La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo; pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto. (Galileo Galilei).

ÍNDICE

Introducción ............................................................................................ 6

Desarrollo ................................................................................................ 9

La Parábola ................................................................................... 9

2.1.1. Ecuación de la Parábola .......................................................... 10

2.1.2. Propiedades de la Parábola ...................................................... 11

2.1.3. Posiciones particulares de la Parábola ...................................... 12

2.1.4. Parábola de Vértice (h,k) y eje Paralelo a uno de los ejes

Coordenados ..................................................................................... 13

2.1.5. Propiedad del foco de la Parábola ............................................ 15

Superficies de Revolución: el Paraboloide ..................................... 16

¿En qué radica la construcción de diversos tipos de Paraboloides?.. 19

Conclusión ............................................................................................ 22

Bibliografía ............................................................................................ 24

RESUMEN

Una antena con reflector parabólico tiene una forma muy característica, y no es el fruto de la ocurrencia de los ingenieros. Muy al contrario, están perfectamente estudiadas para que su funcionamiento sea el mas eficiente.

A estas antenas los científicos las conocen a la perfección, porque su forma es originaria de una curva plana llamada Parábola que posee una propiedad muy interesante; en ésta radica la invención y utilización del reflector de la Antena. Es por eso que el objetivo del trabajo es describir a dicha curva, sus propiedades y la superficie que genera cuando rota alrededor de su eje de simetría.

1. INTRODUCCIÓN

El mundo cambia vertiginosamente, día tras día las personas se sirven de las diferentes tecnologías para poder trabajar mejor; con esto se hace alusión a varios aspectos, como la mejora de las condiciones del hogar, de las condiciones laborales, y en general un mejor nivel de vida.

Con el descubrimiento de las Ondas electromagnéticas que viajan en el espacio “sin hilos”, se ideó la forma de producirlas y recibirlas a través de aparatos que aprovecharan los fenómenos que la física había descubierto. Estos “aparatos” llamados Antenas no tardaron mucho tiempo en tomar la forma que hoy lleva el nombre de Reflector Parabólico.

Su utilización radica en una propiedad de que las ondas que inciden paralelamente al eje principal se reflejan y van a parar a un punto denominado foco que está centrado en el Paraboloide; por tratarse de una antena receptora. Si por el contrario es emisora, las ondas que emanan del foco (dispositivo de emisión) se ven reflejadas y abandonan el reflector en forma paralela al eje de la antena.

Este tipo de reflector se utiliza en Radares, Telescopios, Antenas Parabólicas, Satélites; porque es un buen instrumento para investigar y establecer comunicaciones. Sobre las demás antenas, ésta establece ciertas ventajas que favorecen su utilización:

- Facilitan la comunicación entre distintos países, favoreciendo el conocimiento de otras culturas, además de mejorar el enlace de comunicación establecido.

- Incrementan las posibilidades de conocer las investigaciones y sucesos extranjeros, haciendo posible la participación en ellos.

La televisión es un medio de comunicación a través del cual puede obtenerse una valiosa información, claro está, si se usa de modo educativo y constructivo; por consiguiente y valiéndose de la Antena con Reflector Parabólico como tecnología aplicada a la televisión, se puede sacar un gran partido sobre todo a nivel de aprendizaje de idiomas y de conocimiento de culturas.

Por todo lo expuesto, el presente trabajo pretende el logro de los siguientes objetivos:

• Proporcionar las herramientas necesarias que llevan a capacitar para modelar matemáticamente los problemas que se presentan en los distintos ámbitos del quehacer cotidiano.

• Estimular el interés por conocer el significado de las expresiones matemáticas, y traducirlas de modo que despierten en él, el espíritu crítico hacia la investigación científica.

• Analizar a la Parábola como una curva plana.

• Estudiar al Paraboloide de revolución como una superficie generada por la rotación de una parábola alrededor de su eje de simetría.

• Describir algunas Razones que fundamentan el uso de diferentes sistemas parabólicos.

Para ello buscará responder a los siguientes interrogantes:

• ¿Qué es una Parábola y cómo queda representada en el plano?.

