Arquitecto Técnico

Geometría

Compartir 0 Me sirvió 0 No me sirvió

COMBINATÒRIA

=
= Geometría

+ Geometría
=

+
+
+...+
2n

Geometría
2n-1

2n-1

(x+y)n=xn+
xn-1y+
xn-2y2+...+
yn

Cm,n=
CRm,n= Geometría

Vm,n=m(m-1)...(m-n+1) VRm,n=mn

Pm=m! PRm,(a,b,...,s)=

LOGARITMES

Definició

amb N>0, i a>1; es defineix: logaN=xax=N

El nombre a és la base del logaritme i el nombre x és el logaritme en base a de N.

Propietats

loga(M.N)= logaM+ logaN

loga(Mn)=n logaM

loga(M/N)= logaM- logaN

loga1=0 ; logaa=1 ; loga
=

Notacions

Si a=10 s'escriu log N i rep el nom de Logaritme Decimal.

Si a = e = 2'71828182...s'escriu ln N i rep el nom de Logaritme Neperiá.

Canvis de base

La relació entre el logaritme d'un nombre N en base a i en base b és donada per:

logaN= (logb N)/( logba)

FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES

Definició i relació entre les funcions trigonomètriques

sinA = y/r ; cosA = x/r ; tgA = sin A /cos A= y/x

cosecA = 1/senA = r/y ; secA = 1/cosA = r/x

cotgA = 1/tgA = x/y ;

sin2 A + cos2A = 1

sec2 A- tag2 A = 1

cosec2 A- cotg2 A = 1

2
radians = 360 graus ;

Fórmules trigonomètriques

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A-B) = sin A cos B - cos A sin B

cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B

cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

tag (A+B) =

tag (A-B) =

sin A + sinB = 2 sin
cos

cos A+ cos B = 2cos
cos

cos A - cos B = -2 sin
sin

sin A sin B = ½{cos (A-B) - cos (A+B)}

cos A cos B = ½{cos (A-B) + cos (A+B)}

sin A cos B = ½{sin (A-B) + sin (A+B)}

sin
=

cos
=

tag
=

sin 2A = 2 sin A cos A

cos 2A = cos2A - sin2 A

tag 2A =

sin3A =3 sinA - 4 sin3A

cos 3A = 4 cos3A - 3cosA

tag 3A =

Teorema del sinus

Teorema del cosinus

cosC

NOMBRES COMPLEXOS

Un nombre complex z es pot definir com un parell de nombres reals ordenats x i y , z = (x,y).

Els nombres x i y s´anomenen component real i imaginària de z respectivament.

La parella (x,0) representa el nombre real x.

La parella (0,1) s'anomena unitat imaginària i es representada per i.

Formes d'expressar un complex

Forma Cartesiana: z = (x,y)

Forma Binòmica z = x + iy

Forma Polar z =
on
(mòdul de z) i
(argument de z)

Per tant x =
i

Forma Trigonomètrica z =

Forma Exponencial z =

ja que
i (fórmules de Moivre-Euler)

Operacions

Suma: (x+iy) + (x'+iy') = (x+x') + i(y+y')

Resta: (x+iy) - (x'+iy') = (x-x') + i(y-y')

Producte: (x+iy).(x'+iy') = (xx'-yy') + i(xy'+yx')

Divisió: Geometría

Les formes polars i exponencial són molt indicades per efectuar productes i divisions. Així:

també són les més indicades per efectuar potències i radicacions

Potenciació

]
=
;

Radicació

;
per k = 0,1,2,...,n-1

Propietats

oposat de z = x+iy : -z=-x-iy

conjugat de z = x+iy: z* = x-iy

propietats de la cojugació:

z+z* = 2x ; z-z* = 2iy

(z+z')* = z*+z'*

z.z* =

(z.z')* = z*.z'*

(z/z')*=z*/z'*

El mòdul
d'un complex z = x+iy, també s'anomena “valor absolut de z” i s'escriu |z|, complint:

|z+z'|
; |z.z'| = |z|.|z'|

Logaritmació

Sigui z = x+iy=
. Es defineix ln z =ln i com a part principal de lnz a: ln
amb

Exponenciació

Sigui z = x+iy=
. Llavors

FUNCIONS HIPERBÒLIQUES

L'angle A és el doble de l'àrea ombrejada a la figura.

