPLO:
| |
| |
| |
Veamos ahora un caso de un grupo no ciclico:
Buscamos
Si
resulta que como
Luego
no es ciclico.
PROPOSICIÓN: Todo grupo cíclico es abeliano.
Demostración:
Sea
un grupo cíclico multiplicativo. Por tanto
, es decir:
Sean
Entonces:
PROPOSICIÓN: Todo subgrupo de un grupo cíclico es normal
OBSERVACIÓN: Para ser cíclico ha de ser abeliano.
TEOREMA: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Demostración:
Sea
un grupo cíclico y
¿
es cíclico?
Sea
, y sea
el ínfimo de
, que siempre existe por el axioma del supremo.
Veamos que
Basta utilizar que
es el menor subgrupo que contiene a
.
Si
, y como
resulta que
Sea
Aquí distinguimos tres casos:
como:
y:
ocurre que
Luego
, y por tanto
En este caso basta comprobar si
, ya que por ser
un
subgrupo ser verifica que:
con lo que volveriamos al caso 1
Sabemos que:
, lo que nos lleva al caso 1
DEFINICIÓN: Sea
un grupo y
. Entonces se define el orden de
como el orden del subgrupo que genera, y se escribe
PROPOSICIÓN: Sea
un grupo finito. Entonces si
, el orden de
es el menor entero positivo
tal que
. Además, en ese caso se verifica que:
ya que:
Con lo que volveríamos a empezar.
PROPIEDADES:
Sea
un grupo finito de orden
. Entonces
Sea
un grupo y
con
. Entonces si
y
se verifica que
Sea
un grupo finito, con
y
primo. Entonces
es cíclico
(Teorema pequeño de Fermat) En
se verifica que
Demostración:
Sea
Por otro lado:
TEOREMA(De clasificación): Sea
un grupo cíclico. Entonces:
Si
tiene orden infinito entonces
Si
tiene orden finito entonces
Demostración:
Sabemos que
Definimos un isomorfismo tal que:
Veamos que es homomorfismo:
Luego es homomorfismo.
Veamos ahora si es suprayectivo:
Como
es cíclico
Luego es suprayectivo
Veamos ahora si es inyectivo:
¿
es inyectivo?
Supongamos que existe
. Eso implica que
es un grupo finito de
elementos, lo que es imposible
Supongamos que existe
, lo que es imposible, como ya hemos visto, por ser
infinito.
Por tanto
, y
es inyectivo.
Luego efectivamente
es un isomorfismo y
Si
, entonces
Definimos entonces un isomorfismo:
que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto
COROLARIO: Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.
TEOREMA: Sea
un grupo y
,
. Entonces, si
,
, se tiene que:
Demostración:
Sea
un grupo,
,
,
,
,
,
,
,
. Entonces:
Por tanto
Y como
,
, resulta que
, luego
, que es lo que queriamos demostrar.
OBSERVACIÓN: Si
es un grupo cíclico finito, el teorema anterior nos da una formula para calcular en orden de cualquier elemento de
EJEMPLO:
COROLARIO(Caracterización de los generadores de un grupo cíclico): Sea
un grupo cíclico,
. Entonces:
Si
entonces los generadores de
son
, donde
y
Si
entonces los generadores de
son
y
TEOREMA(Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico): Sea
un grupo cíclico,
, y
. Entonces los subgrupos de
son:
, donde
y
Además, solo existe un subgrupo por cada orden.
PROPOSICIÓN: Sea
un homomorfismo de grupos y
cíclico,
. Entonces para conocer
basta con conocer
.
Demostración:
Si
,
. Por tanto
TEOREMA: Sean
,
dos grupos cíclicos,
,
. Entonces todos los posibles isomorfismos entre
y
son todos los posibles homomorfismos entre
y
tales que llevan un generador de
en otro de
.
De ahora en adelante, y siempre que no haya lugar a confusión, representaremos los grupos por el conjunto en el que están construidos
Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el Teorema de Bezout:
Si
y
entonces
Veamos un ejemplo: El inverso de
en
Se trata de hallar
tal que
. Pero
Luego
Vease página 4
Si el grupo fuera aditivo, entonces
Si el grupo fuera aditivo, entonces el conjunto sería
Si
es aditivo entonces sería
Véase página 4
Son el mismo por ser
Lo que hacemos al crear
es fracturar
en subconjuntos(Clases de equivalencia) y tratarlos como elementos, de tal manera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma imagen, podemos considerar cada subconjunto como un elemento del conjunto
(De hecho, lo son), existiendo entonces un isomorfismo entre ambos conjunto (
e
)
Demostración análoga para grupos aditivos
De ahora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos
como
Por definición de
´Por el Teorema de Lagrange
Tengase en cuenta que el grupo es aditivo
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Idioma: | castellano |
País: | España |