Geometría

1.Reseñas históricas:

- Los problemas de medidas (longitudes, áreas, volúmenes...) motivaron el nacimiento de la geometría empírica. Pronto se añadieron a estas necesidades las de usar ciertas figuras en procesos constructivos y hacer representaciones gráficas y esculturales. Podemos encontrar en la cultura egipcia una culminación de geometría aplicada tanto ligada a la resolución cotidiana de problemas como a la creación artística. Su enseñanza fue restringida a una minoría de la jerarquizada sociedad egipcia.

Entre los siglos VI y III a.C., se da en la sociedad griega el paso decisivo del empirismo al carácter científico. Según Proclo: “thales fue el primero que, habiendo estado en Egipto, introdujo esa doctrina (de la Geometría) en Grecia.” A Thales se unirían, junto con sus respectivas escuelas, nombres tan singulares como Pitágoras, Heráclito de Efeso, Hipócrates de Quío, Eudoxo, Euclides, Arquímedes, Apolonio, etc. Los resultados fueron cuantiosos, los nuevos métodos para atacar problemas brillantes y el grado de abstracción ejemplar. El conocimiento geométrico pasó de maestros a discípulos pero el acceso al mismo era ya más un problema de vocación y de acercarse a un núcleo de estudio que no un problema de estirpe. Hay que remarcar en este período los libros denominados los Elementos de Euclides en su escuela de Alejandría. Pero con ellos se hizo algo más que un texto. Euclides recoge gran parte del conocimiento geométrico de la época y en lugar de limitarse a una recopilación, estructura todo el saber en forma lógico-deductiva: nociones comunes, postulados, axiomas, teoremas..., la Geometría adquiere rango universal. Los Elementos se consolidan como el texto “definitivo”, cuyo prestigio y uso se prodigará durante dos milenios.

Características de la Geometría euclidiana que cabe resaltar: La ambición geométrica de creer ser la disciplina esencial para la descripción de la realidad, se privilegian las transformaciones rígidas y se usa un lenguaje sintético al margen del cálculo efectivo aritmético.

El énfasis está más en el razonamiento deductivo correcto que en la aplicabilidad, o la exactitud de la representación.

A partir de ahí la Geometría como la Aritmética formarán apartados indiscuticos e indiscutibles de cualquier formación académica. Las traducciones del griego al latín de los elementos desempeñará un papel esencial en la difusión del conocimiento geométrico en Europa. En el caso árabe es curioso el avance de la Aritmética hacia la algebrización y un remarcable conocimiento empírico de Geometría para la generación de figuras artísticas, pero esto no representa un progreso científico, si acaso una base para una futura creación.

El arte en el siglo XVI será el gran motor de nuevas geometrías para la representación: la Proyectiva y la Descriptiva. La Descriptiva pondrá el énfasis en la resolución gráfica, la Proyectiva en los modelos no gráficos.

La aritmetización de la Geometría encontrará su punto feliz en la Geometría Analítica de Descartes. Con el tiempo irán surgiendo aún nuevas geometrías: algebraica, diferencial, probabilística o integral, geometrías no euclideas, combinatoria, etc.

A finales del siglo XIX será Félix Klein quien tenga la idea de intentar definir un concepto unificador de geometría se considerará un espacio y unas transformaciones que permitan clasificar figuras (figuras equivalentes serán las que se pueda pasar de una a otra usando una transformación de la gama considerada). Los conceptos genuinos de cada geometría serán los que se conserven (queden invariantes) por las transformaciones.

El desarrollo de las geometrías en la investigación ha seguido siendo una constante vital de la matemática del siglo XX, habiendo sido remarcable el empuje dado por Hilbert. Este esplendor en investigación ha contrastado con un fluctuante cambio en la enseñanza elemental de la geometría. Con el nacimiento de la denominada Matemática Moderna la Geometría en la enseñanza llegó a su estado más lamentable: el olvido, frente a unos diagramas y enfoques conjuntistas que no supieron ni conservar de las viejas tradiciones lo bueno que en ellas podía haber. Progresivamente, la “modernización” fue dejando paso a las reflexiones críticas y a la que podríamos llamar “postmodernización”. Aquí ha resurgido con fuerza el valor de la Geometría en el currículo. Nuestra época, sumida en un eclesticismo integrador, ha reivindicado tanto valores antiguos (el cálculo mental por ejemplo) como nuevos enfoques (el material y el laboratorio como base de aprendizaje). Hoy la Geometría vive de nuevo un momento de esplendor: todo el mundo reconoce su calidad y su conveniencia. No obstante el debate de su didáctica está hoy por hoy abierto.

2.¿La Geometría?

