OPERACIONES FINANCIERAS

1. FINANCIACION

La gestión de los recursos económicos y su mejor aplicación es el objetivo de una buena gestión financiera.

Se entiende por financiación el conjunto de recursos económicos que utiliza una empresa o familia. En este sentido podemos distinguir dos tipos de financiación:

• Financiación interna o autofinanciación: viene generada por las propias posibilidades de la unidad económica. Ejemplo: retención de los beneficios, rentas. etc.…

• Financiación externa: comprende los recursos captados fuera de la unidad económica, tanto por cuenta de capital, que comprendería las aportaciones de los empresarios o socios a la empresa, como mediante las aportaciones de terceros (prestamos), que es preciso devolver con sus correspondientes intereses en el tiempo pactado.

Cuando las unidades económicas cuentan con unas fuentes de financiación internas o ingresos suficientes para cubrir sus gastos, nos encontramos con lo que llamamos equilibrio presupuestario.

Pero en la mayor parte de las ocasiones este equilibrio no se produce, bien porque los ingresos son superiores a los gastos (superávit), generando los que conocemos con el nombre de ahorro, o bien porque los gastos son superiores a los ingresos (déficit), necesitando los agentes económicos la financiación externa.

La buena gestión financiera se necesita cuando las unidades económicas no tienen desequilibrio presupuestario. Para lograr la mayor rentabilidad de sus ahorros o el menor coste de sus prestamos.

2. CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA

Entendemos por operación financiera toda opción encaminada a la sustitución en un momento determinado de uno o varios capitales por otro u otros equivalentes en diferentes momentos, aplicando una determinada ley financiera.

La ley financiera es el conjunto de reglas concretas de cálculo. A una operación financiera se aplica la ley financiera de capitalización simple o la ley financiera de capitalización compuesta.

En el cálculo de una operación financiera influyen siempre una serie de datos previos que son:

• El tiempo, que vamos a representar con “n”.

• El tipo de interés, que es el rendimiento de una operación financiera expresado en porcentaje y que representaremos con “i” cuando venga expresado en tanto por 1.

• El criterio de cálculo del interés, incluyendo la ley financiera aplicada al capital inicial.

• Por tanto se puede afirmar que el valor de un capital dependerá de:

• El momento de valoración del mismo

• El tipo de interés aplicado en la operación

• La ley financiera que se use

• El valor que tiene el capital en el momento presente se denomina valor actual, y el que tiene cuando se aplaza su vencimiento se denomina valor final.

• El capital valorado en el momento actual recibe el nombre de capital inicial, y el capital valorado en su vencimiento final se denomina capital final o montante.

3. ELEMENTO DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA

En toda operación financiera debemos tener en cuenta los siguientes elementos:

• Origen de la operación financiera: es el momento de disponibilidad en el tiempo del primer capital.

• Fin de la operación financiera: es el momento que coincide con el vencimiento del último capital.

• Duración de la operación financiera: es el periodo de tiempo comprendido entre el final y el original de la operación financiera.

• Acreedor de la operación financiera: es la persona que presta el capital (prestamista), es decir el que hace la prestación.

• Deudor de la operación financiera: es la persona que recibe el capital (prestatario) y realiza la contraprestación para liquidar la operación financiera.

• Acuerdo de las partes: normalmente toma forma de contrato.

• Ley financiera: es la formulación matemática que aceptan las partes contratantes y que sirven para calcular la contraprestación.

4. CLASIFICACION DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

Se clasifican atendiendo a diferentes criterios:

• Dependiendo de la corteza de la cuantía del vencimiento.

• Operaciones financieras ciertas: son aquellas en las que tanto la cuantía del capital como el vencimiento están determinados desde el principio.

• Operaciones financieras aleatorias: son aquellas en que tanto la cantidad como el vencimiento son aleatorios y por tanto no están determinados de antemano.

• Dependiendo de la duración de la operación:

• Operaciones financieras a corto plazo: son las operaciones financieras inferior o igual a un año. Se le suele aplicar la ley de capitalización simple.

• Operaciones financieras a largo plazo: son aquellas operaciones financieras que exceden al año. Se suele aplicar a este tipo de operación la ley financiera de capitalización compuesta.

• Dependiendo de la distribución temporal de los componentes de la operación.

• Operación simple: son aquellas en las que interviene un solo capital tanto en la prestación como en la contraprestación.

• Operaciones compuestas: corresponden a las operaciones financieras donde la prestación y/o en la contraprestación intervienen varios capitales con vencimientos distintos.

• Dependiendo de la aplicación de la ley financiera.

• De capitalización: se caracteriza porque el momento de equivalencia (P) en el que se van a comparar varios capitales es posterior al vencimiento del ultimo capital.

• De actualización o descuento: son aquellas en las que el momento de equivalencia es anterior al vencimiento del primer capital.

• Operaciones financieras mixtas: son aquellas en las que el momento de equivalencia se establecen en un momento intermedio entre los vencimientos de los capitales.

C1=C2

C1 C2 ? De capitalización

n1 n2…………………...p (tiempo)

C1=C2

? C1 C2 De actualización

P n1 n2 (tiempo)

C1=C2

C1 ? C2 Mixtas

n1 p n2 (tiempo)

5. REGIMENES DE CAPITALIZACION

Toda operación financiera esta sujeta a una determinada ley financiera que se denomina régimen de capitalización. Existen dos tipos de regimenes de capitalización.