• ¿Cómo se genera un Paraboloide de revolución y que características tiene?.

• ¿Qué ventajas ofrece la utilización de un Paraboloide de Revolución truncado en los Radares?.

En otras palabras, apunta a un análisis minucioso sobre las potenciales aplicaciones que nos ofrecen las parábolas y la superficie que generan a través de una rotación alrededor de su eje de simetría, la cual se desarrollará en el apartado siguiente.

2. DESARROLLO

LA GEOMETRÍA DE LAS

ANTENAS CON REFLECTOR PARABÓLICO

Son muchas y muy diversas las aplicaciones que se pueden hacer de las Antenas con Reflector Parabólico, por esta razón se considerará una exposición geométrica de las mismas para fundamentar su utilización, haciendo alusión a aquellos tipos de reflectores parabólicos más relevantes.

El nombre de Antena Parabólica proviene de la curva de la que se obtiene su forma: la Parábola.

Si al reflector de una antena de este tipo se la secciona con cualquier plano que contenga al eje del reflector, puede visualizarse claramente a la parábola.

LA PARÁBOLA

Dados en un plano una recta y un punto exterior, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta y del punto.

El punto recibe el nombre de foco de la parábola y se le llamará F. La recta recibe el nombre de directriz.

Se llama eje de simetría de la parábola a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Se denomina vértice de la parábola al punto donde la curva corta al eje; dicho punto se encuentra a igual distancia de la directriz y del foco, se designará al vértice con V.

Según la definición para cualquier punto M de la parábola se tiene:

en particular, para el vértice V resulta:

es decir, V es el punto medio del segmento
.

El segmento
que une un punto de la parábola con el foco de la parábola se denomina radio correspondiente a dicho punto.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Para llegar a la ecuación, se anexa a la figura anterior el sistema de ejes coordenados.

Conviene tomar como eje de abscisas “x” el eje de la parábola, y como eje de ordenadas “y” la perpendicular a aquél trazada por el vértice de la curva es decir que V=O, es el origen de coordenadas.

Sea d la directriz, F el foco,
un punto arbitrario sobre la parábola y
la perpendicular a la directriz que contiene al punto M, que es paralela a
.

; siendo
la semidistancia de
. Las coordenadas de los puntos F y A son entonces
para F; y
para A respectivamente.

Tomando el punto genérico
y recordando que:

La distancia entre los puntos F y M es:

y

Igualando, se tiene:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

,

Que es la ecuación de la Parábola referida a su eje de simetría como eje de las abscisas y a la tangente en el vértice como eje de las ordenadas .

2p : es el doble de la distancia entre la directriz y el foco, y se llama Parámetro.

PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA

Como
, entonces:
; es decir:

• A cada valor de x le corresponden dos valores opuestos de y, entonces la curva resulta simétrica con respecto al eje x.

• Si x=0, entonces y=0. La curva pasa por el origen de coordenadas que es el único punto de contacto con los ejes y único vértice de la parábola.

• Cuando
  , entonces
  . Las ramas de la curva crecen indefinidamente alejándose de los ejes coordenados.

• Si
  en el foco, entonces
  . El segmento
  se llama lado recto de la Parábola.

POSICIONES PARTICULARES DE LA PARÁBOLA

En la figura anterior se ha supuesto que las Coordenadas del Foco de la parábola son:
, de modo que la parábola se ubica hacia la derecha del eje y. Quedando la Directriz
hacia la izquierda del eje y.

Pero puede suponerse también que el foco se ubique a la izquierda, es decir en el semieje negativo, en cuyo caso
, en tanto que la directriz se ubicaría hacia la derecha del eje y, es decir
y la parábola se abriría en la región que contiene la parte negativa del eje de abscisas. En este caso la ecuación de la parábola toma la forma:

Si el foco se da sobre el eje y , es decir, si
, entonces la ecuación de la directriz es
, y análogamente, la ecuación de la parábola es:

Que es la ecuación de la Parábola referida al eje de las ordenadas como su eje de simetría y a la tangente en el vértice como eje de las Abscisas.

En el caso anterior la parábola se abre hacia arriba, es decir que tiene concavidad hacia arriba.