- La geometría es la ciencia que tiene por objeto analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. En un sentido amplio se puede considerar a la Geometría como la Matemática del espacio.

Cuando se habla de espacio, debe entenderse un espacio multidimensional en que cada situación del entorno o del universo se puede analizar geométricamente. La enseñanza de la Geometría puede ser caracterizada como el estudio de las experiencias espaciales.

2.1 El espacio

- Existen varias acepciones de espacio, no hay una unanimidad den describir el concepto de espacio. Esto es debido a que existen muchas maneras de abordarlo. Entre las más significativas se encuentran las perspectivas filosófica, física y psicológica.

Perspectiva filosófica : se han considerado históricamente dos acepciones: espacio absoluto versus espacio relativo. En la acepción de espacio absoluto, los objetos y sus relaciones son independientes de la existencia propia del espacio. En la del espacio relativo se supone que el espacio queda determinado por medio de las relaciones de posición de los objetos.

El espacio físico es cualquier espacio atribuido al mundo exterior, es decir, al entorno físico que nos rodea.

En el espacio psicológico es cualquier espacio representado en la mente y no existe si la mente no existe.

2.1.1 orígenes del espacio psicológico

- Hay diferentes posiciones :

Empirista—sostiene que el espacio psicológico se deriva directamente de la experiencia con el espacio físico.

Nativista—sostiene que el desarrollo del espacio psicológico es determinado por la herencia congénita y constitucional de cada individuo.

Constructivista—sostiene que el espacio psicológico es activamente construido por el individuo. Los factores hereditarios y experimentales interactúan para producir esta construcción.

(etapas genéticas)

Precisamente desde esta última posición, Piaget formula su teoría psicogenética, distinguiendo distintos niveles de organización espacial, en correspondencia con diferentes etapas genéticas del desarrollo intelectual.

Las etapas genéticas que Piaget propone son las siguientes:

Etapa-1: espacio sensorio-motor, caracterizado por percepciones sensoriales de las relaciones espaciales. En esta etapa se tiene una visión egocéntrica del espacio.

Etapa-2: espacio intuitivo, caracterizado por representaciones intuitivas en un nivel preoperatorio.

Etapa-3: espacio concreto, caracterizado por representaciones operatorias. En este nivel se efectúan operaciones reversibles con diferentes materiales concretos.

Etapa-4: espacio abstracto, caracterizado par representaciones formales y abstractas. ( Es el espacio descrito por la Geometría deductiva de Euclides y Hilbert.

2.2 La representación mental del espacio

• Las representaciones mentales de los objetos físicos son el resultado de construcciones que se apoyan sobre las acciones con los objetos y con las coordinaciones de estas acciones. La construcción del espacio cabe entenderla como un proceso cognitivo de interacciones. Desde un espacio intuitivo o sensoriomotor, que se relaciona con la capacidad práctica de actuar en el espacio manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando despalzamientos, medidas, cálculos espaciales, etc., a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia, prediciendo y manipulando mentalmente, etc. Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las características cognitivas individuales, como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría se debe tratar de favorecer la interacción de cada uno de los componentes que determinan la construcción del espacio.

2.3 percepción espacial

• El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a través de la intuición geométrica es lo que se llama la percepción espacial. La percepción espacial desempeña un papel fundamental en el estudio de la Geometría, reconociendo formas, propiedades geométricas, transformaciones y relaciones espaciales. Puede compararse a la comprensión de un texto escrito. De la misma manera que en el proceso de lectura se agrupan las letras en palabras y éstas en frases, obteniéndose por comprensión global una información, la percepción espacial se ocupa de obtener un mensaje por medio de la “lectura comprensiva” de las formas y relaciones espaciales de nuestro entorno.

Si una persona no posee una mínima percepción espacial le ocurrirá lo mismo que si se le diese un texto escrito en una lengua extranjera (aun conociendo los símbolos de las letras, sus agrupaciones en palabras y las reglas de pronunciación, podría leerla en voz alta, pero no comprendería el mensaje escrito). Así, por analogía, delante de nuestro espacio ambiental no se podría tener imágenes espaciales para manipular, ni memoria espacial para recordar o reconocer, ni se podrían preveer las consecuencias al efectuar cambios en las relaciones espaciales entre los objetos.

En el estudio del desarrollo de la percepción espacial, de R. Pallascio y otros proponen cinco etapas: la visualización, la estructuración, la traducción, la determinación y la clasificación. El nivel de dificultades de las acciones a realizar aumentan al pasar de una etapa a otra, consiguiéndose de esta forma un desarrollo progresivo de la percepción espacial. La tipología de estas etapas se define como sigue:

La visualización: Después de haber observado un objeto, su visualización consiste en poder memorizar imágenes parciales a fin de poder reconocer objetos iguales o semejantes por cambio de posición o de escala, entre una diversidad de objeto teniendo el mismo croquis.