• régimen de capitalización simple: se caracteriza porque los intereses que se generan en cada periodo de tiempo no se cumulan al capital principal. Por lo tanto los intereses de cada periodo se calculan siempre sobre el capital inicial. Se suele utilizar en operaciones a corto plazo.

• régimen de capitalización compuesta: Se caracteriza porque los intereses que se generan en cada periodo se acumulan al capital anterior para calcular los intereses correspondientes al periodo siguiente. Se suele utiliza en operaciones financieras a largo plazo.

CASOS PRÁCTICOS

CASO PRÁCTICO 2.

Una empresa realiza una inversión por valor de 1000000€, dinero que recibe en préstamo del banco SH con las siguientes condiciones:

Entrega de 1000000€ en el momento de la firma del contrato y devolución del capital en 4 pagos anuales a interés compuesto, el primero transcurrido un año desde el inicio de la operación financiera.

1M C1 C2 C3 C4 €

0 1 2 3 4 (años)

Origen de la operación financiera: momento 0

Fin de la operación financiera: momento 4

Acreedor de la operación financiera: Banco SH

Deudor de la operación financiera: la empresa

Duración de la operación: 4 años

Acuerdo entre las partes: contrato del préstamo

Ley financiera: capitalización compuesta

CASO PRÁCTICO

Un señor a pedido un préstamo de 10000€, la devolución del mismo se harán en 4 pagos mensuales iguales de 2600€ cada uno, empezando el primero dentro de un mes.

Representación grafica

Clasificación de la operación financiera en las 4 clasificaciones.

10000 2600 2600 2600 2600 (€)

0 1 2 3 4 (meses)

• Operación financiera cierta

• Corto plazo

• Operación compuesta

• Se aplicaría la capitalización simple porque es inferior de un año

ACTIVIDADES DEL TEMA 1

¿Qué diferencias existe ente la financiación interna y externa de una empresa?

La financiación interna es la que generamos nosotros mismos, por las propias posibilidades de la unidad económica y la financiación externa es en la que los recursos se captan fuera de la unidad económica, mediante la aportación de los empresarios o mediante la aportación de terceros (prestamos)

Enumera las fuentes de financiación de una familia.

Sueldos, rentas, retención de beneficios, premios de lotería ahorro y prestamos.

Enumera las fuentes de financiación de una empresa.

Ventas, préstamos que haga, aportación de los socios.

Enumera las fuentes de financiación del estado.

Impuestos, prestamos, subvenciones, bonos del estado…

¿Qué datos previos es preciso tener para realizar los cálculos en las operaciones financieras?

El tiempo, el interés y el criterio de cálculo del interés

Realiza un esquema con los elementos de una operación financiera.

Origen

Fin

Duración

Elementos de una

Operación financiera Acreedor

Deudor

Acuerdo de las partes (contrato)

Ley financiera

Elabora un esquema con la clasificación de las operaciones financieras.

Pon un ejemplo de una operación financiera aleatoria.

Prestaciones a tipo de interés variable

Por un ejemplo de una operación financiera de capitalización.

Prestamos, hipotecas…

Pon un ejemplo de una operación financiera de actualización (descuento)

Descuento de efectos, pagares, letras de cambio…

¿Cuál es la diferencia entre el régimen de capitalización simple y compuesta?

En la simple los intereses no se acumulan al capital y en la compuesta los intereses si se acumulan con el capital para calcular los nuevos intereses

Si una familia con unos ingresos de 25000 euros anuales tiene que hacer frente a unos gastos de 30000 euros al año, ¿cuál es su situación financiera?

Déficit

La familia del caso anterior deberá:

Ir al banco a pedir un préstamo

Una empresa ha vendido mercancías por valor de 30000 euros. El cliente se compromete a pagar su deuda dentro de un año. Si el interés del mercado (precio del dinero) es del 6% anual:

El cliente deberá pagar más de 30000 euros para saldar la deuda

En una sociedad con inflación (subida de los precios), el tipo de interés (precio del dinero) será:

Mayor que 0

Cotas, S.A., desea comprar un nuevo local comercial para ampliar su negocio. Para ello solicita un préstamo de 100000 euros al banco X, con la condición de devolución del mismo en tres pagos anuales a interés compuesto. Confecciona la correspondiente representación gráfica e identifica cada uno de los elementos de la operación financiera.

100000 C1 C2 C3

0 1 2 3 (años)

Origen: momento 0

Fin: momento 3

Duración: 3 años

Acreedor: Banco X

Deudor: Cotas SA

Acuerdo: contrato de préstamo

Ley de capitalización compuesta

La señora Dolores ha pedido un préstamo de 10000 euros a una entidad financiera, para financiar la compra de un automóvil, con las siguientes condiciones: la devolución se hará en seis pagos trimestrales iguales de 2000 euros cada uno, empezando el cobro del primero dentro de tres meses. Efectúa la correspondiente representación grafica de la operación financiera y clasifícala atendiendo a los diferentes criterios estudiados en la unidad.

Préstamo de 10000€

10000 2000 2000 2000 2000 2000 2000

0 1 2 3 4 5 6 (trimestral)

Operación financiera cierta

Largo plazo

Operación compuesta

Capitalización

EL INTERÉS SIMPLE

1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cuela los intereses de cada periodo de capitalización no se agregan al capital inicial para hallar los intereses del periodo siguiente, sino que se calculan siempre sobre el capital inicial (Co).

