GRAVITACIÓN UNIVERSAL

1ª) HISTORIA DA GRAVITACIÓN: LEIS DE KEPLER

Ao longo da historia xurdiron diversas teorías para explicar o funcionamento do Sistema Solar:

• Ptolomeo de Alexandría (100-170): o So, e os demáis planetas describen órbitas circulares aorredor da Terra, que permañece fixa. Ésta é a teoría xeocéntrica

• Copérnico (1473-1543): os planetas xiran en torno ao Sol en órbitas circulares

• Tycho brahe (1546-1601): realizou un gran nº de medidas astronómicas, que evidenciaron que o movemento dos planetas non era circular

• Kepler (1571-1630): fai un gran nº de medidas astronómicas, e aproveitando os datos de Tycho Brahe enuncia as tres leis que explican a configuración do Sistema Solar:

Tódolos planetas móvense en órbitas elípticas tendo ao Sol nun dos focos da elipse

O radio vector que xungue ao centro do Sol co planeta varre áreas iguais en tempos iguais. Isto ven a dicir que o planeta vai máis rápido cando está máis cerca do Sol (perihelio) que cando está máis lonxe (afelio)

O cociente entre o cadrado do tempo de revolución en torno ao Sol dun planeta e o cubo do semieixo maior da súa órbita é o mesmo para tódolos planetas (constante):

2ª) CAMPOS DE FORZAS CENTRAIS

a) Forzas centrais

Son aquelas forzas nas que a súa liña de acción pasa sempre por un mesmo ponto fixo, chamado centro. Así a forza e o vector de posición teñen sempre a mesma dirección. Unexemplo de forza central é a debida ao campo gravitatorio que sempre ten carácter atractivo. Outro exemplo serían as forzas debidas ao campo eléctrico, que poden ser atractivas ou repulsivas:

m

m m

m

M é a masa central, m son as masas da periferia, é a forza central de interacción entre M e m, e é un vector unitario de dirección radial. Como o vector e o vector son opostos, a súa relación matemática ten signo negativo:

onde K é unha relación de proporcionalidade

b) Conservación do momento angular

Para unha partícula de masa m que se desplaza cunha velocidade debida a unha forza central , o momento angular está dado pola seguinte expresión:

Onde é o vector de posición da partícula e é o momento liñal da partícula

z

y

x

m

Unha vez definido o momento angular , imos ver como varía co tempo.

• Primeiramente realizamos a súa derivada respecto ao tempo:

• Tendo en conta que: e que , podemos escribir que: , posto que se trata do producto vectorial de dous vectores paralelos (sen90º = 0)

• Por outro lado podemos escribir que:

• Finalmente: , e o producto dunha forza polo vector de posición é o momento da forza:

• Como a forza é unha forza central, e teñen a mesma dirección (son paralelos), e o seu producto vectorial é 0 (sen90º = 0):

Principio de conservación do momento angular

Aplicando éste principio ao movemento dun planeta en torno ao Sol, debido a un campo de forzas centrais, dedúcense as seguintes consecuencuias:

• Dirección de constante: o planeta ten unha traxectoria plana, xa que se non fose así cambiaría de dirección.

• Senso de constante: o planeta xira sempre no mesmo senso, xa que se cambiara de senso, tamén cambiaría o senso de .

Deste principio de conservación dedúcese a 2ª lei de Kepler do movemento planetario: “as áreas barridas polo radio vector que xungue ao Sol co planeta son iguais en tempos iguais”. Imos facer a súa demostración matemática aplicada ao movemento dun planeta en torno ao Sol:

• Nun tempo dt, o vector varre a área dA, que aproximaremos á área do triángulo OAB:

B

ds

A

• Por outro lado, o módulo do momento angular é:

E usando a expresión anterior: , porque tanto L como m son constantes. é a velocidade areolar, que representa a área que varre o vector nun tempo dado.

c) Carácter conservativo dunha forza central

Tódalas forzas centrais son conservativas, é decir, o traballo realizado por éstas forzas para desplazar a unha partícula de masa m dende o ponto A ata o ponto B non depende do camiño percorrido, senón dos pontos inicial e final.

Unha forza central exprésase como o gradiente dun campo escalar : ou

Ao realizar un traballo que vaia dende un poto inicial A ata un ponto final B e regrese ao ponto inicial (traballo ao longo dunha liña pechada), teremos:

Posto que o traballo total realizado non depende do camiño percorrido senón dos pontos inicial e final, as forzas son conservativas.