La estructuración: Después de haber visualizado un objeto, su “estructuración” consiste en poder reconocer y reconstruir el objeto a partir de sus elementos básicos constituyentes.

La traducción: Consiste en poder reconocer su existencia a partir de una descripción de sus relaciones métricas.

La clasificación: Consiste en poder reconocer clases de objetos equivalentes según diferentes criterios de clasificación.

Estas etapas permiten a su vez desarrollar las habilidades de observar (visualización), abstraer (estructuración), comunicar(traducción), y organizar (determinación y clasificación).

2.3.1 Visualización

• El proceso de captación y formación de una imagen mental es lo que se llama el proceso visual. En la construcción del proceso interviene nuestra experiencia previa haciendo asociaciones con otras imágenes mentales almacenadas en nuestra memoria.

Los estímulos visuales son el medio que hace avanzar el proceso de construcción de imágenes mentales. En las personas ciegas, los estímulos visuales se sustituyen, en menor grado, por el desarrollo de otros sentidos, como el tacto, de cara a tener una mínima percepción espacial.

El sentido de la vista, a veces, no es absolutamente fiel en la percepción de las imágenes de las formas. El contexto, los hábitos, y costumbres influyen en el procesamiento de las imágenes. Ejemplos ilustrativos son las conocidas ilusiones visuales. En la educación geométrica el correcto desarrollo de la percepción visual es fundamental para alcanzar un perfecto conocimiento de las relaciones espaciales.

La percepción visual exige el desarrollo de una serie de habilidades, entre las que destacan el saber ver y el saber interpretar. Estas habilidades no son innatas e instantáneas, deben ser aprendidas.

La adquisición de técnicas y habilidades de percepción visual puede ser aprendida simultáneamente al estudio de la Geometría. Existen programas de entrenamiento de la percepción visual. Uno de los mássconocidos es el programa Frostig en el que se diseñan actividades para desarrollar habilidades clasificadas en siete categorías:

La coordinación visual-motor.

Percepción del fondo y formas.

La constancia en la percepción

La posición en el espacio

Las relaciones espaciales

La discriminación visual

La memoria visual

2.4 La representación gráfica

• La representación gráfica desempeña un papel muy importante para expresar nuestros conocimientos e ideas. Es una manera de comunicación , un lenguaje para expresar y construir los conocimientos geométricos. La expresión gráfica se realiza por medio de esquemas, figuras y dibujos mucho más sencillos y directos que los símbolos de la escritura.

• La comunicación gráfica es, por tanto, una habilidad que tiene que ser aprendida y practicada. De hecho constituye un lenguaje universal e interdisciplinar de toda la información espacial.

Básicamente hay dos clases de representación gráfica: la representación de objetos reales o concretos(dibujos a escala, dibujos en perspectiva, planos , mapas a escala, etc.) y la representación de ideas abstractas (dibujos de figuras bidimensionales, esquemas, croquis, etc.).

3.Geometria y naturaleza.

- Los orígenes de la Geometría hay que buscarlos en las situaciones y problemas del entorno. Multitud de fenómenos naturales han hecho crecer, desarrollar y aplicar los conocimientos geométricos para su descripción, control y estudio.

3.1La actividad espacial en el entorno natural

• Básicamente podemos enumerar tres tipos de acciones geométricas referentes a la actividad espacial en el entorno: el análisis cuantitativo, el análisis figurativo y el análisis estructural.

• Análisis cuantitativo - Operaciones en las que se realizan medidas numéricas, como son las longitudes, amplitudes, áreas, volúmenes; las que expresan relaciones numéricas, como son la determinación de razones y proporciones y las de elección de sistemas de referencia, con el uso de coordenadas, etc.

• Análisis figurativo - Hace referencia al tipo de forma independiente del tamaño y el material, como es el estudio de la regularidad, de la simetría, de las transformaciones geométricas, el caos, etc.

• Análisis estructural - Nos ocupamos de la estructura formal de los objetos, analizando sus esquemas de constitución, sus propiedades cualitativas.

La actividad espacial puede enmarcarse en dos tipos de procesos: el que corresponde a la traducción en clave geométrica de los fenómenos y el que favorece el desarrollo de la intuición geométrica.

La actividad espacial en el entorno constituye el soporte adecuado del proceso de conceptualización espacial, las observaciones y experimentaciones geométricas con los objetos y sistemas de la naturaleza propician el conocimiento operacional de las nociones espaciales y permiten estructurar las operaciones mentales que da lugar a la representación espacial.