Si denominamos:

Co: Capital inicial

n: El tiempo que dura la O.F. en años

i: Tipo de interés anual en tanto por 1, que representa la cantidad de dinero que se obtiene en euros invertido en un año.

I: Interés de un año (Co.i)

It: Interés total, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo.

Cn: Capital final o montante, que es la suma del capital inicial y los intereses totales.

Para calcular el capital final Cn vamos a partir de que conocemos el valor de Co, de n y de i y sabiendo que It = Co.i y que Cn = Co + It y combinándolas obtenemos:

It = Co.n.i

Cn = Co + Co.n.i =>

Cn = Co + It

=>

A la expresión 1 + n.i se les llama factor de capitalización para la capitalización simple porque sirve para trasladar capitales de un momento dado a otro posterior.

Representa el capital final o montante que obtendríamos al invertir una unidad monetaria a un tanto unitario de interés simple anual i durante n periodos anuales.

CALCULO DEL CAPITAL INICIAL O VALOR ACTUAL

Si en una operación financiera conocemos el valor de Cn, de n y de i obtendríamos el valor de Co por medio de la siguiente expresión:

Cn

n Cn = Co. (1 + n.i) =>

i

=> => Cn (1 + n.i)

A la expresión = (1 + n.i) se le denomina factor de actualización para la capitalización simple y sirve para trasladar capitales de un memento dado a otro anterior.

Representa el capital inicial de una inversión realizada a un tanto de interés unitario anual i durante n periodos anuales, cuyo capital final o montante ascendió a una unidad monetaria.

CALCULO DEL TIPO DE INTERÉS (i)

Si conocemos el valor de Co, Cn y n en una operación financiera, podemos obtener el valor de i despejando de la siguiente expresión:

Co

Cn i => Cn = Co (1 + n.i) => Cn = Co + Co.n.i =>

I => Cn - Co = Co.n.i => = i =>

=>

CALCULO DEL TIEMPO (n)

Si conocemos el valor de Cn, Co y i en una operación financiera, podemos obtener el valor de n despejando de la siguiente expresión:

Co

Cn n => Cn = Co (1 + n.i) => Cn = Co + Co.n.i =>

I => Cn - Co = Co.n.i =>

=>

CALCULO DE LOS INTERESES TOTALES

Si conocemos en una inversión el valor de Co y Cn podremos obtener el interés total por medio de la siguiente expresión.

Co

Cn

2. RELACION ENTRE EL TIEMPO Y EL TIPO DE INTERÉS

En las formulas planteadas hasta el momento, el tipo de interés y el tiempo han de estar referidas a periodos homogéneos; así, si se habla de meses, el tiempo vendrá medido en meses y el tipo será mensual. Lo normal es que el tiempo se mida en meses, días, etc. Y que el tipo de interés siempre se de en un tanto anual. En este caso se habrá de transformar el tiempo a la unidad del tanto o buen el tipo a la unidad del tiempo: una vez realizada esta transformación podremos utilizar las formulas planteadas.

TANTO EQUIVALENTE TANTO PROPORCIONAL

Dos tanto son equivalentes cuando aplicados a un mismo capital durante el mismo tiempo producen el mismo montante.

• RELACION ENTRE EL TIPO DE INTERES ANUAL Y EL DE UN PERIODO FRACCIONADO.

Para establecer esta relación partiremos de:

i: Tanto de interés anual

i: Tanto de interés fraccionado

m: Frecuencia de fraccionamiento

Cn = Cn

Co (1 + n.i) = Co (1+ n . m . i)

Co (1 + n.i) = Co (1+ n . m . i)

Para darle valor a m habrá que preguntarse ¿ Cuantas unidades de tiempo pequeñas se contienen en la unidad de tiempo mayor?

El tanto fraccionado ( i) es un tanto proporcional al i anual por lo que se puede afirmar que los tantos proporcionales en la capitalización simple son también equivalentes.

Periodos	m (Frecuencia de fraccionamiento del año)
Años	1
Semestres	2
Cuatrimestres	3
Trimestres	4
Meses	12
Semanas	52
Días (años civil)	365
Días (año comercial)	360

EL AÑO COMERCIAL Y EL AÑO CIVIL

El año comercial es el que tiene exclusivamente una utilidad comercial. Su uso ha facilitado el cálculo en operaciones financieras con consecuencia de tomar meses de 30 días.

Al existir el año civil y el comercial el problema que se plantea es de hacer los cálculos siguiendo uno u otros caminos los intereses varían mostrando una diferencia.

Si llamamos I a los intereses obtenidos aplicando el año civil o natural e I a los intereses obtenidos aplicando el año comercial resulta:

It = Co.n.i => I= Co . i .

I

I > I

I

It = Co.n.i => I= Co . i .

• Relación por diferencia:

I - I = Co . i . - Co . i . = =

=:

• Relación por cociente:

3. METODOS ABREVIADOS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES

Cuando tratamos de obtener el interés total generado por varios capitales distintos con vencimientos distintos e igual tipo de interés es normal utilizar formulas abreviadas para facilitar el calculo.

Dados varios capitales C1, C2, C3……….Ch que vencen en los momentos n1, n2, n3………….nh valorados a un tanto de interés anual i generarán un It igual a:

C1, C2, C3……….Ch

n1, n2, n3………....nh

Sacando factor común

It = . ( C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ……… Ch.nh)

Sabiendo que se le denomina divisor fijo (D). D =

It = . ( C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ……… Ch.nh)

A los productos de capital por tiempo “C.n” se les denomina número comerciales.