Pero puede ocurrir también que tenga concavidad hacia abajo, es decir que la parábola extienda sus ramas hacia abajo, en cuyo caso las coordenadas del foco serán

. La directriz tendrá la ecuación
y finalmente la ecuación de la Parábola será:

Con esto, se han hallado las ecuaciones de las parábolas de eje focal (eje de simetría) horizontal, es decir coincidente con el eje de abscisas y eje focal vertical (coincidente con el eje de las ordenadas).

PARÁBOLA DE VÉRTICE (h,k) Y EJE PARALELO A UNO DE LOS COORDENADOS

La determinación de la ecuación de la parábola, cuando es referida a un sistema de ejes paralelos a los considerados hasta ahora, se consigue aplicando las fórmulas de transformación de coordenadas que son:

,

,

Lo que se busca es hallar la ecuación de la parábola con respecto a un sistema xOy, siendo h y k las coordenadas del vértice O' de la parábola.

Considerando el sistema XO'Y, la ecuación de la parábola es

.

Con respecto al sistema xOy, la ecuación será, entonces,

siendo
las coordenadas del foco y
la ecuación de la directriz.

Si se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación

,

se obtiene después de pasar todos los términos al primer miembro,

,

que es de la forma

,

Esta ecuación es un caso particular de la Ecuación General de Segundo Grado en las variables x e y:

en la que
, y

Es decir que la ecuación general de la parábola de vértice ( h , k ) y eje horizontal es:

Si la parábola tiene eje focal vertical, es decir; su eje de simetría es el eje de las ordenadas, su ecuación será:

siendo
las coordenadas del foco y
la ecuación de la directriz.

Para hallar la ecuación general, se hace:

realizando transposición de términos:

comparando esta ecuación con la general de 2do grado a dos variables

en la que
, y

Es decir que la ecuación general de la parábola de vértice ( h , k ) y eje vertical es:

Estas ecuaciones a dos variables no son más que una representación general de las curvas que se obtienen tras la intersección de una superficie cónica circular con un plano y conocidas con el nombre genérico de Cónicas, según la inclinación del plano secante resultan curvas distintas dentro de las cuales encontramos a nuestro objeto de estudio: la Parábola.

Una propiedad importante de la parábola sembró terror entre las naves romanas que, en el año 214 a. de J.C., llevaban los 50.000 legionarios (soldados) del Cónsul Marco Claudio Marcelo a la conquista de Siracusa. Los aguerridos Romanos, que no retrocedieron ni ante los elefantes de Aníbal, estuvieron a punto de ser derrotados por un viejo solitario de 72 años.

Arquímedes, ése era su nombre, sabía que si los rayos del sol incidían paralelos al eje de un espejo parabólico, éstos se reflejaban y convergían en un solo punto (llamado foco). Por esta razón se alcanzan en dicho punto elevadas temperaturas que permitían incendiar las naves atacantes.

PROPIEDAD DEL FOCO DE LA PARÁBOLA

Si una parábola recibe luz de una fuente lejana como el sol, por dar un ejemplo; de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje de la parábola, entonces la luz reflejada por la parábola se concentra en el foco.

Un rayo de luz de un punto fuente (por ejemplo una bombilla), localizado en el foco de una parábola será reflejado a lo largo de una recta paralela al eje.

Los reflectores se clasifican según su ángulo de emisión en angulares y concentradores, cuanto más amplio sea el Reflector y menos profundo, mayor será el ángulo de emisión; cuanto más pequeño o más profundos, menor será el ángulo de emisión. Su empleo está determinado por la superficie de la escena a cubrir.

Los radares y las antenas parabólicas están diseñados con la misma forma de reflector, porque su fin es esencialmente el mismo: recoger, o enviar señales electromagnéticas.

Este tipo de Reflector tan característico, se forma por la rotación de una Parábola alrededor de su eje de simetría. Generándose así una superficie de Revolución llamada Paraboloide.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN: EL PARABOLOIDE

Las superficies de revolución o de rotación son engendradas por una línea generatriz, g que gira alrededor de una recta llamada eje. Cada punto de la generatriz describe una circunferencia, llamada paralelo, cuyo plano es perpendicular al eje y cuyo centro está en ese eje. Recíprocamente, la intersección de la superficie de revolución mediante un plano perpendicular al eje está formada, cuando existe, por uno o más paralelos.