El comportamiento espacial es distinto según el tamaño del espacio que se considere. Se puede distinguir cuatro tamaños de espacio donde las acciones geométricas se realizan de distinta manera:

• El micro - espacio : Es el que corresponde a la Geometría con el uso del microscopio.

• El meso - espacio: Es el espacio de los objetos que se pueden desplazar sobre la mesa. Permite efectuar manualmente exploraciones geométricas y transformaciones. Corresponde al estudio de rocas, plantas, flores, etc.

• El macro - espacio: Se trabaja con objetos entre 0,5 y 50 veces el tamaño del sujeto.

• Es cosmo - espacio: Pone en juego los problemas de referencia y orientación.

4.El modelo de Van Hiele

• Un modelo matemático describe matemáticamente una situación del mundo real; es una representación simplificada de un fenómeno real. Su creación consta de las siguientes fases:

cuando un hecho se repite muchas veces, produciendo resultados semejantes, surge la necesidad de construir un modelo matemático para entender las causas d tal regularidad y poder predecirlas, evitarlas o provocarlas

Tras la observación repetida del hecho, se procede a plantear el modelo que exige su validación, efectuando nuevas experiencias y comparando los resultados teóricos con los reales

Creado y validado el modelo matemático, se efectúa un estudio teórico del modelo, que llevará a la modificación del modelo en virtud de lo encontrado, es decir, un reajuste del modelo original que permitirá aplicarlo con mayor exactitud, obteniendo resultados mejores

Ajustado el modelo definitivo, se aplica tanto por parte de los investigadores como del usuario de matemáticas.

- Los modelos educativos tienen como objeto de estudio los alumnos a los que se les observa las regularidades de comportamiento ante una actividad determinada, se analizan posteriormente y se obtiene un modelo educativo, que tras ser validado y perfeccionado será utilizado por los enseñantes con la finalidad de obtener nuevos métodos de enseñanza, que produzcan mejores resultados.

Un modelo educativo muy utilizado es el de Van Hiele. Propone cinco niveles de perfección en el razonamiento por parte de los alumnos cuando estudian matemáticas. Solo podrán comprender aquellas cuestiones matemáticas que se presenten adecuadamente a su nivel de razonamiento, porque de lo contrario no las podrán alcanzar, pudiendo ayudarles a que mediante una enseñanza adecuada, lleguen a ese nivel de razonamiento.

El modelo de Van Hiele, aunque puede aplicarse a cualquier parte de las Matemáticas, es en la enseñanza de la Geometría donde ha alcanzado mejores resultados. Son 5 los niveles de desarrollo de que consta: 1) Visualización o Reconocimiento, 2) Análisis, 3) Deducción informal o abstracción, 4) Deducción formal o Razonamiento deductivo y 5) Rigor o Razonamiento rigurosamente deductivo.

Nivel 1—Visualización: Este nivel es de simple reconocimiento de las figuras geométricas distinguiéndolas por su forma, por su aspecto físico como un todo, sin detectar relaciones entre las formas o entre sus partes; no analiza sus propiedades. El alumno percibe las formas geométricas básicas como un todo, siendo incapaz de reconocer aisladamente sus partes componentes ni las propiedades de las mismas.

Un niño de 6 años puede reproducir un cuadrado o un rombo o un rectángulo o un paralelogramo, bien dibujándolo o naturalizándolo con gomas sobre el geoplano, incluso puede recordar de memoria sus nombres, pero es incapaz de ver que un cuadrado es un tipo especial de rombo, y que el rombo es un paralelogramo particular. Este nivel primero, conlleva cinco fases: 1) Comparación y asignación de nombres a polígonos elementales; 2) Encargar y dibujar polígonos elementales; 3) Asignar los nombres a cada polígono; 4) Realizar clasificaciones simples y 5) Separar en diagramas distintos grupos de polígonos formados.

Se sitúa entre los 6-8 años cuando los niños manejan algunas figuras, aprenden sus nombres y realizan actividades de reconocimiento, aunque no es exclusivo de esta edad ya que cuando se presenta a los alumnos un concepto geométrico pasarán por este nivel aunque sea un paso muy rápido.

Nivel 2—Análisis: Es un nivel de conocimiento de los componentes de las figuras, de sus propiedades básicas, estableciendo relaciones a nivel intuitivo entre las figuras y permitiendo realizar unas clasificaciones sencillas a través de características simples como por el número de lados o por el número de ángulos iguales. Sin embargo, no le resultará posible establecer una relación entre las figuras observadas que le permita componer relaciones de inclusión de clases.

Las propiedades de las figuras se establecen experimentalmente, pudiendo detectar que los rectángulos tienen las diagonales iguales, pero no percibirán el rectángulo como un paralelogramo.