4. INTERESES ANTICIPADOS

En algunas operaciones financieras el prestamista cobra los intereses por adelantado, es decir en el momento en que tiene lugar la operación que a de producirlos. Para ello aplica un tipo de interés ia sobre el capital final Cn (nominal) para obtener el efectivo (Co) de la operación.

El interés por anticipado se calcularía mediante la siguiente expresión.

• RELACION ENTRE EL TIPO DE INTERÉS POR ANTICIPADO Y EL TIPO POR VENCIDO

Para plantear dicha operación debemos suponer que el interés total obtenido por vencido sea igual al interés total obtenido por anticipado.

It (por vencido) = It (por anticipado)

Ya sabemos que It = Cn - Co y que por tanto si despejamos Co; Co = Cn - It.

Si sustituimos It en dicha operación, por anticipado tendríamos:

Co = Cn - Co . ia . n

Aplicando la igualdad entre los intereses por vencidos y los intereses por anticipado obtendríamos:

It(v) = It(a) => Co . n . i = C . n . ia

Sustituyendo Co.

(Cn - Cn . ia . n) i . n = Cn . n . ia =>

Cn (1 - ia . n) i = Cn . ia =>

(1 - ia . n) . i = ia =>

ia = i - ia . n . i =>

i = ia + ia . n . i =>

i = ia (1+ n . i) =>

CASOS PRACTICOS

CASO PRACTICO 1

Calcula el montante que se obtendrá mediante la inversión de un capital de 70000 euros al cabo de tres años si se aplica un 4'25% de interés anual. Capitalización simple.

Cn: ?

Co: 70000€ Cn = Co (1 + n.i)

n: 3 años Cn = 70000 (1 + 3 . 0' 0425)

i: 0'0425 anual simple Cn = 78925 €

CASO PRACTICO 2

Se ha recibido una notificación de ingreso en cuenta de 85476'85 euros por una inversión cuyo importe desconocemos. Si el tipo aplicado fue de un 4'5% anual y la duración tres años, ¿a cuanto ascendió la inversión inicial?

Cn: 85476'85€ Co = Cn

i: 0'045 1 + n.i

n: 3 años Co = 85476'85

Co: ? 1 + 0'045.3

Co = 75310 €

CASO PRACTICO 6

¿Cuál fue el tipo de interés que se coloco un capital de 8974 euros para que se obtuvieran al cabo de cinco años unos intereses de 1678'14 euros? interés simple

i: ? It = Co . n . i

Co: 8974€ 1678.14 = 8974 . 5 . i

n: 5 años _1678.14 = i

It: 1678.14€ 8974 . 5

i = 0'0374 => 3'74%

CASO PRACTICO 7

Un capital de 125000 euros ha producido un montante de 142850 euros al cabo de cuatro años. ¿Cuál ha sido el tipo aplicado? Interés simple.

Co: 125000€ i = __Cn - Co_

Cn: 141850€ Co.n

n: 4 años i = _141850 - 125000

i: ? 125000 . 4

i = 0'0357 => 3'57%

CASO PRACTICO 10

Calcula el montante de un capital de 12000 euros al 5% de interés anual simple, colocado durante:

Cinco semestres.

Tres trimestres.

90 días.

Cn: ? a) n: 5 semestres

Co: 1200€

i: 0'05 i= 0'05 = 0'025

2

Cn = Co (1 + n.i)

Cn = 12000 (1 + 5 . 0'025)

Cn = 13500€

b) n: 3 trimestres c) n: 90 días comerciales

i= 0'05 = 0'0125 i= 0'05

4 360

Cn = Co (1 + n.i) Cn = Co (1 + n.i)

Cn = 12000 (1+ 3 . 0'0125) Cn = 12000 (1 + 90 . 0'05/360)

Cn = 12450€ Cn = 12150€

CASO PRACTICO 11

Sabiendo que la diferencia entre los intereses calculados comercial y civilmente es de 24'35€, calcula el valor del capital inicial si la operación duro 90 días y aplicó un 4% anual.

I360 - I365: 24'35€ I360 - I365 = _1_ . I365

Co: ? 72

n: 90 días 24'35 = _1_ . I365

i: 4% = 0'04 72

24'35 . 72 = I365

I365 = 1753'2

I365 = Co . i . n(días)

365

1753'2 = Co . 0'04 . _90_

365

_1753'2 . 365_ = Co

0'04 . 90

Co = 177755€

CASO PRACTICO 12

Si los intereses de un capital son de 1314€, sabiendo que los hemos hallado según el año civil, ¿ Cuales serán los cálculos comercialmente?

I365: 1314€ _I360_ = _73_

I360: ? I365 72

_I360_ = _73_

• 72

I360 = _73 . 1314_

72

I360 = 1332'25€

CASO PRACTICO 13

Utilizando el divisor fijo y los números comerciales, calcula el interés conjunto que producirán tres capitales de 1977, 8470 y 2294'30 euros sabiendo que el tiempo al que estuvieron calculados respectivamente fue de 45, 52 y 70 días y que aplicará un tipo del 6% anual simple. Año comercial.

Cj nj (días) Cj . nj

1977 45 88965

8410 52 440440 It = 690006

2294'3 70 160601 6000

It = 115€

i: 6% = 0.06 690006

It: ?