Las secciones producidas por planos que pasan por el eje se llaman meridianos.

Los meridianos son curvas todas iguales entre sí y simétricas con respecto al eje.

En vez de la curva g puede considerarse como generatriz de la superficie cualquier otra curva que, situada en la superficie, encuentra todos sus paralelos. En general, se considera como línea generatriz un meridiano de la superficie.

Determinemos la ecuación de la superficie de revolución referida a un sistema cartesiano rectangular, asumiendo como eje de rotación z y considerando como generatriz el meridiano m, que, situado en el plano xz, tiene en este plano la ecuación

. [1]

Sea M un punto cualquiera del meridiano en su posición m. Al girar alrededor de su eje z el punto M ocupará la posición genérica P, por ejemplo. Veamos cual es la relación que vincula las coordenadas x,y,z, de P.

En el plano correspondiente al meridiano m', que pasa por P, tracemos un nuevo eje, Ox', perpendicular al eje z. Referida por un momento al sistema plano x'Oz, la ecuación del meridiano m' es:

. [2]

Pero la coordenada x' del punto arbitrario P vale, considerando el triángulo rectángulo OQP1 ,

,

es decir:

.

Reemplazando en [2], se obtiene

. [3]

He aquí una expresión que nos da la relación que vincula las coordenadas x, y, z, de un punto arbitrario de la superficie; y recíprocamente, todo punto cuyas coordenadas verifican la [3] pertenecen a la superficie, la expresión [3] constituye la ecuación de la superficie.

La ecuación de una superficie de revolución alrededor del eje z puede ponerse siempre en la forma [3], siendo
la ecuación del meridiano de la superficie situado en el plano xz.

Dada la ecuación
de la línea meridiana contenida en el plano xz se obtiene la ecuación de la superficie de revolución alrededor del eje z sustituyendo x por el radical
.

Dada la ecuación
de una superficie de revolución se obtiene la ecuación del meridiano contenido en el plano xz haciendo y=0 en la ecuación dada. Resulta, así,
.

En forma análoga, si el meridiano m, de la ecuación
, situado en el plano xz, gira alrededor del eje x, se obtiene como ecuación de la superficie de revolución

.

En general, si la curva g, situada en el plano coordenado
, gira alrededor del eje coordenado e1, perteneciente a
, la ecuación de la superficie de revolución engendrada se obtiene reemplazando en la ecuación de la curva generatriz la variable no correspondiente al eje e1 por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de esa variable que tampoco corresponde al eje e1 .

Considerando la Parábola generatriz:

,

contenida en el plano “xy”, cuando gira alrededor del eje x. Reemplazamos en esta ecuación, la variable ”y” por la expresión:

como resultado obtenemos

que es la ecuación de un Paraboloide de Revolución generado a partir de la parábola
. Cuando rota alrededor del eje x.

La superficie engendrada al girar una parábola alrededor de su eje es entonces una Superficie Parabólica. Dichas superficies tienen la propiedad de ser reflectoras. Situado un punto luminoso en el foco, los rayos se proyectan paralelos al eje, y recíprocamente, los rayos que inciden paralelos al eje, se concentran en el foco. Estas superficies son las únicas que gozan de esta propiedad.

Cualquier onda que rebote en la superficie de la antena irá a parar al foco, que en las antenas es un aparato encargado de recoger todas las ondas y enviarlas a nuestro televisor, por dar un ejemplo.

Esta propiedad de la parábola también se utiliza en los faros de los coches, pero justamente al revés. En principio, una bombilla de un faro no alumbraría lo suficiente para poder conducir de noche con seguridad. Por lo tanto, se le ha dado a la superficie del faro una sección parabólica espejada, ya que de esta manera dispersará los rayos de la bombilla de forma suficiente para que pueda verse adecuadamente.