En este nivel de análisis, las fases de aprendizaje se establecen del siguiente modo : 1) comparar y asignar nombres al conjunto de polígonos regulares; 2) Ordenar y clasificar polígonos de distinto modo mediante características elementales; 3) Relacionar cada polígono regular con sus características propias (ángulos, lados, etc.); 4) Descubrir relaciones entre características presentes y construir nuevos polígonos variando sus componentes y 5) Definir cada polígono regular por sus características.

Cuando las cinco fases de aprendizaje del nivel están superadas es cuando el niño está en disposición de pasar al siguiente nivel, que no estará en función de su edad puesto que puede haber adultos que no han tenido la oportunidad de pasar por estas experiencias y encontrarse en el nivel 1 ó 2.

Este nivel 2 de análisis también se denomina del “desarrollo del conocimiento de las propiedades de las formas” y en él se recomienda trabajar con sólidos tridimensionales antes de centrarse en superficies bidimensionales. Actividades de levantar paredes utilizando ladrillos de construcciones, tratando de adosar sólidos sin dejar huecos, es una preparación para desarrollar la noción de ángulo recto, correspondiente a una esquina cuadrada. Después, se harán pavimentaciones de superficies con piezas que encajen sin dejar huecos, disponiendo de piezas suficientes de mismo tipo.

Así pues, en este segundo nivel, el alumno mira las figuras geométricas, consciente de que pueden estar formadas por elementos y que poseen determinadas propiedades y que pertenecen a determinadas familias, pudiendo describir y generalizar propiedades que antes no conocía. Las propiedades se usan de forma independiente en cada figura, ya que su capacidad de razonamiento los limitará en este punto.

Nivel 3—Abstracción: Los alumnos determinan las figuras por sus propiedades pudiendo decir que cada cuadrado es un rectángulo, pero no pueden todavía efectuar una cadena de razonamientos que puedan justificar lo que observan. Comprenden las definiciones primeras que describen las relaciones de las figuras con las partes que lo forman.

En este nivel, también denominado de clasificación y ordenación, la capacidad de razonamiento formal de los alumnos se pone de manifiesto aunque su razonamiento lógico se apoya en la manipulación, no pudiendo llegar al razonamiento deductivo. El alumno ordena lógicamente las propiedades de los conceptos, empieza a construir definiciones abstractas, puede seguir y dar argumentos informales, pero no comprende el significado de la deducción, puede seguir demostraciones formales pero no puede entender como construir una demostración partiendo de premisas diferentes.

Las fases de aprendizaje se podrían establecer del siguiente modo:1)Relacionar los polígonos regulares teniendo en cuenta sus características; 2) Agrupar y diferenciar las clases de polígonos regulares; 3) Expresar las diferencias y semejanzas entre las clases de polígonos; 4) Construir y descomponer polígonos regulares utilizando distintos materiales y 5) Mediante diagramas, exponer la clasificación obtenida de polígonos regulares.

A través de estas cinco fases, el alumno parte de la tabla establecida al finalizar el nivel anterior, discutiendo con sus compañeros las diferencias y los parecidos entre los distintos polígonos. Para delimitar las características presentes en un polígono se deducen de las demás, para después efectuar las conjeturas y aunar los comentarios razonados cara a obtener un criterio generalizado y refrendado por todos, comprobándolo con la construcción del polígono y la descomposición en polígonos regulares. Así, con seis triángulos equiláteros podemos construir un exágono regular, pero también un paralelogramo, y con cuadrados, triangulos y exágonos podemos cubrir una superficie, pero no con pentágonos,etc.

Los estudiantes de este nivel todavía no comprenden la estructura axiomática de las matemáticas, pero comprenden los sucesivos pasos de un razonamiento lógico formal, aunque de forma aislada, ya que no comprenden la necesidad de encadenar los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal, ni entienden la estructura de una demostración. En este nivel, cuando el profesor pide a los alumnos que demuestren alguna propiedad, no saben por qué tienen que demostrarla, porque ven que es verdad; la demostración completa la llevará a cabo en el siguiente nivel.

Nivel 4—Razonamiento deductivo:

En este nivel los alumnos pueden deducir una propiedad de otra mediante secuencias de proposiciones. Se entiende en este nivel el sentido de los axiomas, las definiciones y los teoremas, pero no se hacen razonamientos abstractos y no se reconoce la necesidad de rigor en los razonamientos.

El alumno mediante una deducción formal es capaz de construir, no ya memorizar, demostraciones. Razona formalmente dentro del contexto de un sistema matemático con términos indefinidos, axiomas, definiciones y teoremas.