D =

D = 360

0'06

D = 6000

CASO PRACTICO 14

Sabiendo que tres capitales de 100, 200 y 300 euros, colocados a un 4% anual, produjeron unos intereses de 18'89 euros, calcula lo que correspondió a cada uno si el primero estuvo colocado la mitad de tiempo que el segundo y el segundo la mitad del tercero. Año comercial.

Cj n(días) Cj.nj

100 X 100X

200 2X 400X

300 4X 1200X 18'89 = _1700X_

9000

i: 4% = 0'04 X = 100 días

It: 18.89€ D = _m_

i

D = _360_ n1 = 100 días It = Co.n.i =>100 . 0'04 . 100 => It1 = 1.11€

0'04 360

D = 9000 n2 = 200 días It = Co.n.i =>200 . 0'04 . 200 => It2 = 4.44€

360

n3 = 400 días It = Co.n.i =>300 . 0'04 . 400 => It3 = 12.22€

CASO PRÁCTICO 15

A un activo financiero a 6 meses se le aplica un tipo de interés anticipado (ia) del 4.22% anual.

a) ¿Qué tipo anual por vencido le corresponderá?

b) Calcula el correspondiente a un año de tiempo.

c) Calcula el correspondiente a tres meses de tiempo.

a)

n: 6 meses = 0'5 años i = ___ia___

ia: 4.22% = 0'0422 1 - ia . n

i: ? i = __0'0422___

1 - 0'0422 . 0'5

i = 0'0431 => 4'31%

b)

n: 1 año

ia: 4.22% = 0'0422 i = ___ia___

i: ? 1 - ia . n

i = __0'0422__

1 - 0'0422 . 1

i = 0'04406 => 4'406%

c)

n: 3 meses = 0'25 años

ia: 4.22% = 0'0422 i = ___ia___

i: ? 1 - ia . n

i = __ 0'0422_____

1 - 0'0422 . 0'025

i = 0'04265 => 4'265%

CASO PRÁCTICO INVENTADO

Determina el tiempo de una operación financiera cuyo capital inicial ascendió a 75000€ y su montante a 97500€. El tipo de interés aplicado es 3% simple anual.

Co: 75000€ n = _Cn - Co

Cn: 97500€ Co . i

i: 0'03 n = _97500 - 75000

n: ? 75000 . 0'03

n = 10 años

ACTIVIDADES DEL TEMA 2

Halla el capital final que resultara de aplicar un tipo simple del 3'75% anual a un capital de 19877'24 euros durante cuatro años.

Cn: ? Cn = Co(1 + n.i)

i: 3'75% = 0'0375 Cn = 19877'23 (1 + 4 . 0'0375)

Co: 19877'23€ Cn = 22858'83

n: 4 años

Al recibir una notificación referente a una inversión, queremos comprobar su corrección: para ello contamos con los siguientes datos: una inversión inicial: 112432'22 euros; tipo aplicado: 4'17% anual; tiempo: dos años. Efectúa los cálculos y especifica la cuantía acumulada. Capitalización simple.

Co: 112432'22€ Cn = Co(1 + n.i)

i: 4'17% = 0'0417 Cn = 112432'22 (1 + 2 . 0'0417)

n: 2 años Cn = 121809'07€

Cn: ?

Un comerciante, que deberá entregar dentro de tres años una cantidad de 77420'12 euros, quiere saber de qué capital ha de disponer hoy si espera del mismo un rendimiento del 4'25% anual a interés simple.

n: 3 años Cn = Co(1 + n.i)

Cn: 77420'12€ 77420'12 = Co (1 + 3 . 0'0425)

i: 4'25% = 0'0425 Co = __77420'12___

Co: ? (1 + 3 . 0'0425)

Co = 68665'29€

¿Qué capital fue el que hizo que sus intereses fueran la mitad del mismo, sabiendo que el montante generado ascendió a 1237'4 euros?

Co: ? Cn = Co + It

It: Co/2 1237'4 = Co + Co/2

Cn: 1237'4€ 1237'4 = 1'5Co

Co = _1237'4_

1'5

Co = 824'93€

La señora Rodríguez desea saber si puede hacer frente a una deuda de 156000 euros que vence dentro de cinco años, con los rendimientos de un capital de 520340 euros sin tener que menguar el mismo. El rendimiento previsto es de un 6% anual a interés simple.

n: 5 años It = Co . n . i

It: ? It = 520340 . 5 . 0'06

Co: 520340€ It = 156102€

i: 6% = 0'06

Si puede, pues los intereses generados son 156102€, cantidad superior a 156000€

Calcula los intereses resultantes de una operación en la que a partir de un capital de 1278'3 euros se obtiene un montante equivalente a un 125% de capital inicial.

It: ? Cn = Co + It

Co: 1278'3€ 1597'88 = 1278'3 + It

Cn = 125%/Co = 1597'88€ 1597'88 - 1278'3 = It

It = 319'58€

Un individuo desea saber que tipo de interés simple fue el que permitió que por un capital de 224440'75 euros se obtuviera 64775'85 euros de intereses en siete años. Calcula dicho tipo.

i: ? Cn = Co + It

Co: 224440'75€ Cn = 224440'75 + 64775'85

It: 64775'85€ Cn = 289316'6€

n: 7 años

Cn = Co (1+ n . i)

289316'6 = 224440'75 (1 + 7 . i)

1'29 = 1 + 7 . i

0'29 = 7 . i

i = 0'04123 => 4'123%

Sabiendo que el tipo de interés del mercado vigente, a interés simple, es de 5% anual, ¿le conviene a la señora Pérez cambiar su inversión de 17407'40 euros por la que le aseguran un montante de 20784'44 euros al cabo de cuatro años?