Outro xeito de decir que unha forza é conservativa é que ao actuar sobor dun corpo de masa m a Enerxía mecánica permañece constante. A enerxía mecánica é a suma das enerxías potencial e cinética que posee un corpo, e ésta suma é constante:

Para demostrar isto, suporemos que un corpo se desplaza dende o ponto A ata o ponto B. Imos ver canto vale o traballo aplicado sobor dese corpo:

• Igualando as expresións anteriores:

4ª) LEI DA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Baseándose nas leis de Kepler, Newton demostrou que a forza que rexe o movemento dos planetas é unha forza central, á que chamou Forza Gravitatoria. Aplicando éstes conceptos ao movemento da Terra en torno ao Sol nunha órbita circular (para simplificar cálculos), teremos:

• O movemento da Terra é circular e uniforme:

!

an é constante porque a velocidade v, e o radio de xiro r, tamén o son

• En base á 2ª lei da Dinámica, sempre que existe unha aceleración sobor dun corpo de masa m, será debida á existencia dunha forza F: . Ésta forza está dirixida cara ao centro do Sol: FS-T, e tendo en conta que nun movemento circular cúmplese que , podemos escribir o seguinte:

• Por outro lado, ao ser un movemento circular uniforme, existirá un periodo T de rotación:

Ao sustituir na expresión de FS-T, teremos:

• Multiplicando e dividindo por r2, e tendo en conta a terceira lei de Kepler :

• En base á 3ª lei da Dinámica (acción e reacción), se o Sol exerce unha forza sobor da Terra, ésta exercerá outra forza sobor do Sol, igual pero de senso contrario:

• Como as forzas son iguais, podemos igualar ambas expresións:

• Ao sustituir a expresión anterior en F, teremos:

Onde G = 6,67.10-11 N.m2.Kg-2 (constante de gravitación universal)

• A expresión vectorial da forza é:

O signo menos é debido a que e teñen sensos contrarios.

M m

5ª) CAMPO GRAVITATORIO

a) Intensidade de Campo Gravitatoiro

Sexa unha masa M e nas súas proximidades consideramos outra masa m. Ésta masa m é atraída pola masa M cunha forza que ven dada pola expresión vista no apartado anterior. Ao alonxar á masa m da masa M a unha distancia maior que a inicial disminue a forza con que a masa M a atrae. Chega un momento que ao alonxar tanto a masa m a forza que exerce M sobor de m é nula: dícese entón que m está no infinito e á rexión do espacio onde M manifesta os seus efectos chámaselle Campo Gravitatorio.

Todo Campo Gravitatorio está determiñado por tres elementos que o definen:

• A intensidade do Campo

• O potencial do campo

• As liñas de forza (que nos permiten visualizar ao Campo)

Defínese Intesidade de campo gravitatorio nun ponto, como a forza que exerce a masa que xenerou o campo sobor da unidade de masa colocada nese ponto:

!

Tal e como se pode observar, é unha magnitude vectorial que posee a mesma dirección e senso que a forza gravitatoria.

Se tivésemos varias masas que xeneren cada unha delas campos gravitatorios, o campo gravitatorio xeral será a suma vectorial dos campos xerados por cada masa:

b) Campo Gravitatorio terrestre

Aplicando a expresión terrestre a un corpo situado na superficie da Terra, teremos:

c) Liñas de forza do Campo Gravitatorio

As liñas de forza do Campo gravitatorio xerado por unha masa M, representan o camiño percorrido por unha partícula de masa m abandonada nese Campo gravitatorio. O Campo é radial dirixido sempre hacia M. O nº de liñas de campo que atravesan unha superficie S van depender dunha serie de factores:

• Tamaño da superficie

• Nº de liñas de campo

• Posición da superficie: se a superficie é perpendicular ás liñas de campo, o nº de liñas de campo que atravesan á superficie será máxima, e se é paralela será mínima

d) Fluxo do Campo Gravitatorio

Defínese unha nova magnitude chamada Fluxo do campo () como o nº de liñas de campo que atravesan unha superficie dada S:

Se o campo non é uniforme, a intensidade en cada ponto da superficie varía, polo cal teremos que coller un elemento dS de superficie:

Se a superficie é pechada, o fluxo total do Campo pode ser de dous tipos:

• Fluxo positivo se as liñas de campo saen fora da superficie

• Fluxo negativo se as liñas de campo entran na superficie

Para o Campo Gravitatorio, cúmplese que  < 0 xa que as liñas de campo entran na superficie

6ª) ENERXÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

Cando as forzas son conservativas, o traballo só depende da posición inicial e da posición final do corpo a tratar, e a cada ponto da traxectoria seguida por ese corpo pódeselle asignar un escalar, chamado Enerxía Potencial (EP).