Los estudiantes cuando alcanzan este nivel de razonamiento, logran una gran capacidad, tanto de razonamiento lógico matemático como de una visión globalizadora del tema que está estudiando. En este nivel, pueden entender la estructura axiomática de las matemáticas, pueden llegar a un mismo resultado partiendo de distintas premisas, y pueden entender y realizar razonamientos lógico formales, demostraciones, etc.

Nivel 5—Razonamiento rigurosamente deductivo: En este nivel el alumno razona sin necesidad de la intuición, pudiendo componer su razonamiento deductivo con otros y puede analizar el grado de rigor en varios sistemas deductivos. Puede comparar sistemas basados en axiomáticas diferentes, y puede estudiar distintas geometrías en ausencia de modelos concretos. Este nivel no es alcanzado generalmente por los estudiantes medios y debido a su alto grado de abstracción, puede ser considerado apto para alumnos de niveles superiores.

Los Van Hiele al establecer los cinco niveles y las cinco fases en cada nivel, estaban aportando un modelo de estratificación del conocimiento, de tal modo que el paso de un nivel a otro sólo será posible si se han alcanzado las cinco fases de aprendizaje del nivel correspondiente y que en general llevan el siguiente plan del desarrollo:

Fase 1: Información. Es una fase de toma de contacto en la que se presentan situaciones de aprendizaje, dando las observaciones necesarias para el trabajo y el vocabulario correspondiente. Para ello el profesor establece un diálogo con los alumnos, a través del cual, se van detectando los conocimientos que tienen sobre el objeto del estudio; otras veces, el profesor observará como realizan los alumnos una tarea correcta.

Esta fase sirve para dirigir la atención de los estudiantes y permitirles que sepan qué tipo de trabajo van a hacer, al tiempo que el profesor pueda descubrir el nivel de razonamiento de los alumnos.

Fase 2: Orientación dirigida. Los alumnos comienzan a explorar el campo de estudio mediante secuencias graduadas de actividades a realizar y explorar propuestas por el profesor. Los alumnos deben de descubrir, comprender y aprender los conceptos, propiedades, figuras, etc., principales del bloque estudiado, y en su ejecución y reflexión correspondiente pondrán en marcha los mecanismos que le permitirán avanzar en los niveles de conocimiento. Las actividades deben ser elegidas cuidadosamente para que formen la base adecuada del pensamiento del nivel superior. Equivale a la etapa de juego dirigido de Dienes.

Fase 3: Explicitación. Aquí una de las principales finalidades consiste en que los estudiantes intercambien sus experiencias, exponiendo sus resultados, comentándolos con los demás compañeros, encontrando relaciones entre ellos.

Equivale a la etapa de representación de Dienes ya que la abstracción empieza sobre la existencia previa de muchas estructuras, exteriorizando los alumnos sus pensamientos de distintas formas, haciendo explícita la abstracción.

Fase 4:Orientación libre. Una vez que el alumno ha adquirido un conocimiento lo aplica de forma significativa a otras situaciones, aunque distintas, con estructura comparable. El objetivo es consolidar los conocimientos adquiridos y su aplicación a situaciones inéditas, aunque de estructura comparada a la estudiada previamente.

Esta fase está formada por actividades de utilización y combinación de los nuevos conceptos, propiedades y forma de razonamiento

Equivale a la fase de predicción de Dienes y el aprendizaje se realizará de modo constructivo, debiendo los alumnos buscar sus propios caminos, se orientarán ellos mismos en su investigación y harán sus propias matemáticas en el aula.

Fase 5: Integración. Tanto los objetos como las relaciones son unificadas e interiorizadas en su sistema de conocimiento. Es una acumulación, comparación y combinación de cosas que ya conoce. En esta fase no se presenta nada nuevo, se revisa, se sumariza y se unifican los objetos y sus relaciones que configuran el nuevo sistema de conocimiento construido.

Una vez que se completa esta fase el alumno tendrá una red de relaciones mentales más amplia que la anterior a la que sustituye, habiendo adquirido un nuevo nivel de razonamiento. Lo alumnos están dispuestos para repetir las fases de aprendizaje en el nivel inmediato superior.

En Dienes equivale a la de juego formal, consistente en interpretar las descripciones como un sistema axiomático y las predicciones como teoremas.

5.Procesos inductivos

• Inducción - la capacidad de llegar a propiedades generales, conclusiones o resultados a partir de la observación, el análisis o la verificación de casos particulares. La inducción como forma de procedimiento educativo es un motor esencial para el descubrimiento y la consolidación de conceptos. En muchas figuras geométricas interesa dar un método inductivo o recurrente para agregar figuras.