¿EN QUÉ RADICA LA CONSTRUCCIÓN DE DIVERSOS TIPOS DE PARABOLOIDES?.

Técnicamente es posible la construcción de un gran número de sistemas de antenas con reflectores parabólicos.

Dentro de los más utilizados, existen variaciones particulares que los distinguen según sea el objetivo. En términos generales se diseñan para ser usados en:

Radares.

Vínculos radioeléctricos de microondas.

Vínculos con satélites.

Aún dentro de esta clasificación, se bifurcan otras que corresponden a diseños específicos.

Para citar un ejemplo y aplicando los conceptos tratados, se verá una razón del uso del Paraboloide de Revolución Truncado.

En algunos sistemas de radar es necesario detectar blancos en todo un hemisferio. La premisa general es obtener la máxima ganancia de antena posible. Una opción es usar un Paraboloide de Revolución. Esto llevaría a prever un sistema de movimiento de la Antena Parabólica en todas las direcciones del hemisferio, es decir: rotación horizontal o acimut. Como así también en elevación (inclinación del eje del reflector).

El costo puede ser muy elevado. La solución de compromiso es: usar un Paraboloide de Revolución Truncado, tal que se prevea un movimiento circular del sistema en el plano de acimut (no de elevación) de bajo costo. Liberando así un estado de libertad al sistema.

En el plano de acimut, la antena puede tener gran resolución angular y detectar blancos con la precisión deseada. Este tipo de reflector se utiliza en los aeropuertos para el control del tráfico aéreo. De esta forma, se tiene un ángulo de rotación de 360º.

Al movimiento de elevación se lo utiliza para establecer la comunicación de la antena con un satélite, o una comunicación entre dos antenas (punto a punto), entre otras cosas.

CONCLUSIÓN

Desde los tiempos ancestrales, el hombre ha tenido siempre un afán de superación en cuanto a retos. Y uno de sus principales retos ha sido la perfecta comunicación y control de todas la cosas desde la distancia, desde otras partes del mundo. Una de las herramientas que utilizó y que en la actualidad alcanza su auge, es la antena, pues permite lograr la comunicación inalámbrica.

Hay muchos tipos de antenas utilizadas de la mejor forma posible en la comunicación. Las Antenas con reflector Parabólico se usan tanto en estaciones terrestres como en los satélites; poseen unos sistemas y diseños muy variados y de cara construcción. En teoría se afirma que tienen una mayor eficacia, bajo ruido y buena transmisión, es decir; sin interferencias.

Al comienzo se utilizaban unas Antenas Parabólicas de Transmisión y Recepción de 30 m. de diámetro. Afortunadamente al final de la era de los 80, los avances en la tecnología permitieron la reducción de las antenas a 15 m. de diámetro y en la actualidad, para el uso domiciliario se utilizan antenas de 0.50m. de diámetro.

Después de realizar este trabajo de investigación sobre la utilización de éstas antenas, se puede concluir que desde el descubrimiento de la transmisión inalámbrica (por un lado) y el descubrimiento de la propiedad que poseen los espejos cóncavos(por otro lado) el hombre ha inventado una antena con una forma muy especial para concentrar los rayos que emite o recibe. Y esta forma, no es mas que una superficie geométrica que recibe el nombre de Paraboloide de revolución y se genera a partir de la rotación de una parábola alrededor de su eje de simetría. La parábola para muchos es una curva más del montón pero es cuestión de estudiarla, así como lo hicieron nuestros antepasados. Es por eso que el principal objetivo del trabajo fue estudiar a esta curva, sus propiedades y sus aplicaciones.

Gracias a estos descubrimientos, su posterior evolución y la revolución científica e industrial que causaron, hoy en día, con solo encender un televisor o conectarnos a la red Internet podemos estar comunicados con cualquier parte del mundo, compartir sus costumbres, o porqué no intercambiarlas y de este modo alcanzar una mayor comodidad y mejor calidad de vida.

BIBLIOGRAFÍA

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LA GEOMETRÍA DE LAS ANTENAS CON REFLECTOR PARABÓLICO

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Plano

Eje

Parábola

Reflector

Eje

Parábola

Paraboloide