• A forza gravitatoria é unha forza central , e polo tanto, será conservativa, Ao desprazar a unha partícula de masa m dende o ponto B ata o A, teremos que o traballo realizado será:

• Por outro lado, o traballo defínese como:

• Comparando ambas expresión, podemos escribir o seguinte:

• Finalmente, a enerxía potencial graviatoria defínese como:

• O signo menos significa o seguinte: se a enerxía potencial a unha distancia infinita é cero, a medida que nos imos aproximando ao centro do campo, a enerxía disminue (aumenta en valor negativo, o que sognifica que é unha enerxía desprendida).

A pequenas alturas sobor do chan, a Enerxía potencial gravitatoria pode expresarse do seguinte xeito:

A enerxía potencial pode ser positiva ou negativa, dependendo da orixe do sistema de referencia que se considere.

• Se usamos a expresión para pontos situados na superficie da Terra, a enerxía potencial ten valor positivo.

• Se usamos a expresión , suponse a orixe nun ponto inifitamente afastado da Terra. Así o signo da enerxía potencial será negativo

7ª) POTENCIAL GRAVITATORIO

Defínese o potencial gravitatorio V, á enerxía potencial gravitatoria por unidade de masa en cada ponto do campo gravitatorio.

!

O Potencial gravitatorio nun ponto equivale ao traballo que temos que facer para levar (con velocidade constante) á unidade de masa dende o infinito ata ese ponto.

O lugar xeométrico dos pontos do espacio que poseen o mesmo valor do Potencial gravitatorio chámase superficie equipotencial:

• Son superficies concéntricas e perpendiculares ás liñas de campo

• En cada superficie, o valor de V permañece constante, é decir, o traballo realizado para desplazar a unha masa por esa superficie é nulo

Resumindo, nun campo gravitatorio aparecen dúas funcións:

• Unha función vectorial: vector campo

• Unha función escalar: potencial

8ª) SATÉLITES ARTIFICIAIS

a) Velocidade de escape.

Para lanzar fora do Campo Gravitatorio terrestre un satélite, é necesario aplicarlle unha velocidade mínima chamada velocidade de escape. Ésta velocidade mínima significa unha enerxía mínima igual ao traballo necesario para levar ao satélite de masa m dende a superficie da Terra ata o infinito.

Como a Enerxía mecánica permañece constante, aplicamos o principio de conservación da enerxía mecánica a dous pontos: o ponto 1, situado na superficie da Terra, e o ponto 2, situado a unha distancia infinita da superficie terrestre:

Da expresión anterior despexo v1 e obtemos:

Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:

Para o caso da Terra, g = 9,81 m/s2 e RT = 6378 Km, e sustituindo:

b) Velocidade orbital

É a velocidade que debe ter un satélite para manterse xirando nunha órbita circular estacionaria a unha altura h sobor da superficie da Terra.

A forza con que a Terra atrae ao satélite vale:

Por outro lado, ao rotar o satélite posee unha forza centrípeta:

Posto que o movemento é uniforme, v = cte. (at = 0) e aplicando a 2ª lei de Newton:

Para que isto sexa así as dúas forzas anteriores serán iguais:

, e despexando o valor de v, teremos.

Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:

c) Periodo de revolución dun satélite

É o tempo que tarda o satélite en percorrer unha órbita completa. Aplicando as expresións do movemento circular uniforme:

Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:

CUESTIONS SELECTIVO. GRAVITACIÓN UNIVERSAL

(Setembro - 2000). Dadas dúas masas m e 2m separadas unha distancia d, xustifica se hai algún ponto intermedio da recta de unión que cumpra:

Campo nulo e potencial positivo

Campo nulo e potencial negativo

Campo e potencial positivos

(Setembro - 99). A ingravidez de dous astronautas dentro dunha nave espacial débese a:

Que non hai gravedade

Que a nave e o astronauta son atraídos pola Terra coa mesma aceleración

Que non hai atmósfera

(Xuño - 99). Cando un satélite que está xirando aorredor da Terra perde parte da súa enerxía por fricción, o radio da súa órbita é:

Maior

Menor

Mantense constante

(Setembro - 98). Un satélite de masa m describe unha traxectoria circular de radio r ao xirar aorredor dun planeta de masa M. A enerxía mecánica do satélite é numericamente:

Igual á metade da súa enerxía potencial

Igual á súa enerxía potencial

Igual ao dobre da súa enerxía potencial

(Xuño - 98). Unha masa desprázase nun campo gravitatorio dende un lugar no que a súa enerxía potencial vale -200 J ata outro onde vale -400 J. ¿Cal é o traballo realizado por ou contra o campo?:

-200 J

200 J

-600 J

(Setembro - 97). Cando sobor dun corpo actúa unha forza, a aceleración que adquire é:

Proporcional á masa

Inversamente proporcional á masa

Só depende da forza

(Xuño - 97). Un móvil describe un movemento circular plano, co módulo da súa velocidade constante.