6.Planificación e instrucción

• La concepción o representación mental del espacio se logra a través de un desarrollo progresivo, la planificación de la enseñanza - aprendizaje de la Geometría debe estar orientada a favorecer este progreso, por tanto, una primera característica a tener en cuenta, es que se debe tratar de una planificación progresiva y cíclica.

Debe dar oportunidad a actuar en el espacio, es decir, se debe tratar de una planificación activa. Una planificación comunicativa que favorezca tanto la representación gráfica como la expresión oral y manual. Debe propiciar un conocimiento instrumental y práctico.

Más que diseñar un programa de contenidos ya elaborados será conveniente planificar un currículo que incluya actividades de comportamiento espacial.

• Una vez sentadas las bases de la planificación de la enseñanza - aprendizaje de la Geometría hay que plantearse su instrucción. Esta conlleva la comunicación sistemática de los conocimientos, habilidades y procesos espaciales.

De acuerdo con las partes de la planificación, habría que tener en cuenta las siguientes recomendaciones generales:

El estudio de la Geometría debe estar relacionado con el mundo real. Los alumnos deben tener oportunidad de explorar distintas relaciones espaciales de su entorno, así como buscar, aplicar y transferir relaciones geométricas para analizar los fenómenos naturales, científicos, técnicos, sociales y artísticos.

El currículo de Geometría tiene que estar desarrollado según los modelos de conocimiento y aprendizaje de los alumnos. En este sentido la instrucción en Geometría debe favorecer la interacción entre la actividad espacial y la representación mental del espacio.

La presentación de la Geometría debe seguir el proceso del desarrollo intelectual, es decir, debe ser gradual y progresiva.

A partir de estas recomendaciones podemos definir la estructura de la instrucción por medio de tres niveles o dimensiones:

Dimensión 1	Análisis de los puntos de partida de la instrucción. Sus componentes básicos son: Contexto, vocabulario, representación. Fenomenología didáctica. Matematización progresiva y gradual. Aspectos del lenguaje. Aspectos sociales.
Dimensión 2	Explicitación del currículo. Concreción de los objetivos instructivos y expresivos. Evaluación.
Dimensión 3	Desarrollo del proceso de enseñanza - aprendizaje de la Geometría progresiva estructuración de las actividades. Proceso de adquisición de los conceptos. Representación espacial. Evaluación. Niveles de Van Hiele.

7.Actividades de geometría

Para el ciclo de 0-3 años:

De 0-1 año:

EL CUERPO

- La primera experiencia sobre geometría que van a tener los bebés va a ser a través de su propio cuerpo, introduciendo el educador los conceptos geométricos de “abierto” y “cerrado”. El educador abrirá los ojos (o la boca) y le dirá: “los ojos están abiertos”, después pasando la mano sobre los ojos los cerrará y dirá: “Ahora están cerrados”. Después de que el niño haya visto estas acciones, el educador le estimulará para que él las realice.

Con niños de 1-2 años:

EL CUERPO

Según el educador va diciendo:

La boca

Los ojos

Las manos -------- abiertos, cerrados

Los brazos

Las piernas

Va realizando el movimiento correspondiente. El niño, por imitación, realizará los mismos movimientos, obteniendo así a través de su cuerpo la experiencia de abierto - cerrado.

Un segundo paso consiste en que el niño responda correctamente ante las siguientes consignas: “ brazos abiertos”, “ojos cerrados”...

LINEAS

El educador tratará de que el niño tenga la experiencia de abierto y cerrado, no ya con las partes de su cuerpo como en el caso de las actividades anteriores, sino a través de “todo su cuerpo”. Para ello dispondrá de sogas, unas abiertas y otras cerradas; con la soga cerrada les dirá que no se puede salir, con la soga abierta que sí.

FIGURAS

El educador dispondrá de encajes sencillos en el aula para que los realicen los niños.

SIMETRÍA

El educador partirá frutas (naranja, limón, manzana...) simétricamente y el niño tratará de unir cada mitad con su correspondiente.

El educador dibujará figuras de grandes dimensiones y las partirá por el eje de simetría. Los niños pondrán cada mitad con su correspondiente.

Con niños de 2-3 años:

• Estos niños tan pequeños el primer conocimiento de geometría que deben adquirir es el de la posición de su cuerpo en el espacio, y para esto es necesario que primero conozcan su propio cuerpo; por ello, las primeras actividades serán:

CUERPO:

Según el educador diga:

Boca

Ojos

Manos ------}abiertos; cerrados

Brazos

Piernas

El niño ejecutará los movimientos correspondientes.

Conocimiento del propio cuerpo: qué partes tiene mi cuerpo, para qué sirven.