sinh(A
B) = sinhA coshB
coshA sinhB

cosh(A+B) = coshA coshB
sinhA sinhB

sinh2A =2sinhA coshA

sinh A sinh B = ½{cosh (A+B) - cos (A-B)}

cosh A cosh B = ½{cosh (A+B) + cosh (A-B)}

sinh A cosh B = ½{sinh (A+B) + sinh (A-B)}

Relacions entre les funcions trigonomètriques, les exponencials i les hiperbòliques

LÍMIT DE FUNCIONS

si i només si per , existeix un nombre de tal forma que ||f(x)-L||<
per tot x que sigui 0<||x-a||<

Formes indeterminades:

Formes 0/0
, regla de L'Hôpital:

Forma

S'escull la més senzilla i es resol per la regla de L'Hôpital.

Forma

Si
, la indeterminació
es transforma en
Si
, desapareix la indeterminació

Formes exponencials

Si les funcions f i g compleixen que el
és una de les formes indeterminades, llavors tindrem que el o d'un altra manera

TAULA DE DERIVADES

Siguin: k, n, a ,e nombres reals ; e = 2'71828182

y, u, v, ui funcions de la variable independent x, respecte a la qual es deriva, amb v

y = k	y' = 0
y = xn	y' = n xn-1
y = u + v	y' = u' + v'
y =	y' =
y = k . u	y' = k . u'
y = u . v	y' = u'v+uv'
y =	y' =
y = u / v	y' = (vu'-uv')/v2
y = 1/u	y' = -u'/u2
y = un	y' = n .u'.un-1
y = au	y' = au u' ln a
y = eu	y' = eu u'
y = loga u	y' = u' / (u ln a)
y = ln u	y' = u' / u
y = sin u	y' = u' cos u
y = cos u	y' = -u' sin u
y = tag u	y' = u' /cos2 u
y = sinh u	y' =u' cosh u
y = cosh u	y' = u' sinh u
y = tagh u	y' = u'/ cosh2 u
y = cosec u	y' = -u' cos u /sin2 u
y = sec u	y' = u' sin u /cos2 u
y = cotag u	y' =-u' /sin2 u
y = cosech u	y' = -u' cosh u /sinh2 u
y = sech u	y' = -u' sinh u /cosh2 u
y = cotagh u	y' = -u' /sinh2 u
y = arc sin u
y = arc cos u
y = arc tag u
y = arc sinh u
y = arc cosh u
y = arc tagh u
y = arc cosec u = arc sin (1/u)
y = arc sec u = arc cos (1/u)
y = arc cotg u = arc tag (1/u)
y = arc cotagh u = arc tangh (1/u)

SÈRIES DE TAYLOR

Desenvolupament d'una funció d'una variable

on Rn ,la resta , es pot calcular per qualsevol de les següents fórmules:

resta de Cauchy;

resta de Lagrange;

Essent un valor qualsevol entre a i x.

Si
, s'obté una sèrie infinita que s'anomena sèrie de Taylor de f(x) entorn al punt x= a. Si a=0 s'anomena sèrie de MacLaurin.

Exemples

REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS

Interseccions amb els eixos

Interseccions amb l'eix X : Les arrels de la equació f(x) = 0 ens donen les interseccions amb l'eix X.

Interseccions amb l'eix Y : L'ordenada del punt d'intersecció de la corba amb l'eix Y es y = f(0).

Estudi de les simetries

Simetria respecte a l'eix X : La corba és simètrica respecte a l'eix X quan per cada valor de x li corresponen dos valors y oposats.