Co: 17407'40€ Cn = Co (1 + n . i)

Cn: 20784'44€ 20784'44 = 17407'40 (1 + 4 . i)

n: 4 años 1'194 = 1 + 4 . i

0'194 = 4 . i

i = 0'0485 => 4'85%

¿Qué tiempo estuvo colocado un capital de 22000 euros al 0'02 por uno anual, si los intereses fueron de 4400 euros? interés simple.

n: ? Cn = Co + It

Co: 22000€ Cn = 22000 + 4400

i: 2% = 0'02 Cn = 26400€

It: 4400€

Cn = Co (1 + n . i)

26400 = 22000 (1+ n . 0'02)

1'2 = 1 + n . 0'02

0'2 = n . 0'02

n = 10 años

¿Cuánto tiempo será necesario para que un capital se transforme en otro cinco veces mayor a un 8% a interés simple?

n: ? n = _Cn - Co_

Co Co . i

Cn: 5Co n = _5Co - Co_

i: 8% = 0'08 Co . 0'08

n = __ 4Co__

Co . 0'08

n = __4__

0'08

n = 50 años

¿Cuál será el montante resultante de la inversión de un capital de 71216'75 euros al 6% anual durante:

4 cuatrimestres

17 meses

120 días

Cn: ?

Co: 71216'75€

I: 6% = 0'06

4 cuatrimestres = 4/3 = 1'33 años

Cn = Co (1 + n . i)

Cn = 71216'75 (1 + 1.33 . 0'06)

Cn = 76914'09€

17 meses => 17/12 = 1'4266 años

Cn = Co (1 + n . i)

Cn = 71216'75 (1 + 1'4166 . 0'06)

Cn = 77270'17€

120 días => 120/360 = 0'333333333 años

Cn = Co (1 + n . i)

Cn = 71216'75 (1 + 0'33 . 0'06)

Cn = 72641'09€

¿Qué intereses generara un capital de 120000 euros a un 6'25% anual durante 42 días?

Co: 120000€ It = Co . n . i

i: 6'25% = 0'0625 It = 120000 . 0'116 . 0'0625

n: 42 días = 42/360 = 0'11666666666 It = 875€

A un capital de 91743'62 euros que ha estado colocado durante un tiempo, se sabe que se le aplico un 4'74% anual y que la diferencia entre los intereses calculados comercial y civilmente fue de 9'9285 euros. Calcula dicho tiempo.

Co: 91743'62€ I360 - I365 = _1_ . I360

n: ? 73

i: 4'47% = 0'0447 9'9285 = _ 1_ . I360

I360 - I365 = 9'9285€ 73

9'9285 . 73 = I360

I360 = 724'78€

I360 = _Co . n(dias) . i_

360

724'78 = _91743'62 . 0'0474 . n_

360

n = 60 días

¿Qué tipo de interés es el que hizo que un capital de 752743'12 euros colocado durante 73 días generara una diferencia entre los intereses calculados comercial y civilmente de 148'46 euros?

i: ? I360 - I365 = _1_ . I360

Co: 752743'12€ 73

n: 73 dias 148'46 = _1_ . I360

I360 - I365 = 148'46€ 73

I360 = 10837'58€

I360 = _Co . n(dias) . i_

360

10837'58 = _752743'12 . 73 . i_

360

10837'58 = 152639'12 . i

i = 0'071 = 7'1%

¿Es posible que los intereses de un mismo capital calculados comercialmente sean superiores un 10% a los determinados civilmente? Razona la respuesta.

No puede ser, ya que:

_I360_ = _73_

I365 72

¿Qué tipo de interés aplicado a unos capitales de 12740'22; 22180'10 y 11320 euros colocados durante 30, 60 y 90 días, respectivamente , produjo unos interés totales de 341'48 euros? Año comercial. Usa números comerciales.

Cj nj (dias) Cj.nj It = _∑ Cj . nj_

12740'22 30 382206'6 D

22180'10 60 133086 341'48 = _2731812'60_

11320 90 10188000 D

i: ? 2731812'60 D = 7999'92

It: 341'48€

D = _m_

i

7999'92 = _360_

i

i = 0'045 = 4'5%

En un extracto bancario se nos comunica que los números comerciales del peridodo de liquidación ascienden a 253623900. Si el tipo aplicado en la operación es de un 0'75% anual, ¿a cuanto ascienden los intereses? Año civil. Liquidación en dólares USA.

∑Cj.nj = 253623900 It = _∑ Cj . nj_

i: 0'0075 D

It = ? It = _253623900_

48666'67

It = 5211'45$

D = _m_

i

D = _365_

0'0075

D = 48666'67

PI, S.A., hace una inversión en letras del Tesoro a un año. ¿Qué cantidad habrá de entregar por un nominal de 10000 euros si se aplica un tipo por anticipado del 4'15% anual? ¿Cuál será el tipo por vencido?