Conceptos: dentro y fuera relativos al propio cuerpo. La lengua está dentro de la boca, la comida va dentro a la tripa, las manos están fuera...

Tras estas primeras actividades concernientes al cuerpo se realizarán actividades en las que intervendrán los conceptos: dentro-fuera, abierto-cerrado en lo que se refiere a la posición del cuerpo en el espacio.

LÍNEAS

Mediante el dibujo trabajamos las líneas abiertas y cerradas. Planteamos al niño diversas situaciones lúdicas.

FIGURAS

Asociar contornos elementales y cotidianos. Tales como los de el cuadrado circulo o triángulo. Realizar encajes sencillos.

CUERPOS

Reconocer objetos cotidianos palpándolos: caja, bola...

GEOPLANO

Juego libre con el geoplano.

SIMETRÍA

Pegar las mitades simétricas: cuerpo de un osito, mariposa...

Para el ciclo 3-6 años:

CUERPO

Orientarse en el espacio a través del cuerpo: Arriba-abajo, delante- detrás, aun lado- al otro.

LÍNEAS

Trabajar el concepto de línea curva y recta. Poniendo sogas en el suelo:

Un tirante, otra con curvas, pasar por encima de ellas.

SUPERFICIE

El concepto de superficie plana y curva se puede trabajar poniendo en el suelo dos telas grandes, debajo de una no hay nada, debajo de la otra, sin embargo, metemos cojines o jerseys, mientras las pisamos decimos “ésta es plana, vamos a la superficie curva, aquí es más difícil andar...”

FIGURAS

Asociar y conocer las figuras elementales: círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo, y encontrarlas en la clase. El educador les preguntará: “¿La puerta qué es?”, “¿Los cristales?...”.

CUERPOS

Reconocer cuerpos geométricos: esfera, cubo.

GEOPLANO

Con dos geoplanos: uno de 3x3 y otro de 4x4 realizar la construcción libre y construcción de figuras con modelo.

SIMETRÍA

Pegar cada mitad de mariposa, flor... con su correspondiente. El educador pondrá varias mariposas, flores... coloreadas de formas diferentes.

Con niños de 4-5 años:

CUERPO

El educador realizará actividades de orientación en el espacio a través del cuerpo, mediante las consignas: arriba-abajo, delante-detrás, izquierda-derecha.

LÍNEAS

Tras una experimentación con las líneas curvas y rectas, pasará el niño a construirlas con sogas y después a dibujarlas.

SUPERFICIES

Construir con plastilina superficies planas y curvas.

FIGURAS

Dibujar las figuras geométricas elementales: circulo, triángulo, cuadrado, rectángulo.

CUERPOS

El educador dispondrá de los cuerpos geométricos de María Montessori que a continuación se detallan, o en su defecto, de otros cuerpos geométricos, para que el niño los reconozca y los asocie a sus bases.

Material:

1.Sólidos geométricos azules: esfera, cilindro, cono, prisma rectangular, cubo, prisma triangular.

2.Figuras de madera o tarjetas, que pueden servir como base para uno o más sólidos con una superficie plana.

GEOPLANO

El niño podrá utilizar tres geoplanos 3x3, 4x4 y 10x10. Además de la construcción libre, realizará la construcción de las figuras elementales.

SIMETRÍA

El educador realizará en un eje simétrico una parte de una figura sencilla; el niño realizará la otra, la simétrica.

En un dibujo simétrico realizado por el educador, éste habrá coloreado una parte del mismo; el niño deberá colorear la simétrica. También se pueden pegar las mitades.

Tras observar el caleidoscopio, hacer un comentario sobre el mismo, cómo se repiten los dibujos...

Con niños de 5-6 años

CUERPO

Se realizarán las mismas actividades correspondientes a la edad anterior.

LÍNEAS

Construcción de líneas rectas y curvas con sogas, representación de las mismas en el encerado y en el papel.

SUPERFICIE

Construcción de superficies planas y curvas. Primero utilizando material de desecho o material informal (telas, sogas, cojines...) y después construcción de las mismas en plastilina o barro.

FIGURAS

Dibujar figuras de hasta cinco lados.

Conocer los nombres de las figuras de hasta ocho lados.

CUERPOS

Conocer las figuras : Prisma triangular, prisma rectangular, cilindro, cono.

Reconocer figuras como partes de los cuerpos.

GEOPLANO

Mediante un geoplano de 10x10 realizar figuras geométricas de hasta ocho lados.

SIMETRÍA

Realizar simetrías más complejas, algunas incluyendo dos figuras.

Rellenar las simetrías con el color adecuado.

Buscar simetrías en clase: baldosas...

El espejo como elemento de simetría.

Tras observar el caleidoscopio, explicar cómo está construido.