Simetria respecte a l'eix Y : Es simètrica respecte a l'eix Y quan canviem (x) per (-x) i l'ordenada no varia ; y =f(x) = f(-x)

Simetria respecte a l'origen : Es simètrica respecte a l'origen quan canviem (x) per (-x) i la (y) esdevé (-y) ; y = f(x) , -y = f(-x)

Càlcul d'assímptotes

Assímptotes verticals:

La recta x = a es una assímptota vertical (positiva) si
La recta x = c es una assímptota vertical (negativa) si

Assímptotes oblíqües (i horitzontals) :

Si existeixen

serà una assímptota oblíqua per la dreta . Si m = 0 la recta y = b serà una assímptota horitzontal per la dreta.

Si existeixen

serà una assímptota oblíqua per l'esquerra. Si m2 = 0 la recta y = b2 serà una assimptota horitzontal per l'esquerra.

Intervals de creixement i decreixement

Si f(x) es contínua, en els intervals on f'(x)>0 [f'(x)<0], la funció creix [decreix]

Concavitat i convexitat

Si f(x) es diferenciable, en els intervals on f''(x)>0 [f''(x)<0], la funció és cóncava [convexa], és a dir, que representa una curvatura de la forma

Extrems relatius (màxims i mínims)

x0 és un extrem relatiu de f ! f'(x0) = 0

si: f''(x0) < 0 ! x0 màxim relatiu de f(x)

f''(x0) > 0 ! x0 mínim relatiu de f(x)

f''(x0) = 0 ! calculem la primera derivada que no s'anul·li en x0, si es parella o senar es té:

Si és d'ordre parell

Si és d'ordre senar
, llavors la funció té un Punt d'inflexió pla en x0, ès a dir, amb tangent horitzontal || a l'eix X.

Punts d'inflexió

Si existeixen punts d'inflexió plans ja hauran aparegut estudiant l'existencia de màxims i mínims.

x0 és un punt d'inflexió de f ! f''(x0) = 0 i exiteix una derivada d'ordre senar

INTEGRACIÓ: PRIMERES PROPIETATS

Regla de Barrow

Si
Geometría

Intervals infinits

Geometría

Taula d'integrals immediates

MÈTODES BÀSICS D'INTEGRACIÓ

Integració per parts

Integració de funcions racionals

Primer cas: grau P(x) < grau Q(x)

Siguin a1... an les arrels (reals i complexes) de Q(x) i siguin
els seus graus respectius de multiplicitat

sent c el coeficient de major potència de Q(x).

Es planteja la igualtat.

on el nombres Aij son coeficients a determinar.

Es resol l'equació i s'obtenen els coeficients Aij.

S'integra cadascun dels sumands que intervinguin a la igualtat plantejada en b) Tenint en compte que:

Si hi ha arrels complexes
, llavors

, simplificant convenienment el resultat de la integral de P(x)/Q(x), aquest ha de ser un resultat sense valors complexos.

Segon cas: grau P(x)
grau Q(x)

s'efectua la divisió obenint un quocient C(x )i una resta R(x)
.

. La és trivial i la correspon al primer cas.

Integrals del tipus

El canvi de variable sent u = m.c.m. (n,---,q)

la transforma en integral d'una funció racional.

Integrals Binomials

El canvi xn = t , x =
, dx =
ho racionalitza sempre i quan sigui enter un dels tres nombres següents
. En cas contrari la racionalització és impossible.

Integrals del tipus

El canvi Geometría
es redueix la integral d'una funció racional sobre t.

Integrals del tipus

Si m és senar, llavors cos x = t

Si n és senar, llavors sin x = t

Si m i n son de la mateixa paritat es pot fer tg x = t

Integrals del tipus

El canvi
la converteix en la integral de una funció racional en t.

El procediment generalitzable a
amb F sent una funció racional, i f(x) tal que la seva funció inversa tingui derivada racional, llavors el canvi f(x) = t transforma la integral en una racional.