Cn: 10000€ i = ____ia____

Co: ? 1 - ia . n

ia: 4'15 = 0'0415 i = __0'00415__

iv: ? 1 - 0'0415 . 1

n: 1 año i = 0'0432968 = 4.33%

It = Cn . n . ia Co = Cn - It

It = 10000 . 1 . 0'0415 Co = 10000 - 415

It = 415€ Co = 9585€

EL DESCUENTO SIMPLE

1. EL DESCUENTO

Es frecuente que los acreedores de una operación comercial en la que se utiliza el crédito acudan a intermediarios financieros con la intención de percibir los cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos. Esta operación recibe el nombre de descuento y por ella los intermediarios financieros suelen cobrar una cantidad que se calcula aplicando la ley de capitalización simple, ya que son operaciones inferiores al año. Además se suelen añadir otra serie de cobros, tales como comisiones, gastos de correo, etc. Por tanto, la cantidad que percibe el acreedor que ha acudido al descuento no es la que recibiría si esperara hasta el vencimiento, sino dicha cantidad menos el descuento y los demás gastos

Matemáticamente, se entiende por descuento simple la operación financiera que consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente, siendo además una operación inversa a la capitalización simple.

Si llamamos:

Co: Efectivo o cantidad adelantada

Cn: Nominal o importe total del cobro que se adelanta.

D: Descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo.

En la práctica, el denominado descuento comercial (Dc) es el criterio usado normalmente para el cálculo.

Al tanto o tipo que se utilice en estas operaciones lo denominaremos tanto de descuento.

2. EL DESCUENTO COMERCIAL

El descuento comercial es aquel cuyo cálculo se realiza a partir del nominal (Cn) de la operación y aplicando la fórmula para el calculo de intereses.

CÁLCULOS POSIBLES

A partir de la formula anterior y despejando cada uno de sus componentes, se obtendrían las siguientes expresiones:

Cálculo del efectivo en función del nominal

A partir de Dc = Cn - Co y despejando Co resulta:

Co = Cn - Dc

Poniendo el valor del descuento en función del nominal:

Co = Cn - Cn . n . i

y sacando factor común:

Cálculo del nominal en función del efectivo

Despejando Cn de la expresión: Co = Cn (1 - n . i)

Se obtiene:

Calculo del descuento en función del efectivo.

A partir de:

Dc = Cn - Co

y sustituyendo Cn por su valor en fusión del efectivo:

Dc = __Co__ - Co

1 - n . i

Operando:

Dc = __Co - Co (1 - n . i)_ = __Co - Co + Co . n . i_

1 - n . i 1 - n . i

y resolviendo:

OPERACIONES DE DESCUENTO COMERCIAL

El descuento bancario

El descuento bancario es un contrato de préstamo o crédito por el que una entidad financiera entrega el importe de una letra no vencida, previa deducción de los descuentos (intereses) y comisiones correspondientes, recibiendo la letra (endoso) para su cobro en el momento del vencimiento.

Valor líquido = ∑Cn - ∑Dc - ∑Comisiones - ∑Gastos

Comisiones y otros gastos

Las comisiones cobradas por los bancos no son fijas, dependen de las diferentes entidades y de cada cliente en particular; no obstante, las más habituales son el 4‰ en caso de letras aceptadas, y el 7‰ en las aceptadas. Ambas cantidades se aplican siempre sobre el nominal del efecto. En el caso de que los porcentajes no alcancen un mínimo por letra, es usual aplicar una cantidad mínima.

3. EL DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

El descuento racional (Dr) es aquel cuyo cálculo se utiliza el valor efectivo (Co), por lo que:

CALCULOS POSIBLES

Calculo del descuento en función del nominal (Cn)

En la realidad comercial, las operaciones financieras se ajustan conociendo un nominal con una fecha determinada de vencimiento, por lo que el valor efectivo se desconoce. Por tanto, si:

Co = Cn - Dr y Dr = Co . n . i

Entonces:

Dr = (Cn - Dr) . n . i

Desarrollando:

Dr = Cn . n . i - Dr . n . i

Dr + Dr . n . i = Cn . n . i

y agrupando:

Dr (1+ n . i) = Cn . n . i

Despejamos:

Calculo del valor nominal en función del descuento

Despejando Cn de la expresión anterior se obtiene:

Calculo del efectivo en función del nominal

Sustituyendo Dr, por su valor en función del nominal en la expresión:

Resulta:

Y operando:

4. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL. COMPARACIÓN

Dado que

Dr = Co . n .i y Dc = Cn . n . i,

es evidente que Dc > Dr, pues ambas expresiones tienen los mismos multiplicandos excepto Cn y Co, y como

Cn > Co

el resultado de Dc, para unos mismos valores, será mayor que el de Dr.

Los descuentos comercial y racional se pueden relacionar entre sí mediante tres métodos diferentes: diferencia, producto y cociente.

Por diferencia

La diferencia entre el Dc y el Dr es el descuento comercial del descuento racional, así mismo la diferencia entre Dc y Dr es el descuento racional del descuento comercial.