Existe necesariamente unha aceleración

Existe só se o plano non é horizontal

Non existe por ser v constante

(Setembro - 96). Considérese un corpo sobor da superficie terrestre:

A súa masa e o seu peso son os mesmos en tódolos pontos da superficie

A súa masa, pero non o seu peso, é a mesma en tódolos pontos da superficie

O seu peso, non a súa masa, é o mesmo en tódolos pontos da superficie

(Xuño - 96). O traballo realizado por unha forza depende só dos pontos inicial e final da traxectoria:

Se as forzas son conservativas

Independentemente do tipo de forza

Cando non existen forzas de tipo electromagnético

SOLUCIÓNS CUESTIONS SELECTIVO. GRAVITACIÓN UNIVERSAL

1ª) A resposta correcta é a a

• Campo gravitatorio: ao ser o campo gravitatorio un campo vectorial central dirixido cara hacia cada masa, os dous campos producidos polas masas m e 2m teñen a mesma dirección pero sensos contrarios, polo que hai un ponto intermedio (x) entre as dúas masas nas que o Campo gravitatorio central é nulo:

g1 g2

x d - x

!

Quedándonos co valor positivo de x, teremos: . A ésta distancia de m, o campo total é nulo

• Potencial gravitatorio: o Potencial gravitatorio é un campo escalar polo que o potencial total nese ponto x calculado anteriormente, será a suma escalar dos potenciais xerados polas masas m e 2m

Posto que , entón . É decir, o anterior cociente é positivo, polo tanto, o Potencial gravitatorio nese ponto x é positivo

2ª) A solución correcta é a b posto que a nave e os astronautas son atraídos pola Tera coa mesma aceleración, e ambos están en caída libre. A celeración que sofren ambos está dada pola seguinte expresión:

Ésta expresión non depende para nada das masas dos astronautas e da nave espacial. Así ambos sofren a mesma aceleración e polo tanto, ambos teñen a mesma velocidade de caída

3ª) A solución correcta é a b posto que ao reducir a súa enerxía debido á fricción coa atmósfera terrestre, perde velocidade, é decir, perde Enerxía cinética. Como a enerxía mecánica permañece constante, ao disminuir a EC, ten que aumentar a EP, e polo tanto disminúe o valor do radio de xiro:

4ª) A solución correcta é a a

!

Tendo en conta que a velocidade orbital está dada pola seguinte expresión:

A forza con que o planeta de masa M atrae ao satélite de masa m vale:

Por outro lado, ao rotar o satélite posee unha forza centrípeta:

Posto que o movemento é uniforme, v = cte. (at = 0) e aplicando a 2ª lei de Newton:

Para que isto sexa así as dúas forzas anteriores serán iguais:

, e despexando o valor de v, teremos.

Sustitúo ésta expresión na expresión da Enerxía mecánica:

é decir, a metade da Enerxía Potencial

5ª) A solución correcta é a a

6ª) A solución correcta é a b:

Segundo a 2ª lei de Newton: ! , é decir, a aceleración dun corpo é inversamente proporcional á súa masa. A maior masa menor aceleración adquirida por unha mesma forza apricada

7ª) A solución correcta é a a:

En todo movemento circular uniforme cúmprese que:

• v é constante e proporcional ao radio de xiro:

• a aceleración ten dúas compoñentes: unha compoñente tanxencial (at) e unha compoñente normal (an). No movemento circular uniforme cúmprese que at = 0 e an " 0

• a aceleración normal está dada pola seguinte expresión:

8ª) A resposta correcta é a b:

• a masa dun corpo é sempre constante, posto que é unha propiedade extensiva do corpo

• o peso é unha propiedade dun corpo que varía posto que depende da forza con que é atraído por outro corpo. No caso de que sexa un corpo de masa m atraído pola gravedade terrestre na súa superficie, a expresión do seu peso é:

9ª) A resposta correcta é a a:

Tódalas forzas centrais son conservativas, é decir, o traballo realizado por éstas forzas para desplazar a unha partícula de masa m dende o ponto A ata o ponto B non depende do camiño percorrido, senón dos pontos inicial e final.

Unha forza central exprésase como o gradiente dun campo escalar : ou

Ao realizar un traballo que vaia dende un poto inicial A ata un ponto final B e regrese ao ponto inicial (traballo ao longo dunha liña pechada), teremos:

12

M

O

d

Sol

T

M

m

B

A

M

V1

V2

M

S

dS

RT

MT

h

m

2m