Por producto

Dc - Dr = Dr . n . i Dc . Dr = Cn . n . i . Dr Dc . Dr = Cn (Dc - Dr)

Dc = Cn . n . i

Por cociente

Despejando resulta:

O también:

Cálculo de n y i a partir de la fórmula:

Dr (1+n . i) = Cn . n . i Dr (1+n . i) = Cn . n . i

Dr + Dr . n . i = Cn . n . i Dr + Dr . n . i = Cn . n . i

Dr = Cn . n .i - Dr . n . i Dr = Cn . n .i - Dr . n . i

Dr = n (Cn . i - Dr . i) Dr = i (Cn . n - Dr . n)

EQUIVALENCIA ENTRE EL TANTO DE DESCUENTO RACIONAL Y EL TANTO COMERCIAL

Dado un mismo nominal Cn, efectivo, Co y tiempo, el tanto de descuento racional anual iR, equivalente a otro anual ic de descuento comercial, es aquel que posibilita la coincidencia de los descuentos, así: Dc = Dr.

Dc = Dr Cn . n . ic =

ic (1+iR . n) = iR ic + ic . iR . n = iR ic = iR - ic . iR . n iR (1- ic . n)

EQUIVALENCIA FINANCIERA

CAPITALES EQUIVALENTES

Cuando el efectivo actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales, diremos que son equivalentes financieramente.

En la practica mercantil, para hacer los cálculos de equivalencia se utiliza el descuento comercia, por lo que se produce una alteración de la ley financiera de actualización simple.

Si una serie de capitales de nominal C1, C2, C3 …, Ch con sus respectivos vencimientos en n1, n2, n3 …,nh, se desean sustituir por uno equivalente de nominal Cn, con vencimiento en n, bastará con que la suma del valor actual de los primeros sea igual al valor de este último, es decir:

Con = Co1 + C02 + C03 + … + C0h

donde el subíndice en primer lugar indica el momento de cálculo de la equivalencia financiera (en este caso, el momento actual, 0), y el segundo, el momento en que cada capital respectivo tiene su vencimiento (1, 2, 3, …, h)

Si se recuerda la fórmula que relaciona el valor actual de un capital en función del nominal en el descuento comercial:

C0 = Cn (1 - n . i)

y se sustituye en la expresión anterior, ya que los valores que se conocen son los nominales:

Cn (1 - n . i) = C1 (1 - n1 . i) + C2 - C2 . n2 . i + … + Ch (1 - nh . i)

Desarrollando:

Cn (1 - n . i) = C1 - C1 . n1 . i + C2 - C2 . n2 . i + … + Ch - Ch . nh . i

Ordenando:

Cn (1- n . i) = C1 + C2 + … + Ch - (C1 . n1 . i) + C2 . n2 . i + … + Ch . nh . i)

Y agrupando:

Cn (1 - n . i) =

Despejando Cn se obtiene:

Expresión que permite calcular el valor del capital con vencimiento en n que puede sustituir el conjunto de capitales por uno único.

Si el tiempo se midiera en periodos distintos e inferiores al anual, entonces se podrían simplificar los cálculos mediante el uso del divisor fijo , por lo que, partiendo de la expresión:

Y como sabemos que , resulta que .

Sustituyendo en la anterior expresión

Multiplicando numerador y denominador de esta expresión por D:

VENCIMIENTO COMÚN

El vencimiento común es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del conjunto de capitales por uno único.

Se puede obtener n utilizando el divisor fijo a partir de:

(D - n) Cn = D . ∑Cj - ∑Cj . nj

Cn . D - Cn . n = D ∑Cj - ∑Cj . nj

Cn . D - ∑Cj - ∑Cj . nj . n = Cn . n

D(Cn - ∑Cj) + ∑Cj . nj = Cn . n

Y despejando n:

VENCIMIENTO MEDIO

Se produce el vencimiento medio cuando la suma del nominal de los capitales a sustituir es igual al nominal del capital que los sustituye. Por tanto, es un caso particular del vencimiento común.

Si:

Cn = C1 + C2 + C3 + … + Ch = ∑Cj

Entonces:

El valor de n, fecha de sustitución del capital, es independiente del tipo de interés a que se realice la operación.

CASO PARTICULAR DE VENCIMIENTO MEDIO

Cuando todos los capitales que van a ser sustituidos tienen un nominal igual entre sí, entonces:

C1 = C2 = C3 = … = Ch

Y por tanto:

∑Cj = Cj . n = Cn

Sustituyendo en la formula del vencimiento medio:

En donde h representa el número de capitales que van a ser sustituidos.

CAPITALES EQUIVALENTES EN DESCUENTO RACIONAL

Partiendo de:

y aplicando el concepto de capitales equivalente:

C0n = C01 + C02 + C03 + … + C0h

Resulta:

Si se despeja para obtener el valor de Cn:

TEMA 1: OPERACIÓNES FINANCIERAS 4/7/2009

- 32 -

CLASIFICACION DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

Dependiendo de la certeza de la cuantía y el vencimiento

Dependiendo de la duración de la operación

Dependiendo de la distribución temporal de los componentes de la operación

Dependiendo de la aplicación de la ley financiera

It = Co.n.i

Cn = Co + It

Cn = Co (1 + n.i)

It = Cn - Co

i = i. m

i=

It = Cn . ia . n

i = __ ia_____

1 - ia . n

ia = ___i____

1 + n . i

D = Cn - Co

Dc = Cn . n . i

i = __Dc__

Cn . n

n = __Dc__

Cn . i

Cn = __Dc__

n . i

Co = Cn (1 - n . i)

Cn = __Co__

1 - n . i

Dc = __Co . n . i_

1 - n . i

Dr = Co . n . i

Co = _ Dr__

n . i

i = __Dr__

Co . n

n = __Dr__

Co . i

Dc = Dr (1+ n . i)

n